卷二十五

即方底尖體形之積也如甲乙丙丁戊方底尖體形以乙丙一邊自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲己高再乘得庚乙丁辛扁方體形此扁方體與尖方體之底面積等其高又等故庚乙丁辛一扁方體之積與甲乙丙丁戊尖方體三形之積等【見幾何原本五卷第二十三節】試将甲己高倍之得壬己與乙丙丁戊底面積相乘得癸乙丁子正方體形此正方體之乙丙丁戊子寅癸醜癸乙丙醜戊丁子寅乙戊寅癸丙丁子醜六方面皆與尖方體之底面積等又自甲心依各棱至各角剖之則成甲乙丙丁戊甲子寅癸醜甲癸乙丙醜甲戊丁子寅甲乙戊寅癸甲丙丁子醜六尖方體此每一尖方體俱為倍高正方體之六分之一既為倍高正方體之六分之一則必為同高扁方體之三分之一故将所得庚乙丁辛之同高方體積三分之而得甲乙丙丁戊尖方體之積也 設如陽馬體形底方毎邊六尺高亦六尺問積幾何法以底方毎邊六尺自乘得三十六尺又以高六尺再乘得二百一十六尺三歸之得七十二尺即陽馬體形之積也如甲乙丙丁戊陽馬體形以乙丙一邊自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲丁高再乘得己乙丁甲正方體形此己乙丁甲一正方體之積與甲乙丙丁戊陽馬體三形之積等故三分之即得陽馬體之積也此陽馬體與尖方體形雖不同而法則一葢尖方體形尖在正中陽馬體形尖在一隅然大凡體形其底面積等高度又等則其體積亦必相等【見幾何原本二巻第二十二節】故今陽馬體之乙丙丁戊底面積即如尖方體之底其甲丁高度即如尖方體之高度故形雖不同而積則一也 設如鼈臑體形長與闊俱四尺高九尺問積幾何法以長與闊四尺自乘得十六尺以高九尺再乘得一百四十四尺六歸之得二十四尺即鼈臑體形之積也葢鼈臑體即勾股面之尖體如甲乙丙丁鼈臑體形以丁丙長與乙丙闊相乘成乙丙丁戊正方面形以甲丁高再乘成甲庚戊乙丙己長方體形此一長方體之積與甲戊乙丙丁陽馬體三形之積等而甲乙丙丁鼈臑體之積又為甲戊乙丙丁陽馬體積之一半葢各類尖體其底面積等其高又等則其體積亦等【見幾何原本二卷第二十二節】今甲乙丙丁鼈臑體之乙丙丁底積為甲戊乙丙丁陽馬體之乙丙丁戊底面積之一半則甲乙丙丁鼈臑體積亦必為甲戊乙丙丁陽馬體積之一半鼈臑體既為陽馬體之一半而陽馬體又為長方體之三分之一則鼈臑體必為長方體之六分之一故将所得甲庚戊乙丙己長方體積六分之即得甲乙丙丁鼈臑體之積也又凡正方體或長方體按法剖之即成塹堵陽馬鼈臑各體而自得其相比之率也如圖甲乙丙丁戊己正方體自其庚乙一面對角線至對面戊辛對角斜線平分之即得甲乙辛戊己與庚乙丙丁戊二塹堵體又将庚乙丙丁戊塹堵體自其上棱戊角至乙對角依乙丙下棱斜剖之則得戊乙丙丁辛一陽馬體乙丙戊庚一鼈臑體又将戊乙丙丁辛陽馬體自其戊乙相對斜棱平分之則得戊乙丁辛與戊乙丙丁二鼈臑體夫一正方體剖之得二塹堵體是塹堵體為正方體二分之一也一塹堵體剖之得一陽馬體一鼈臑體而一陽馬體剖之又得二鼈臑體是陽馬體為塹堵體之三分之二即為正方體之三分之一而鼈臑體為塹堵體之三分之一即為正方體之六分之一也 設如上下不等正方體形上方毎邊四尺下方毎邊六尺高八尺問積幾何 法以上方每邊四尺自乘得一十六尺下方每邊六尺自乘得三十六尺又以上方毎邊四尺與下方毎邊六尺相乘得二十四尺三數相并得七十六尺與高八尺相乘得六百零八尺三歸之得二百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也如甲乙丙丁上下不等正方體形戊丁上方邊自乘得甲戊丁己正方面形庚丙下方邊自乘得乙庚丙辛正方面形戊丁上方邊與庚丙下方邊相乘得壬癸子醜長方面形将此三方面形相并與高八尺相乘得三長方體形其一上下方面俱如甲戊丁己其一上下方面俱如乙庚丙辛其一上下方面俱如壬癸子醜葢乙庚丙辛長方體比甲戊丁己長方體多壬癸戊甲戊寅卯丁己丁子醜辰甲已巳四方廉體又多乙壬甲辰癸庚寅戊丁卯丙子已已醜辛四長廉體而壬癸子醜長方體比甲戊丁巳長方體多壬癸戊甲巳丁子醜二方廉體若将共多之六方廉體四長廉體俱截去則此三長方體之上下方面必皆如甲戊丁己乃以每一方廉體變為二塹堵體每一長廉體變為三陽馬體共得十二塹堵體十二陽馬體将甲戊丁已類三長方體各加四塹堵體四陽馬體則皆成上下不等三正方體故三歸之而得甲乙丙丁上下不等一正方體形之積也又法以上方邊四尺與下方邊六尺相減餘二尺折半得一尺為一率高八尺為二率下方邊六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等正方體形上補成一尖方體之共高乃以下方邊六尺自乘得三十六尺與所得共高二十四尺相乘得八百六十四尺三歸之得二百八十八尺為大尖方體之積又以高八尺與共高二十四尺相減餘十六尺為上小尖方體之高以上方邊四尺自乘得十六尺與上高十六尺相乘得二百五十六尺三歸之得八十五尺三百三十三寸有餘為上小尖方體之積與大尖方體積二百八十八尺相減餘二百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也如