卷二十五

為三率求得四率一尺零七厘有餘即所求之闊也又以原長一尺二寸為一率原高四寸為二率今所得之長一尺五寸一分一厘有餘為三率求得四率五寸零三厘有餘即所求之高也或以闊八寸自乘再乘倍之開立方亦得一尺零七厘有餘為所求之闊以高四寸自乘再乘倍之開立方亦得五寸零三厘有餘為所求之高也如圖甲乙丙丁長方體甲乙高四寸丁戊闊八寸甲戊長一尺二寸将其積倍之即如己庚辛壬長方體此兩長方體積之比例即同于其相當二界各作兩正方體積之比例【見幾何原本十巻第五節】故依甲乙丙丁長方體之甲戊長界作甲戊醜子正方體将其積倍之即如己庚辛壬長方體之己癸長界所作之己癸卯寅正方體故開立方得己癸為所求之長也既得己癸之長則以甲戊與丁戊之比即同于己癸與壬癸之比得壬癸為所求之闊又甲戊與甲乙之比同于己癸與己庚之比得己庚為所求之高也若以原闊自乘再乘倍之開立方亦得一尺零七厘有餘為今所求之闊原高自乘再乘倍之開立方亦得五寸零三厘有餘為今所求之高皆如以其相當二界各作正方體互相為比之理也 設如長方體長一尺二寸闊八寸高四寸今将其積八倍之仍與原形為同式形問得長闊高各幾何法以長一尺二寸倍之得二尺四寸即所求之長又以原闊八寸倍之得一尺六寸即所求之闊又以原高四寸倍之得八寸即所求之高也如圖甲乙丙丁長方體甲乙高四寸丁戊闊八寸甲戊長一尺二寸将其積八倍之即如巳庚辛壬長方體其每邊得甲乙丙丁長方體毎邊之二倍是故不用八倍其積開立方止以各邊之數倍之而即得也此法蓋因兩長方體之比例既同于其相當二界各作正方體之比例而兩正方體之比例比之二界之比例為連比例隔二位相加之比例故兩長方體積之比例較之兩體各界之比例亦為連比例隔二位相加之比例也 設如塹堵體形闊五尺長十二尺高七尺問積幾何法以闊五尺與長十二尺相乘得六十尺又以高七尺再乘得四百二十尺折半得二百一十尺即塹堵體形之積也葢塹堵體形即平行二勾股面之三棱長體如甲乙丙丁戊己塹堵體形其兩端之二面皆為勾股形一為甲乙丙一為丁戊己俱平行以乙丙闊與丙丁長相乘成乙丙丁己長方面形又以甲乙高再乘成甲乙丙丁庚戊長方體形凡平行面之長方體自其一面之對角線平分為兩三棱體此兩三棱體之積相等【見幾何原本五卷第十七節】夫一長方體所分兩三棱體之積既相等則三棱體積必為長方體積之一半故将所得之甲乙丙丁庚戊長方體積折半即得甲乙丙丁戊己塹堵體形之積也 又法以闊五尺與高七尺相乘得三十五尺折半得一十七尺五寸與長十二尺相乘得二百一十尺即塹堵體形之積也如甲乙丙丁戊己塹堵體形以甲乙高與乙丙闊相乘折半得甲乙丙一勾股面積又與丙丁長相乘即得甲乙丙丁戊己塹堵體形之積也 設如刍荛體形闊四尺長十二尺高四尺問積幾何法以闊四尺與長十二尺相乘得四十八尺又與高四尺相乘得一百九十二尺折半得九十六尺即刍荛體形之積也葢刍荛體形即平行兩三角面之三棱長體【有直角為塹堵體無直角為刍荛體】如甲乙丙丁戊己刍荛體形其兩端之二面皆為三角形一為甲乙丙一為丁戊巳俱平行以乙丙闊與丙丁長相乘成乙丙丁已長方面形又以甲庚高再乘成辛乙丙丁壬癸長方體形凡平行面之三棱體積為平行面方體積之一半【見幾何原本五卷第二十節】故将所得之辛乙丙丁壬癸長方體積折半即得甲乙丙丁戊己刍荛體形之積也 又法以闊四尺與高四尺相乘得一十六尺折半得八尺與長十二尺相乘得九十六尺即刍荛體形之積也如甲乙丙丁戊己刍荛體形以乙丙闊與甲庚高相乘折半得甲乙丙三角形面積又與丙丁長相乘即得甲乙丙丁戊己刍荛體形之積也 設如方底尖體形底方毎邊五尺自尖至四角之斜線皆六尺問自尖至底中立垂線之高幾何法以底方每邊五尺求對角斜線法求得底方對角斜線七尺零七分一厘零六絲有餘折半得三尺五寸三分五厘五豪三絲有餘為勾以自尖至四角之斜線六尺為?用勾?求股法求得股四尺八寸四分七厘六豪八絲有餘即自尖至底中立垂線之高數也如圖甲乙丙丁戊方底尖體形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁對角斜線折半于己得乙巳為勾以自尖至角之甲乙斜線為?求得甲己股即自尖至底中立垂線之高也 又法以底方每邊五尺為平面三角形之底以自尖至四角之斜線六尺為兩腰用平面三角形求中垂線法求得一面中垂線五尺四寸五分四厘三豪五絲為?以底方每邊五尺折半得二尺五寸為勾求得股四尺八寸四分七厘六豪七絲有餘即自尖至底中立垂線之高數也如圖甲乙丙丁戊尖方體其四面皆為平面三角形一為甲乙丙一為甲丙丁一為甲丁戊一為甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙為底以甲乙甲丙為兩腰求得甲庚中垂線而以此甲庚為?底邉折半得庚己為勾求得甲己股即自尖至底中立垂線之高也 設如方底尖體形底方每邊六尺高三尺問積幾何法以下方每邊六尺自乘得三十六尺又以高三尺再乘得一百零八尺三歸之得三十六尺