卷二十六

為三率求得四率 設如撱圎體積五十寸大徑比小徑多二寸問大小徑各防何 法用方積球積不同方邉球徑相等之 定率比例以　　　　　　　　　　　　　【開】球積一○○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率今所設之撱圎體積五十寸為三率求得四率九十五寸四百九十二分九百六十五厘八百五十豪有餘為長方體積乃以大徑比小徑多二寸為長與濶之較用帶一縦開立方法算之得濶三寸九分九厘二豪有餘即撱圎體之小徑加大徑比小徑多二寸得五寸九分九厘二豪有餘即撱圎體之大徑也如圗甲乙丙丁撱圎體【立】用球積與方積之定率比例即成戊己庚辛長方體形其戊己長即甲丙大徑壬庚濶即乙丁小徑甲丙大徑比乙丁小徑多二寸即長濶之較故用帶一縦方法算之得濶為撱圎體之小徑得長為撱圎體之大徑也 設如上下不等圎面體上徑四尺下徑六尺髙八尺問積防何 法以上徑四尺用徑求圎面積法求得上圎面積一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有餘又以下徑六尺用徑求圎面積法求得下圎面積二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有餘又以上徑四尺與下徑六尺相乗得二十四尺開方得中徑四尺八寸九分八厘九豪七絲九忽四微八纖有餘用徑求圎面積法求得中圎面積一十八尺八十四寸九十五分五十五厘八十五豪有餘三數相并得五十九尺六十九寸二分六十厘三十豪有餘與髙八尺相乗得四百七十七尺五百二十二寸八十二分四百厘有餘三歸之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有餘即上下不等圎面體之積也葢上下不等圎面體立法與上下不等正方體同理但上下不等正方體上下俱系方面故求得上中下三方面積相并與髙相乗三歸之而得體積此上下俱系圎面故求得上中下三圎面積相并與髙相乗三歸之而得體積也 又法以上徑四尺與下徑六尺相減餘二尺折半得一尺為一率髙八尺為二率下徑六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等圎面體上補成一尖圎體之共髙乃以下徑六尺用徑求圎面積法求得圎面積二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有餘與所得共髙二十四尺相乗得六百七十八尺五百八十四寸一十二分四百厘有餘三歸之得二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有餘為大尖圎體之積又以髙八尺與共髙二十四尺相減餘十六尺為上尖圎體之髙以上徑四尺用徑求圎面積法求得圎面積一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有餘與上髙十六尺相乗得二百零一尺六十一寸九百二十九分六百厘有餘三歸之得六十七尺二十寸六百四十三分二百厘有餘為上小尖圎體之積與大尖圎體積二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有餘相減餘一百五十九尺一百七十四寸二十七分六百厘有餘即上下不等圎面體之積也如圗甲乙丙丁上下不等圎面體如戊甲丁小尖圎體遂成戊乙丙大尖圎體故于戊乙丙大尖圎體積内減去戊甲丁小尖圎體積而得甲乙丙丁上下不等圎面體之積也 又法用上下不等正方體與上下不等圎面體之定率比例以正方體積一○○○○○○○○○為一率圎面體積七八五三九八一六三為二率上徑四尺自乗下徑六尺自乗上徑四尺與下徑六尺相乗三數相并以髙八尺乗之得六百零八尺三歸之得二百零二尺六百六十六寸六百六十六分六百六十六厘有餘成上下不等正方體積為三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有餘即上下不等圎面體之積也 又捷法定率比例以一○○○○○○○○○為一率二六一七九九三八八為二率上徑四尺相乗下徑六尺自乗上徑四尺與下徑六尺相乗三數相并以髙八尺乗之得六百零八尺為三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分九百厘有餘即上下不等圎面體之積也此法葢以三上下不等正方體與一上下不等圎面體為比例夫一上下不等正方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等圎面體積為七八五三九八一六三若三上下不等正方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等圎面體積為二六一七九九三八八故以上徑自乗下徑自乗上下徑相乗三數相并以髙乗之所得為三上下不等正方體積彼定率之三上下不等正方體與一上下不等圎面體之比即同于今所得之三上下不等正方體積與所求之一上下不等圎面體積之比也 設如上下不等撱圎面體上大徑四尺小徑三尺下大徑八尺小徑六尺髙十尺問積幾何 法以上大徑四尺與上小徑三尺相乗得一十二尺以下大徑八尺與下小徑六尺相乗得四十八尺又以上大徑四尺與下小徑六尺相乗下大徑八尺與上小徑三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三數相并得八十四尺乃用方積圎積之定率比例以方積一○○○○○○○○○為一率圎積七八五三九八一六三為二率三數相并之八十四尺為三率求得四率六十五尺九十七寸三十四分四十五厘六十九豪有餘與髙十尺相乗得六百五十九尺七百三十四寸四百五十六分九百厘有餘三歸之得二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百三十三厘有餘即上下不等撱圎面體之積也葢上下不等撱圎面體立法與上下不等圎面體同但上下不等圎面體上下俱系圎面故求得上中下三圎面積相并與髙相乗三歸之而得體積此上下俱系撱圎面故必求得上中下三長方面積相并用定率比例得三撱圎面積乃與髙相乗三歸之而得體積也又法以上大徑四尺與下大徑八尺相減餘四尺折半得二尺為一率髙十尺為二率下大徑八尺折半得四尺為三率求得四率二十尺為上下不等撱圎面體上補成一尖撱圎體之共髙乃以下大徑八尺小徑六尺用求撱圎面積法求得下撱圎面積三十七尺六十九寸九十一分一十一厘六十八豪有餘與所得共髙二十尺相乗得七百五十三尺九百八十二寸二百三十三分六百厘有餘三歸之得二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有餘為大尖撱圎面體之積又以髙十尺與共髙二十尺相減餘十尺為上小尖撱圎面體之髙以上大徑四尺小徑三尺用求撱圎面積法求得上撱圎面積九尺四十二寸四十七分七十七厘九十二豪有餘與上髙十尺相乗得九十四尺二百四十七寸七百七十九分二百厘有餘三歸之得三十一尺四百一十五寸九百二十六分四百厘有餘為上小尖撱圎面體積與大尖撱圎面體積二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有餘相減餘二百一十九尺九百一十一寸四百八十四分八百厘有餘即上下不等撱圎面體積也如圗甲乙丙丁上下不等撱圎面體如戊甲丁小尖撱圎面積遂成戊乙丙大尖撱圎面體故于戊乙丙大尖撱圎面體内減戊甲丁小尖撱圎面體而得甲乙丙丁上下不等撱圎面體之積也又法用上下不等長方體與上下不等撱圎面體之定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率長圎體積七八五三九八一六三為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺共一十六尺與上小徑三尺相乗得四十八尺以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相乗得一百二十尺兩數相并得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺成上下不等長方體積為三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百四十厘有餘即上下不等撱圎面體之積也葢長方面積與撱圎面積之比同于方面積與圎面積之比故上下不等長方體與上下不等撱圎面體之比即同于長方體與長圎體之比也 又捷法定率比例以一○○○○○○○○○為一率一三○八九九六九四為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺共一十六尺與上小徑三尺相乗得四十八尺以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相乗得一百二十尺兩數相并得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺為三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分九百二十厘有餘即上下不等撱圎面體之積也此法葢以六上下不等長方體與一上下不等撱圎面體為比例夫一上下不等長