卷二十五

甲乙丙丁上下不等正方體形加戊甲丁小尖方體形遂成戊乙丙大尖方體形先以上方邊與丁方邊相減折半如巳庚下方邊折半如己辛依勾股比例巳庚與壬庚之比即同于己辛與戊辛之比以戊辛與乙丙下方面相乘三歸之得戊乙丙大尖方體積以戊癸與甲丁上方面相乘三歸之得戊甲丁小尖方體積于戊乙丙大尖方體積内減去戊甲丁小尖方體積所餘必甲乙丙丁上下不等正方體形之積也 設如上下不等長方體形上方長四尺闊三尺下方長八尺闊六尺高十尺問積幾何 法以上長四尺與上闊三尺相乘得十二尺倍之得二十四尺下長八尺與下闊六尺相乘得四十八尺倍之得九十六尺又以上闊三尺與下長八尺相乘得二十四尺以下闊六尺與上長四尺相乘得二十四尺四數相并得一百六十八尺與高十尺相乘得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也如甲乙丙丁上下不等長方體形戊丁上長與甲戊上闊相乘得一甲戊丁庚長方面形倍之得二甲戊丁庚長方面形已丙下長與乙己下闊相乘得一乙己丙辛長方面形倍之得二乙己丙辛長方面形甲戊上闊與已丙下長相乘得一壬癸子醜長方面形乙己下闊與戊丁上長相乘得一寅卯辰巳長方面形将此六長方面形相并與高十尺相乘得六長方體形其二上下方面俱如甲戊丁庚其二上下方面俱如乙己丙辛其一上下方面俱如壬癸子醜其一上下方面俱如寅卯辰巳葢二乙己丙辛長方體比二甲戊丁庚長方體為多二壬癸戊甲二戊卯辰丁二庚丁子醜二寅甲庚己八方廉體又多二乙壬甲寅二癸巳卯戊二丁辰丙子二巳庚醜辛八長廉體而一壬癸子醜長方體比一甲戊丁庚長方體多一壬癸戊甲一庚丁子醜二方廉體而一寅卯辰巳長方體比一甲戊丁庚長方體多一寅甲庚巳一戊卯辰丁二方廉體若将共多之十二方廉體八長廉體俱截去則此六長方體之上下方面必皆如甲戊丁庚乃以每一方廉體變為二塹堵體每一長廉體變為三陽馬體共得二十四塹堵體二十四陽馬體将六長方體各加四塹堵體四陽馬體則皆成上下不等六長方體故六歸之而得甲乙丙丁上下不等長方體形之積也 又法以上長四尺倍之得八尺加下長八尺共十六尺與上闊三尺相乘得四十八尺又以下長八尺倍之得十六尺加上長四尺得二十尺與下闊六尺相乘得一百二十尺兩數相并得一百六十八尺與高十尺相乘得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也此法與前法同此法之以上長倍之加下長與上闊相乘之數即前法之上長上闊相乘倍之又加上闊與下長相乘之數也又此法之以下長倍之加上長與下闊相乘之數即前法之下長下闊相乘倍之又加下闊與上長相乘之數也圖解并同又法以上長四尺與上闊三尺相乘得十二尺下長八尺與下闊六尺相乘得四十八尺又以上長四尺與下闊六尺相乘下長八尺與上闊三尺相乘共得四十八尺折半得二十四尺三數相并得八十四尺與高十尺相乘得八百四十尺三歸之得二百八十尺亦即上下不等長方體形之積也葢此法與上下不等正方體求積之法同但正方體上下俱系正方面故止用上下方邊各自乘上方邊與下方邊相乘此則上下方面各有長闊既用上方長闊相乘下方長闊相乘又必以上長乘下闊下長乘上闊相加折半以取中數乃可相并而與高數相乘三歸之而得體積也又法以上長四尺與下長八尺相減餘四尺折半得二尺為一率高十尺為二率下長八尺折半得四尺為三率求得四率二十尺為上下不等長方體形上補成一尖長方體之共高乃以下長八尺與下闊六尺相乘得四十八尺與所得共高二十尺相乘得九百六十尺三歸之得三百二十尺為大尖長方體之積又以高十尺與共高二十尺相減餘十尺為上小尖長方體之高以上長四尺與上闊三尺相乘得十二尺與上高十尺相乘得一百二十尺三歸之得四十尺為上小尖長方體之積與大尖長方體積三百二十尺相減餘二百八十尺即上下不等長方體形之積也如甲乙丙丁上下不等長方體形加戊甲丁小尖長方體形遂成戊乙丙大尖長方體形先以上長與下長相減折半如己庚以下長折半如己辛依勾股比例己庚與壬庚之比即同于己辛與戊辛之比以戊辛與乙丙下長方面相乘三歸之得戊乙丙大尖長方體積以戊癸與甲丁上長方面相乘三歸之得戊甲丁小尖長方體積于戊乙丙大尖體積内減去戊甲丁小尖體積所餘必甲乙丙丁上下不等長方體形之積也 設如上下不等刍荛體形上長十尺下長十四尺下闊五尺高十二尺問積幾何 法以上長十尺與下闊五尺相乘得五十尺以高十二尺再乘得六百尺折半得三百尺為上下相等刍荛體積又以上長十尺與下長十四尺相減餘四尺與下闊五尺相乘得二十尺以高十二尺再乘得二百四十尺三歸之得八十尺與先所得上下相等刍荛體積三百尺相并得三百八十尺即上下不等刍荛體之積也如甲乙丙丁戊上下不等刍荛體形自其上棱之甲戊兩端直剖之則分為甲己辛壬戊一刍荛體甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體故以與上長相等之己庚與己辛闊【與乙丙等】相乘即得己辛壬庚刍荛體之底面積與甲癸高相乘折半得甲己辛壬