卷二十六
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<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊
欽定四庫全書
禦制數理精蘊下編卷二十六
體部四
曲線體
曲線體
設如長圎體徑與髙皆七尺問積防何
法以長圎體徑七尺用求圎面積法求得圎面積三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五絲有餘以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有餘即長圎體之積也如圗甲乙丙丁長圎體先以乙丙底徑求得乙己丙戊圎面積而以庚辛髙乗之即得甲乙丙丁長圎體之積也
又法以長圎體徑七尺用徑求周法求得圎周二十一尺九寸九分一厘一豪四絲八忽五微五纖有餘與髙七尺相乗得一百五十三尺九十三寸八十分三十九厘八十五豪有餘為長圎體之外面積以半徑三尺五寸乗之得五百三十八尺七百八十三寸一百三十九分四百七十五厘有餘折半得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有餘即長圎體之積也如圗甲乙丙丁長圎體先求得乙己丙戊圎周與甲乙髙相乗得甲乙丙丁外面積為底以庚甲半徑乗之得庚甲丙辛長方體為甲乙丙丁長圎體積之二倍葢因長圎體之外面積與長方體之底面積等而長圎體之半徑又與長方體之髙度等則長圎體為長方體之一半【見防何原本五卷第二十四節】故折半即得甲乙丙丁長圎體之積也
又法用長方體長圎體之定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率長圎體積七八五三九八一六三為二率今所設之長圎體徑七尺自乗以髙七尺再乗得三百四十三尺為三率求得四率二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分九百零九厘有餘即長圎體之積也此法葢以長方體與長圎體為比例定率之一○○○○○○○○○為長方體積而七八五三九八一六三為長方體同髙同徑之長圎體積故以徑自乗髙再乗得長方體積彼定率之長方體與長圎體之比即同于今所得之長方體積與所求之長圎體積之比也
設如尖圎體底徑六尺中髙六尺問積防何
法以底徑六尺用求圎面積法求得底面積二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有餘以髙六尺乗之得一百六十九尺六百四十六寸三分一百厘有餘三歸之得五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百厘有餘即尖圎體之積也如圗甲乙丙丁戊尖圎體先以乙丁底徑求得乙丙丁戊底面積以甲己髙乗之得庚乙丁辛長圎體為甲乙丙丁戊尖圎體之三倍葢因上下面平行各體與平底尖體同底同髙者其平底尖體皆得上下面平行體之三分之一【見防何原本五卷第二十三節】故以所得庚乙丁辛長圎體積三歸之即得甲乙丙丁戊尖圎體積也
又法用尖方體尖圎體之定率比例以尖方體積一○○○○○○○○○為一率尖圎體積七八五三九八一六三為二率今所設之尖圎體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺三歸之得七十二尺成尖方體積為三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百三十六厘有餘即尖圎體之積也蓋尖方體為長方體之三分之一而尖圎體為長圎體之三分之一故尖方體與尖圎體之比即同于長方體與長圎體之比也
又捷法定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率尖圎體積二六一七九九三八八為二率今所設之尖圎體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺為三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分八百零八厘有餘即尖圎體之積也此法葢以長方體與尖圎體為比例長方體積為一○○○○○○○○○則長圎體積為七八五三九八一六三将此長圎體積三歸之則得尖圎體積為二六一七九九三八八故定率之長方體與尖圎體之比即同于今底徑自乗髙再乗所得之長方體積與所求之尖圎體積之比也
設如尖圎體底周二十二尺自尖至底周之斜線五尺求中垂線之髙幾何
法以底周二十二尺用周求徑法求得底徑七尺零二厘八豪一絲七忽有餘折半得半徑三尺五寸零一厘四豪零八忽有餘為勾以自尖至底周之斜線五尺為?求得股三尺五寸六分九厘三豪三絲三忽有餘即中垂線之髙也如圗甲乙丙丁戊尖圎體以乙丙丁戊底周求得乙丁底徑折半得乙巳半徑為勾以自尖至底周之甲乙斜線為?求得甲巳股即中垂線之髙也
設如圎 【與】球徑二尺問外面積幾
何法以 【球】圎球徑二尺用徑求周法求得周六尺二寸八分三厘一豪八絲五忽有餘與徑二尺相乗得一十二尺五
十六寸六十三分七十厘有餘 【體】即圎
球之外面積也如圗甲乙 【半】丙丁圎球體以甲丙全徑與甲乙丙丁全周相乗即得圎球體之外面積葢因圎面半徑
徑等者其圎面積為 【癸】球體外面積之
四分之一而圎面半徑 【長】與球體全徑等者其圎面積與球體外面【圎體此球體之乙見
幾何】積等 【原】故圎球全徑與全周相乗【本】而得圎球之
外面積 【十】也設如圎球徑一尺二
寸問積 【巻】幾何法以圎球徑一尺二寸用徑求圎面積法求得圎面積一尺一十三寸零九分七十三厘三十五豪四
【第】十絲有餘以圎球徑一尺二寸乗之
得一尺三百五十七寸一百六十八分零二十四厘有餘為長圎體積三歸之得四百五十二寸三百八十九分三百四十一厘有餘倍之得九百零四寸七
百七十八分六百八 【八】十二厘有餘即
圎球之體積 【節】也如圗甲乙丙丁圎球體求得戊己庚辛平圎面積以甲丙全徑乗之得與圎球同徑同髙之壬戊庚丁全徑與長圎體之戊庚底徑度等而
【有】球體之甲丙全徑又與長圎體之壬
戊髙度等則球體積為長圎體積之三
分之【餘以半徑六寸乗之得二】二試以 【尺】圎球同徑
之平圎面積為 【見】底圎球之半徑為髙
作一甲乙丁尖圎體則其積為甲 【防】乙丁半球體積之半夫尖圎體與長圎體同底同髙其比例為三分之一而尖圎
【何】體又為半球體之二 【原】分之一則半
球體必為半長圎體 【本】之三分之二半
球體既為半長圎體 【十】之三分之二則全球體必為全長圎體之三分之二可知故以所得壬戊庚癸長圎體積三歸
倍 【卷】之即得
甲乙丙丁 【第】圎球體積也又法以 【九】圎
球徑一尺二寸用 【節】求圎球之外面積法求得圎球之外面積四尺五十二寸三十八分九十三厘四十一豪六十絲七百一十四寸三百三十六分四十九厘有餘三歸之得九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有餘即圎球之
體積也如圗甲乙丙丁圎 【百】球體先求得外面積乃以此外面積為底戊丙半徑為髙作一戊己庚尖圎體其體積必
與 【零】圎球體積等葢尖圎體之底面【四】積與球體之外面積等尖圎體之髙度與球體之半徑等則其體積【寸七百七十見防何原本五卷】亦必等故以戊丙半徑與外面積相乗三歸之即如得戊己庚尖圗體積
而為甲乙 【第】丙丁圎
球體積也又 【二】法以方
