卷二十八

球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四厘有餘即【寸】圓球外切四面體之 積也又　　　　　　　　　　　【即】用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○ 為　　　　　　　　　【外】一率圓球外切四面體積三三○ 七九七三三七二為二率今　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【切】所設之 圓球徑一尺　　　　　　　　　　　　　【正】二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有餘為三率求得四率二尺九百九十 二寸九百八十三分七百九十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【方】四厘有餘即圓球外 切四面　　　　　　【體】體之積也設如圓球徑一尺二寸求外切正方體之 每一邊及體積幾何法因圓球徑一尺之每一邊自乘再乘得一尺七百二十八寸即外切正方體積故他法皆不設止存此題以備一體焉 設如圓　　　　　　【有】球徑一尺二寸求外切八面體之每一邊及體積幾 何法以　　　　　　　　　　　【餘】圓球徑一尺二寸折半得六 寸　　　　　　　　　【即】為圓球外切八面體中心至每面中心之立垂線自乘得三十六寸六因之得二百一十六寸開平方得一尺四寸六分九厘六豪九絲三忽八防有【圓】餘即圓球外切八面體之每一邊也乃以八面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積九十三寸五十 三分零七厘四十三豪　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】有餘與圓球半徑六寸相乘三歸之得一百八十七寸零六十一分四百八十六厘有餘為一三角尖體積八因之得一尺四百九十六寸四百九十一分八百八十八厘外切八面體之總積也如圖甲乙圓【癸】球徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛八面體自丁辛己庚四角平分之則成丙丁辛己庚戊己庚丁辛二尖方體将二尖方體自尖依各棱直剖之則又得子 丙丁庚類八三角尖體　　　　　　　　　　　　　　　　　【壬】圓球之外面 皆切于各面之中　　　　　　　　　　　　　　　【自】心圓球之半徑即外切八面體中心至每一面中心之立垂線試自丙角至丁庚邊正中壬作丙壬一面中垂線又自八面體中心子至丙丁庚面中心癸作子癸立垂線複自八面體中心子至丁庚邊正中壬作子壬線遂成壬癸子勾股形此形以子癸【即圓球半徑】立垂線為股丙壬一面中垂線之三分之一癸壬為勾八面體中心至每邊正中斜線子【子壬即八面體每邊之一半蓋壬醜與庚己平行其度相等折半于子故為每邊之半】壬為?夫癸壬既為丙壬一面中垂線之三分之一則乘方必為丙壬一面中垂線自乘方之九分之一而丙壬一面中垂線自乘方原為丙丁每邊自乘方之十二分之九則癸壬自乘方必為丙丁每邊自乘方之十二分之一又子壬既為每邊之半則其自乘方必為每邊自乘方之四分之一今命為十二分之三癸壬勾自乘方既為每邊自乘方十二分之一子壬?自乘方又為每邊自乘方十二分之三則子癸股自乘方必為每邊自乘方十二分之二即六分之一故以子癸圓 【圓】球半徑自乘六因之得每邊自乘方 積開平方得八面體之每一邊也既得每一邊則用等邊三角形求面積法求 得丙丁庚一面積與子癸　　　　　　　　　　　　　　　　　　【球】圓球半徑相乘三歸之得子丙丁庚一三角尖體積八因之即得丙丁戊己庚辛八面體之總積也如有八面體之一邊求内容徑則求得自中心至每一面中心之立 垂線即内容圓　　　　　　　　　　　　　　【球】球之半徑 也又用求球外各形之一邊之定率比 例以定率之　　　　　　　　　　　　　【外】圓球徑一○○○○○ ○○○為一　　　　　　　　　　　　　【切】率圓球外切八面體之一邊一二二四七四四八七為二率今 所　　　　　　　　　【八】設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率一尺四寸六分九厘六豪九絲 三忽八防　　　　　　　　　　　　【面】有餘即圓球外切八面 體之一　　　　　　　　　　　【體】邊也又用求球外各形之體 積之定率比　　　　　　　　　　　　　【之】例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○ 【積】○○○為一率圓球外切八面體積 八六六○二五四○三　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十六厘有餘即圓 又用圓　　　　　　　　　　　【○】球積之定率比例以定率之 【○】圓球積一○○○○○○○○○為 一率圓球外切八面體積一六五三九 八六六八六為二率今所設　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】之圓球 徑一尺二寸　　　　　　　　　　　　　【○】求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有餘為三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十七厘有餘即圓球外切八面 體之積　　　　　　【○】也設如圓球徑一尺二寸求外切十二面體之每一邊 及體積幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六 一八○三三九九為二率　　　　　　　　　　　　　　　　　　【○】今所設之圓球徑一尺二寸折半得六寸為三率求得四率三寸七分零八豪二絲零【為】三防有餘為圓球外切十二面體每一面中心至邊之垂線又以全分一○○一率倍小分七六三九三二○二為二 率今所設之圓　　　　　　　　　　　　　　【球】球半徑六寸為三率求得四率四寸五分八厘三豪五絲九忽二防有餘為每一面中心至角之分角線乃以每一面之分角線為?每一面中心至邊之垂線為股求得勾二寸六分九厘四豪一絲六忽八防有餘倍之得五寸三分八厘八豪三絲三忽六 防有餘即　　　　　　　　　　　　【外】圓球外切十二面體之每一邊也乃以十二面體之每一邊與每一面中心至邊之垂線相乘得數折半五因之得四十九寸九十五分二十六 厘零九豪有餘　　　　　　　　　　　　　　【切】為圓球外切十二面 體之每一面之　　　　　　　　　　　　　　【十】積與圓球半徑六寸相乘三歸之得九十九寸九百零五分二百一十八厘有餘為每一五角尖體積十二因之得一尺一百九十八寸八百六十二分六百一十六厘有餘即圓 二面體之總積也蓋圓　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】球外切十二 面體其　　　　　　　　　　　【分】圓球之外面皆切于各面之中心圓球之半徑即外切十二面體中 心至每一面中心之立垂線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【角】以圓球半徑為理分中末線之全分則外切十二面體之每一面中心至邊【即五等邊形内容圜半徑】之垂線為大分每一面中心至角之【即五等邊形外切圓半徑】分角線為倍小分如甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面體按其一面中垂線平分剖之則成丙辛壬癸子醜不等邊六角形丙辛與子癸皆十二面體之每一邊辛壬壬癸子醜醜丙皆為十二面體之每一面自一角至對邊之中垂線寅醜與寅卯皆為十二面體中心至每邊正中之垂線寅辰為十二面體中心至每面中心之立垂線即圓球半徑辰醜為每面中心至邊之垂線辰丙為每面中心至角線今以寅辰為全分則辰醜為大分辰丙為倍小分何以知之寅卯既為十二面體中心至每邊正中之垂線平分丙辛邊于卯故丙卯為每邊之半寅卯為全分則丙卯為小分【蓋十二面體中心至每邊正中之垂線為全分則其每一面兩角相對斜線之一半為大分而毎邊之半即為小分見球内容十二面體法】試依寅卯全分度作醜巳卯寅正方形則醜巳與已卯亦皆為全分巳卯既為全分而丙卯又為小分則巳丙即為大分醜已丙勾股形與寅辰醜勾股形為同式形【寅辰醜勾股形之醜角與寅角并之共九十度而寅長醜勾股形之醜角與醜已丙勾股形之醜角并之亦共九十度故此二勾股形之已醜丙角與醜寅辰角為相等辰角與巳角又同為直角其餘一角亦必等故為同式形】醜已丙勾股形之醜巳股為全分則己丙勾為大分寅辰醜勾股形之寅辰股為全分則辰醜勾亦即為大分故以寅辰圓球半徑與辰醜每面中心至邊之垂線之比即同于理分中末線之全分與大分之比也又凡五等邊形自心至邊之垂