卷二十四

次商亷隅之共積乃以初商之深十尺與初商之寬十三尺相乘得一百三十尺又以初商之寬十三尺與初商之長二百七十七尺相乘得三千六百零一尺又以初商之深十尺與初商之長二百七十七尺相乘得二千七百七十尺三數相并得六千五百零一尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積四萬零一百三十尺足五尺則以五尺書于原積空尺之上而以初商之深十尺與初商之寬十三尺初商之長二百七十七尺相并得三百尺以次商之五尺乘之得一千五百尺為次商三長亷面積又以次商之五尺自乘得二十五尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得八千零二十六尺為廉隅共法以次商之五尺乘之得四萬零一百三十尺書于餘積之下相減恰盡是知挑河之深為十五尺加寬比深多三尺得十八尺為寬再加長比寛多二百六十四尺得二百八十二尺為河一段之長也 ?縱和數立方 ?縱較數立方其法已難而?縱和數立方立法尤難故古無傳而以理推之則法有與較數相對待者其?一縱立方高與闊相等惟長不同如以長與高和或長與闊和為問者則以初商為高與闊而與和數相減餘為長乃以高與闊自乗以長再乗為初商積其或和數甚多而積甚少按立方法商之必至大于原積者則以和數除原積得數約開平方可得幾數取略大數以定初商初商減積有餘實者其初商方積外有二方亷一長亷成兩面磬折體形而初商之高與闊少一次商初商之長多一次商故内少一方亷積商除之法則以初商之高與闊與初商之長相乗倍之為二方亷面積視餘實足方亷面積幾倍取略大數以定次商而以初商自乗次商再乗得一方亷積與餘實相加始足次商二方亷一長亷之共積故以次商與初商之長相減餘為初商次商之共長與初商相乗倍之為二方亷面積又以初商次商之共長與次商相乗為一長亷面積合二方亷一長亷面積以次商乗之為二方亷一長亷之共積所謂初商方積外成兩面磬折體形是也其?兩縱相同立方長與闊相等惟高不同如以高與闊和或高與長和為問者則以初商為高與和數相減餘為長與闊乃以長與闊自乗以高再乗為初商積其或和數甚多而積甚少按立方法商之必至大于原積者則以和數自乗除原積約足幾倍取略大數以定初商初商減積有餘實者初商方積外止一方亷成一扁方體形而初商之高少一次商初商之長與闊各多一次商故内少二方亷一長亷積商除之法則以初商之長與闊自乗為一方亷面積視餘實足方亷面積幾倍取略大數以定次商以次商與初商之長與闊相減餘為初商次商之長與闊而與初商相乗次商再乗倍之為二方亷積又以次商自乗初商再乗為一長亷積合二方亷一長亷積與餘實相加始足次商一方亷積故以初商次商之長與闊自乗次商再乗為一方亷積所謂初商方積外成一扁方體形是也其?兩縱不同立方與?兩縱相同立方同但帶兩縱相同者其次商積為一正方廉帶兩縱不同者其次商積為一長方廉耳要之定商皆以小于半和為準有時退商而反不足進商而反有餘須合初商次商以斟酌之至次商以後因有益積之法故廉法亦不足憑則又須較量而増損之可也 設如帶一縱立方積七百六十八尺其高與闊等長與闊和二十尺問高闊長各防何 法列積如開立方法商之其積七百六十八尺可商九尺則以九尺為高與闊與長闊和二十尺相減餘十一尺為長即以高與闊九尺自乘得八十一尺又以長十一尺再乘得八百九十一尺大于原積乃退商八尺書于原積八尺之上而以所商八尺為高與闊與長闊和二十尺相減餘十二尺為長即以髙與闊八尺自乘得六十四尺又以長十二尺再乘得七百六十八尺書于原積之下相減恰盡是知立方之高與闊俱八尺長十二尺也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積七百六十八尺其甲乙為高乙丙為闊丙丁為長甲乙乙丙俱八尺丙丁為十二尺乙丙與丙丁共二十尺即長闊之和初商所得即高與闊于長闊和内減去初商所餘即長也此法與較數帶縱立方有加減之異彼以所商之數與較數相加此則以所商之數與和數相減也 設如帶一縱立方積二千四百四十八尺其高與闊相等長與闊和二十九尺問髙闊長各防何法列積如開立方法商之其二千尺為初商積可商十尺乃以十尺書于原積二千尺之上而以所商十尺為初商之高與闊與長闊和二十九尺相減餘十九尺為初商之長即以初商之高與闊十尺自乘得一百尺又以初商之長十九尺再乘得一千九百尺書于原積之下相減餘五百四十八尺乃以初商之髙與闊十尺與初商之長十九尺相乘得一百九十尺倍之得三百八十尺以除餘積五百四十八尺足一尺因仍益積且初商之長尚減去次商數故取大數為二尺則以二尺書于原積八尺之上而以初商十尺自乘又以次商二尺再乘得二百尺與餘積五百四十八尺相加得七百四十八尺為次商二方廉一長廉之共積乃以次商二尺與初高之長十九尺相減餘十七尺為初商次商之長與初商之高與闊十尺相乘得一百七十尺倍之得三百四十尺為二方廉面積又以次商二尺與初商次商之長十七尺相乘得三十四尺為一長廉面積合二方廉一長廉面積共三百七十四尺以次商二尺乘之得七百四十八尺書于餘積之下相減恰盡是知立方之高與闊俱十二尺長十七尺也如圖甲乙丙丁長方體形甲乙高乙戊闊皆十二尺戊丙長十七尺乙戊與戊丙共二十九尺即長闊之和其從一角所分己乙壬癸長方體形己乙與乙庚皆十尺即初商數壬庚十九尺即長闊和内減初商所餘之數比戊丙多子壬一段即次商數己乙壬癸長方積一千九百尺即初商自乘又以初商與長闊和相減之餘再乘之數比初商原體積多醜寅壬癸一扁方體形因初商積内多減去此積故以初商自乗次商再乗而得醜寅壬癸扁方體積與餘積相加即得甲己辛庚丙丁兩面磬折體形其辰形巳形為兩方廉其闊十尺即初商數其長十七尺即長闊和内減初商次商之數其厚皆二尺即次商數午形為一長廉其長十七尺與方廉同其闊與厚皆二尺亦即次商數合二方廉一長廉共成一磬折體形附于長方體之兩面而成甲乙丙丁之總長方體積也 設如帶一縱立方積九萬九千九百五十四尺其高與闊相等長與闊和一千二百四十三尺問高闊長各防何 法列積如開立方法商之其九萬九千尺為初商積可商四十尺而長闊和為一千二百四十三尺按法相乘過大于原積爰以長闊和一千二百四十三尺除原積九萬九千九百五十四尺足八十尺有餘以八十尺開平方約足九尺乃以九尺書于原積四尺之上而以所商九尺為髙與闊與長闊和一千二百四十三尺相減餘一千二百三十四尺為長即以髙與闊九尺自乘得八十一尺又以長一千二百三十四尺再乘得九萬九千九百五十四尺書于原積之下相減恰盡是知立方之髙與闊俱九尺長一千二百三十四尺也此法葢因帶一縱甚多高與闊甚少其長闊和比長所多無防故以長闊和除原積即得髙與闊自乘之一面積而開平方所得即髙與闊與長闊和相減所餘即長也 設如帶兩縱相同立方積三百八十四尺其長與闊相等高與闊和十四尺問髙闊長各防何 法列積如開立方法商之其積三百八十四尺可商七尺因欲得小于半和之數乃退商六尺書于原積四尺之上而以所商六尺為高與高闊和十四尺相減餘八尺為長與闊即以長與闊八尺自乘得六十四尺又以高六尺再乘得三百八十四尺書于原積之下相減恰盡是知立方之高為六尺長與闊皆八尺也如圖甲乙丙丁戊己扁方體形容積三百八十四尺其甲乙為高乙丙為闊丙丁為長甲乙六尺乙丙與丙丁皆八尺甲乙與乙丙共十四尺即高與闊之和初商所得為高于高闊和内減去初商所餘為闊亦即長也 設如帶兩縱相同立方積六千九百一十二尺其長與闊相等高與闊和三十六尺問高闊長各防何法列積如開立方法商之其六千尺為初商積可商十尺乃以十尺書于原積六千尺之上而以所商十尺為初商之高與高闊和三十六尺相減餘二十六尺為初商之長與闊即以初商之長與闊二十六尺自乘得六百七十六尺又以初商之高十尺再乘得六千七百六十尺書于原積之下相減餘一百五十二尺乃以初商之長與闊二十六尺自乘得六百七十六尺以除餘積一百五十二尺不足一尺因仍益積且初商之長與闊内尚減去次商數故取大數為二尺書于原積二尺之上而以次商二尺與初商之長與闊二十六尺相減餘二十四尺為初商次商之長與闊與初商十尺相乘得二百四十尺以次商二尺再乘得四百八十尺倍之得九百六十尺為二方廉積又以次商二尺自乘以初商十尺再乘得四十尺為一長廉積合二方廉一長廉積共一千尺與餘積一百五十二尺相加得一千一百五十二尺為次商一方廉積乃以初商次商之長二十四尺自乘得五百七十六尺以次商二尺再乘得一千一百五十二尺書于餘積之下相減恰盡是知立方之高十二尺長與闊皆二十四尺也如圖甲乙丙丁扁方體形容積六千九百一十二尺甲乙高十二尺甲戊長甲己闊俱二十四尺甲己與甲乙共三十六尺即高與闊之和其從一面所分庚乙癸子扁方體形庚乙十尺即初商數庚醜與庚寅皆二十六尺即高闊和内減初商之數庚醜比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商數庚乙癸子長方積六千七百六十尺即初商與高闊和相減之餘數自乘又以初商再乘之數比初商原體積多巳午二方廉積未一長廉積因初商積内多減去此積故以初商次商之長與闊與初商相乘以次商再乘倍之即得巳午二方廉積又以次商自乘以初商再乘即得未一長廉積與餘積相加即得甲庚辛壬丁戊扁方體形其甲戊長甲己闊皆二十四尺即高闊和内減初商次商之數甲庚厚二尺即次商數附于初商扁方體之一面而成甲乙丙丁之總扁方體積也三商以後皆仿此遞析推之 設如帶兩縱相同立方積三百九十六萬八千零六十四尺其長與闊相等高與闊和一千尺問高闊長各防何 法列積如開立方法商之其三百萬尺為初商積可商一百尺而高闊和為一千尺按法相乘過大于原積爰以髙闊和一千尺自乘得一百萬尺以除原積三百九十六萬八千零六十四尺足三尺取略大數為四尺乃以四尺書于原積四尺之上而以所商四尺為髙與高闊和一千尺相減餘九百九十六尺為長與闊即以長與闊九百九十六尺自乘得九十九萬二千零一十六尺又以髙四尺再乘得三百九十六萬八千零六十四尺書于原積之下相減恰盡是知立方之髙為四尺長與闊俱九百九十六尺也此法葢因帶兩縱甚多而高數甚少其高闊和比原長原闊所多無防故以高闊和自乘得一面積以除原積即得高與高闊和相減所餘為闊亦即長邊也 設如帶兩縱不同立方積四百八十尺高與闊和十四尺高與長和十六尺問高闊長各防何 法列積如開立方法商之其積四百八十尺可商七尺因欲得小于半和之數乃退商六尺書于原積空尺之上而以所商六尺為高與高與闊和十四尺相減餘八尺為闊又以高六尺與高與長和十六尺相減餘十尺為長即以高六尺與闊八尺相乘得四十八尺又以長十尺再乘得四百八十尺書于原積之下相減恰盡是知立方之高為六尺其闊為八尺其長為十尺也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積四百八十尺其甲乙為高六尺乙丙為闊八尺甲己為長十尺甲己與甲乙共十六尺即高與長之和甲乙與乙丙共十四尺即高與