卷二十三
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欽定四庫全書
禦制數理精蘊下編卷二十三
體部一
立方
立方
立方者等邊六面之體積也以形而言雖為六面十二邊之所合以積而言則為自乗再乗之數因其縱橫與髙俱相等故十二邊皆如一線得其一邊而十二邊莫不相同其積之也自線而面自面而體次第相乗而後得其全積其?之也必次第析之而後得其一邊是故古人立為方廉長廉之制每積三位而得邊之一位所謂一千商十定無疑三萬才為三十餘九十九萬不離十百萬方為一百推是也其法先從一角而剖其體以自一至九自乗再乗之數為方根與實相審量其足減者而定之是為初商初商減盡無餘則方根止一位若有餘實即初商方積外别成一缺角三面磬折體其附初商之三面者謂之方廉其附初商之三邊者謂之長廉其附初商之角者謂之隅廉有三故以三為廉法隅惟一而隅之三面即符于三長廉之端合三方廉三長廉一隅始合次商之數故商除之法以初商自乗三因為三方廉面積視初商餘實足方廉面積幾倍即定為次商乃以次商乗三長廉為三長廉面積又以次商自乗為小隅面積共合三方廉三長廉及一小隅面積以次商數乗之為次商廉隅之共積所謂初商方積外别成一缺角三面磬折體者是也如次商外尚有不盡之實則初商次商方積外仍為三方廉三長廉一小隅又成一三面磬折體但較前方廉愈大長廉愈長而隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照次商之例逓析之實盡而止如開至多位實仍不盡者必非自乗再乗之正數此開立方之定法也體形不一而容積皆以立方為準故立方為算諸體之本諸體必通之立方而法乃可施也
設如正方體積一百二十五尺開立方問毎一邊數幾何
法列正方體積一百二十五尺自末位起算每方積三位定方邊一位今積止有三位則于五尺上作記定單位以自一至九自乗再乗之方根數與之相審知與五尺自乗再乗之數恰合乃以五尺書于方積五尺之上而以五尺自乗再乗之一百二十五尺書于方積原數之下相減恰盡即得開方之數為五尺也如圖甲乙丙丁戊己正方體形毎邊皆五尺其中函一尺小方體一百二十五自邊計之為五尺自面計之則為五尺自乗之二十五尺自通體計之則為五尺自乗再乗之一百二十五尺以積開之則與五尺自乗再乗之數相準故商除之恰盡也蓋方積為三位是以方邊止一位方積即五尺自乗再乗之數别無廉隅故不用次商如有餘實則自成廉隅而用次商矣
設如正方體積一丈七百二十八尺開立方問每一邊數幾何
法列正方體積一丈七百二十八尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記即于八尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合即定初商為一丈書于方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書于初商積之下相減恰盡爰以方邊末位餘積七百二十八尺續書于下【大凡以餘積續書于下者每取方積之三位以當方邊之一位也】為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積以除方積七百二十八尺足二尺即定次商為二尺書于方積八尺之上而以初商之一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次商三長廉面積複以次商二尺自乗得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四尺為廉隅共法書于餘積之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺與餘積相減恰盡是開得一丈二尺為正方體積每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方體形毎邊皆一丈二尺其中函積一丈七百二十八尺是為共積其先從一角所分戊乙庚己方體每邊一丈即初商數其中函積亦一丈即初商自乗再乗之數所餘辛形壬形癸形三方體為三方廉其每邊一丈即初商數其厚二尺即次商數而子形醜形寅形三長方體為三長廉其每邊一丈亦即初商數其闊其厚皆二尺亦即次商數方廉有三故三倍初商之自乗為廉法以定次商其卯形一小正方體為隅其長與闊與厚皆同為二尺亦即次商數故以次商為隅法合辛壬癸三方廉子醜寅三長廉夘一方隅而成一磬折體形附于初商自乗再乗之方體三面而成一甲乙丙丁之總正方體積此立方廉隅之法所由生也三商以後皆仿此逓析開之
又法列積一丈七百二十八尺自末位起算作記定位同前乃截一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合則定初商為一丈書于方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書于初商積之下相減恰盡乃以方邊末位餘積七百二十八尺續書于下為次商廉隅之共積而以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積即以三方廉面積三百尺除方積七百二十八尺足二尺則定次商為二尺書于方積八尺之上合初商共一丈二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺與原積符合相減恰盡即定立方邊為一丈二尺也此法止用三方廉面積除立方體積得次商數即并初商數自乗再乗得數與原積相減雖為省去長廉小隅一層然方邊位數少者還為簡易至于方邊位數過四位以上則累次自乗再乗反比逓析之理為煩矣
設如正方體積一十四萬八千八百七十七尺開立方問每一邊數幾何【此題正方體積之六位皆以尺命位似與前題分丈尺者不同然其取方積三位續書于下其末位即命為單位立算則與丈尺同也】
法列正方體積一十四萬八千八百七十七尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記乃于七尺上定單位八千尺上定十位其一十四萬八千尺為初商積以初商本位計之則八千尺為初商積之單位而一十四萬八千尺為一百四十八止與五自乗再乗之數相準即定初商為五書于方積八千尺之上而以五自乗再乗之一百二十五書于初商積之下相減餘二萬三千尺爰以方邊第二位餘積八百七十七尺續書于下共二萬三千八百七十七尺為次商廉隅之共積乃以初商之五作五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺為次商三方廉面積以除方積二萬三千八百七十七尺足三尺即定次商為三尺書于方積七尺之上而以初商之五十尺與次商之三尺相乗得一百五十尺三因之得四百五十尺為次商三長廉面積複以次商三尺自乗得九尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得七千九百五十九尺為廉隅共法書于餘積之左以次商之三尺乗之得二萬三千八百七十七尺與餘積相減恰盡是開得五十三尺為正方體積每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方體形每邊五十三尺其中函積一十四萬八千八百七十七尺是為共積其從一角所分戊乙庚己方體每邊五十尺即初商邊數其中函積一十二萬五千尺即初商自乗再乗之數所餘辛形壬形癸形三方體為
