卷二十五

欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷二十五 體部三 各體形總論 直線體 各體形總論 體之為形成于面面之相合為厚角故凡體形皆自厚角所合而生面之所合不能成厚角則體亦不能成形惟渾圓則無角然求積之法亦合衆尖體而成渾圓是雖無角而實賴于角也方體有正方斜方尖方方環陽馬塹堵之異圓體則有渾圓長圓尖圓之殊至于各等面體惟成于三角四角五角之面而兼盡乎方圓之理函于圓者其角切于球之外面函圓 者　　　　【為】球之外面切于各面之中心而各體又有互相容之妙因其各面皆等故其中心至每邊之線皆同就其各形而分視之則成各等邊面形因其各形而細剖之則成各同底尖體形然求積總以勾股為準則葢體成于面面生于線理固然也有積求邊則必 以方圓為比例是以邊線等者體積不等如　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【七】圓球徑與各等面體之一邊俱設為一○○○則正方體 積為一○○○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　【六】○圓球體積為五二三五九八七七五四面體積為一一七八五一一二九八面體積為四七一四○四五二一十二面體積六三一一八九○三二十面體積為二一八一六九四九六九此各形之體積皆以方積比例者也或以圓球體積設為一○○○○○○○○○則圓球徑 得一二四○小餘七○○九八如圓　　　　　　　　　　　　　　　　　【十】球徑與各等面體之一邊俱設為一二四○小餘七○○九八則【面】圓球體積為一○○○○○○○○○正方體積為一九○九八五九三一七四面體積為二二五○七九○七七八面體積為九○○三一六三一七十二面體積為一四六三五四七九○五一二十面體 積為四一六六七三○四六三此各形之體積　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【體】皆以球積比例者也葢因各形之邊線相等體積不同 故皆定為體與體之比例也體積等者邊線不　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【之】等如圓球體積與各等面體積俱設為一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○則 正方體之每邊為一○○○○○○　　　　　　　　　　　　　　　　　【每】○○而圓球徑為一二四○七○○九八四面體之每邊為二○三九六四八九○八面體之每邊為一二八四八九八二九十二面體之每邊為五○七二二二○七二邊為七七一○二五三四此各形之邊線皆以方邊 比例者也或以圓　　　　　　　　　　【算】球徑設為一○○○○○○○○則圓球體積為五二三五九八七七五五九八二 九八八七三○七一九二三如　　　　　　　　　　　　　　　【之】圓球體積與各等面體積俱設為五二三五九八七七五五九八二九 八八七三○七一九二三　　　　　　　　　　　　　【本】則圓球徑為一○○○○○○○○正方體之每邊為八○五九九五九七四面體之每邊為一六四三九四八八一八面體之每邊為一○三五六二二八五十二面體之每邊為四○八八一八九五二十面體之每邊為六二一四 四三三二此各形之邊　　　　　　　　　　　　【也】線皆以球徑比例者也葢因各形之體積相等邊線不同故皆定為線與線之比例也要之邊求積者亦皆本于勾股而積求邊者一皆歸之正方此方所以為立法之原入 直線體 設如正方體每邊二尺今将其積倍之問得方邊幾何 法以每邊二尺自乘再乘得八尺倍之得一十六尺開立方得二尺五寸一分有餘即所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊二尺其體積八尺倍之得一十六尺即如戊己庚辛正方體積每邊得二尺五寸一分有餘試于戊己庚辛正方體形内作甲乙丙丁正方體形則其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸磬折體形即與甲乙丙丁正方體積相等也 設如正方體每邊二尺今将其積八倍之問得方邊幾何 法以每邊二尺倍之得四尺即所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊二尺其體積八尺八倍之得六十四尺即如戊己庚辛正方體積其每邊得甲乙丙丁正方形每邊之二倍是故不用八倍其積開立方止以毎邊二尺倍之而即得也此法葢因兩體積之比例比之兩界之比例為連比例隔二位相加之比例【見幾何原本十巻第四節】故戊己庚辛正方體積六十四尺與甲乙丙丁正方體積之八尺相比為八分之一而戊己庚辛正方邊之四尺與甲乙丙丁正方邊之二尺之比為二分之一夫六十四與三十二三十二與十六十六與八八與四四與二皆為二分之一之連比例而六十四與八之比其間隔三十二與十六之兩位故為連比例隔二位相加之比例也 設如長方體長一尺二寸闊八寸高四寸今将其積倍之仍與原形為同式形問得長闊高各幾何法以長一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸開立方得一尺五寸一分一厘有餘即所求之長既得長乃以原長一尺二寸為一率原闊八寸為二率今所得之長一尺五寸一分一厘有餘