卷二十四

闊之和初商所得為高與高闊和相減所餘為闊以高與高長和相減所 餘即長也設如帶兩縱不同立方積八千零六十四尺高與闊和三十六尺高與長和四十尺問高闊長各防何法列積如開立方法商之其八千尺為初商積可商二十尺因欲得小于半和之數乃退商十尺書于原積八千尺之上而以所商十尺為初商之高與高闊和三十六尺相減餘二十六尺為初商之闊又以初商之高十尺與高長和四十尺相減餘三十尺為初商之長即以初商之高十尺與初商之闊二十六尺相乘得二百六十尺以初商之長三十尺再乘得七千八百尺書于原積之下相減餘二百六十四尺為一長方廉積其厚即次商之數其長與闊比初商之長與闊各少一次商之數乃以初商之長三十尺與初商之闊二十六尺相乘得七百八十尺以除餘積二百六十四尺不足一尺因仍益積且初商之長闊尚減去次商數故取大數為二尺書于原積四尺之上而以所商二尺與初商之闊二十六尺相減餘二十四尺為初商次商之闊以所商二尺與初商之長三十尺相減餘二十八尺為初商次商之長即以初商次商之闊二十四尺與初商之高十尺相乘得二百四十尺又以初商次商之長二十八尺與初商之高十尺相乘得二百八十尺兩數相并得五百二十尺以次商二尺乘之得一十零四十尺為二方廉積又以次商二尺自乘得四尺以初商十尺再乘得四十尺為一長廉積合二方廉一長廉積共一千零八十尺與餘積二百六十四尺相加得一千三百四十四尺為次商一方廉積乃以初商次商之闊二十四尺與長二十八尺相乘得六百七十二尺以次商二尺再乘得一千三百四十四尺書于餘積之下相減恰盡是知立方之高十二尺闊二十四尺長二十八尺也如圗甲乙丙丁扁長方體形容積八千零六十四尺甲乙高十二尺甲戊長二十八尺甲己闊二十四尺甲乙與甲己共三十六尺即高與闊之和甲乙與甲戊共四十尺即高與長之和其從一面所分庚乙癸子扁長方體形庚乙十尺即初商數庚醜三十尺即高與長和内減初商之數庚寅二十六尺即高與闊和内減初商之數庚醜比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商數庚乙癸子長方積七千八百尺即初商之長與初商之闊相乘又以初商之高再乘之數比原長原闊多巳午二方廉積未一長廉積因初商積内多減去此積故以初商次商之長與初商之髙相乘以初商次商之闊與初商之髙相乘兩數相并以次商再乘即得巳午二方廉積又以次商自乘以初商之髙再乘即得未一長廉積與餘積相加即得甲庚辛壬丁戊一扁長方體形其甲巳闊二十四尺即髙闊和内減初商次商之數甲戊長二十八尺即髙長和内減初商次啇之數甲庚厚二尺即次啇數附于初啇扁長方體之一面而成甲乙丙丁之總扁長方體積也三商以後皆仿此逓折推之 設如帶兩縱不同立方積一十七萬二千六百九十二尺髙與闊和一百二十九尺髙與長和二百四十尺問髙闊長各幾何 法列積如開立方法商之其一十七萬二千尺為初商積可啇五十尺而長即為一百九十尺闊即為七十九尺按法相乘過大于原積爰以髙與闊和一百二十九尺與髙與長和二百四十尺相乘得三萬零八百六十尺以除原積一十七萬二千六百九十二尺足五尺取略大之數為六尺乃以六尺書于原積二尺之上而以所商六尺為髙與髙與闊和一百二十九尺相減餘一百二十三尺為闊又以髙六尺與髙與長和二百四十尺相減餘二百三十四尺為長即以闊一百二十三尺與長二百三十四尺相乘得二萬八千七百八十二尺又以髙六尺再乘得一十七萬二千六百九十二尺書于原積之下相減恰盡是知立方之髙為六尺闊為一百二十三尺長為二百三十四尺也此法蓋因帶兩縱甚多而髙數甚少其髙與闊和比原闊所多無幾髙與長和比原長所多亦無防故以高與闊和與高與長和相乘得一面積以除原積即得高與高闊和相減所餘為闊與高與長和相減所餘即長也 附勾股法四條 設如勾股積六尺勾?較二尺求勾股?各防何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾?較二尺除之得七十二尺折半得三十六尺為長方體積乃以勾?較二尺折半得一尺為長方體之長比髙闊所多之較用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊三尺為勾加勾?較二尺得五尺為?以勾三尺除倍積十二尺得四尺為股也此法有勾股積勾?較必得股自乘積以勾?較除之始得勾?和而勾?和為二勾一勾?較之共數将勾?和半之為一勾半勾?較之共數今作為帶縱立方體算者即如以勾為帶縱立方之髙與闊勾與半勾?較之共數為帶縱立方之長半勾?較為帶縱之較用帶縱較數立方法開之得髙與闊即勾也如甲乙丙勾股積倍之成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如勾自乘股自乘兩自乘數再相乘之壬癸子醜長方面積試将此長方面積變為長方體積其底為勾自乘之數其長為股自乘之數其勾自乘之底邊即勾而股自乘之長又為勾?較與勾?和相乘之數是暗中已得股自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳長方體形然又試作一申甲乙酉?自乘之正方内申戌乙丙為勾自乘之正方則戌甲乙酉丙乙磬折形與股自乘之正方等引而長之成戌甲丙亥之長方其戌甲闊即勾?較甲乙丙長即勾?和今以股自乘之數用勾?較除之得勾?和即如寅卯辰巳之長方體積用勾?較除之而得幹坎辰巳之長方體積其午未辰巳之髙闊相乘之面積未減而坎未之長即為勾?和矣勾?和既為二勾一勾?較之共數折半則得一勾半勾?較之共數故将所得之幹坎辰巳長方體積折半為艮震辰巳長方體積其巳辰髙未辰闊仍皆為勾與巽未等其震未長為勾與半勾?較之共數震巽為半勾?較即長比髙闊所多之數故以勾?較折半用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊為勾也 設如勾股積六尺勾?和八尺求勾股?各防何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾?和八尺除之得十八尺折半得九尺為扁方體積乃以勾?和八尺折半得四尺為扁方體之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊三尺為勾于勾?和八尺内減勾三尺餘五尺為?以勾三尺除倍積十二尺得四尺為股也此法有勾股積勾?和必得股自乘積以勾?和除之始得勾?較半之為半勾?較今作為帶縱立方體算者即如以勾為帶縱立方之長與闊半勾?較為帶縱立方之髙一勾半勾?較之共數為帶縱立方之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數立方法開之得長與闊即勾也如甲乙丙勾股積倍之成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如勾自乘股自乘兩自乘數再相乘之壬癸子醜長方面積試将此長方面積變為長方體積其底為勾自乘之數其髙為股自乘之數其勾自乘之底邊即勾而股自乘之髙又為勾?較與勾?和相乘之數是暗中已得股自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳長方體形然又試作一申甲乙酉?自乘之正方内申戊乙丙為勾自乘之正方則戌甲乙酉丙乙磬折形與股自乘之正方等引而長之成戌甲丙亥之長方其戌甲闊即勾?較甲乙丙長即勾?和今以股自乘之數用勾?和除之則得勾?較即如寅卯辰巳之長方體積用勾?和除之而得幹卯辰坎扁方體積其卯午辰未之長闊相乘之面積未減而幹卯之髙即為勾?較矣折半則得艮卯辰震扁方體積其卯午長午辰闊仍皆為勾而艮卯之髙為半勾?較其艮卯與卯午即髙與長闊之和為一勾半勾?較之共數而勾?和乃二勾一勾?較之共數故以勾?和折半得一勾半勾?較用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊為勾也 設如勾股積六尺股?較一尺求勾股?各防何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股?較一尺除之仍得一百四十四尺折半得七十二尺為長方體積乃以股?較一尺折半得五寸為長方體之長比髙闊所多之較用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊四尺為股加股?較一尺得五尺為?以股四尺除倍積十二尺得三尺為勾也此法有勾股積有股?較必得勾自乘積以股?較除之始得股?和而股?和為二股一股?較之共數将股?和半之為一股半股?較之共數今作為帶縱立方體算者即如以股為帶縱立方之髙與闊股與半股?較之共數為帶縱立方之長半股?較為帶縱之較用帶縱較數立方法開之得髙與闊即股也如甲乙丙勾股積倍之則成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如股自乘勾自乘兩自乘數再相乘之壬癸子醜長方面積試将此長方面積變為長方體積其底為股自乘之數其長為勾自乘之數其股自乘之底邊即股而勾自乘之長又為股?較與股?和相乘之數是暗中已得勾自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳之長方體形然又試作一申乙甲酉?自乘之正方内申戌丙甲為股自乘之正方則戌乙甲酉甲丙磬折形與勾自乘之正方等引而長之成戌乙丙亥之長方其戌乙闊即股?較乙甲丙長即股?和今以勾自乘之數用股?較除之得股?和即如寅卯辰巳之長方體積用股?較除之仍得寅卯辰巳之長方體積其午未辰巳髙闊相乘之面積與卯未之長俱未減而卯未之長即命為股?和矣股?和既為二股一股?較之共數折半則得一股半股?較之共數故将所得之寅卯辰已長方體積折半為幹坎辰已長方體積其未辰闊已辰髙仍皆為股與艮未等其坎未長為股與半股?較之共數坎艮為半股?較即長比髙闊所多之數故以股?較折半用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊為股也 設如勾股積六尺股?和九尺求勾股?各幾何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股?和九尺除之得十六尺折半得八尺為扁方體積乃以股?和九尺折半得四尺五寸為扁方體之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊四尺為股于股?和九尺内減股四尺餘五尺為?以股四尺除倍積十二尺得三尺為勾也此法有勾股積股?和必得勾自乘積以股?和除之始得股?較半之為半股?較今作為帶縱立方體算者即如以股為帶縱立方之長與闊半股?較為帶縱立方之髙一股半股?較之共數為帶縱立方之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數立方法開之得長與闊即股也如甲乙丙勾股積倍之成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如股自乘勾自乘兩自乘數再相乘之壬癸子醜長方面積試将此長方面積變為長方體積其底為股自乘之數其髙為勾自乘之數其股自乘之底邊即股而勾自乘之髙又為股?和與股?較相乘之數是暗中已得勾自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳長方體形然又試作一申乙甲酉?自乘之正方内申戌丙甲為股自乘之正方則戌乙甲酉甲丙磬折形與勾自乘之正方等引而長之成戌乙丙亥之長方其戌乙闊即股?較乙甲丙長即股?和今以勾自乘之數用股?和除之則得股?較即如寅夘辰巳之長方體積用股?和除之而得幹夘辰坎扁方體積其夘午辰未長闊相乘之面積未減而幹夘之高即為股?較矣折半則得艮夘辰震扁方體積其夘午長午辰闊仍皆為股而艮夘之高為半股?較其艮夘與夘午即高與長闊之和為一股半股?較之共數而股?和乃二股一股?較之共數故以股?和折半得一股半股?較用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊為股也 禦制數理精蘊下編卷二十四