卷二十二

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊卷二十二 面部十二 各等邊形 更面形 各等邊形 設如五等邊形每邊一尺二寸問面積防何 法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度爰以三十六度之正?五萬八千七百七十九為一率半徑十萬為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺零二分零七豪七絲二忽有餘為五等邊形外切圜之半徑或用求圜内容五等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容五等邊形之每邊五八七七八五二五為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺零四分一厘五豪六絲一忽有餘折半得一尺零二分零七豪八絲有餘為五等邊形外切圜之半徑乃以此半徑為?五等邊形之每邊折半為勾求得股八寸二分五厘八豪二絲七忽有餘為五等邊形之中心至每邊正中之垂線或以三十六度之正?五萬八千七百七十九為一率三十六度之餘?八萬零九百零二為二率今所設之五等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率八寸二分五厘八豪二絲五忽有餘為五等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得四十九寸五十四分九十厘有餘五因之得二尺四十七寸七十四分五十厘有餘即五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為七十二度将甲乙邊折半于己自圜心庚作庚己辛半徑線遂平分甲乙弧于辛則甲辛弧為三十六度甲己即三十六度之正?庚己即三十六度之餘?是故三十六度之正?與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲己與所得之半徑甲庚之比又三十六度之正?與三十六度之餘?之比即如今所設之每邊之半甲己與所得之垂線庚己之比也【此即圜内容五等邊形之法而轉用之也】 又法以三十六度之正切七萬二千六百五十四為一率半徑十萬為二率今所設之五等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率八寸二分五厘八豪三絲二忽有餘為五等邊形内容圜之半徑或用求圜外切五等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切五等邊形之每邊七二六五四二五二為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺六寸五分一厘六豪五絲八忽有餘折半得八寸二分五厘八豪二絲九忽有餘為五等邊形内容圜之半徑即五等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十七厘有餘為五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形試作一内容圜形自甲角過圜心己作甲己庚線遂平分丙丁邊于庚則丙庚即三十六度之正切故以三十六度之正切與半徑十萬之比同于今所設之每邊之半丙庚與所得之内容圜半徑己庚之比也【此即圜外切五等邊形之法而轉用之也】 又法用連比例三率有中率求末率之法以每邊一尺二寸為中率求得末率七寸四分一厘六豪四絲有餘【中率求末率即如首率求中率也】乃以末率與中率相加得一尺九寸四分一厘六豪四絲有餘為首率即五等邊形兩角相對之斜線乃以此斜線為?每邊之半為勾求得股一尺八寸四方六厘六豪零九忽有餘為五等邊形中心至每邊正中之垂線與分角線之和【即五等邊形自一角至每邊正中之垂線】複以此垂線為首率每邊之半為中率求得末率一寸九分四厘九豪五絲二忽為五等邊形中心至每邊正中之垂線與分角線之較乃以此較數與先所得和數相加得二尺零四分一厘五豪六絲一忽有餘折半得一尺零二分零七豪八絲有餘為五等邊形之分角線【即五等邊形外切圜之半徑】仍以此較數與先所得和數相減得一尺六寸五分一厘六豪五絲七忽有餘折半得八寸二分五厘八豪二絲八忽有餘為五等邊形中心至每邊正中之垂線【即五等邊形内容圜之半徑】乃以此垂線與每邊之半相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十四厘有餘即五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形巳為五等邊形之中心試自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二線成甲丙丁三角形又自丁角至乙角作丁乙線截甲丙線于庚則又成丁庚丙三角形此兩三角形為同式形故甲丙線為首率【即理分中末線之全分】丙丁邊為中率【即理分中末線之大分】而所截之甲庚一段與丙丁邊等亦為中率庚丙一段即為末率【即理分中末線之小分】其比例為甲丙首率與丙丁中率之比即同于丙丁中率與庚丙末率之比故按連比例三率有中率求末率之法求得庚丙末率與甲庚中率相加即得甲丙首率為兩角相對斜線爰用甲丙斜線為?丙辛每邊之半為勾求得用辛股為己辛中心至邊之垂線與甲己分角線之和既得甲辛線則用連比例有首率中率求末率之法以甲辛為首率丙辛為中率求得辛壬末率即己辛中心至邊之垂線與甲己分角線之較既得辛壬與甲辛相加折半得甲己即分角線又為五等邊形外切圜之半徑以辛壬與甲辛相減折半得己辛即中心至每邊之垂線又為五等邊形内容圜之半徑既得己辛垂線與丙丁每邊之半丙辛相乗得己丙丁一三角形之面積五倍之即五等邊形之面積也 又既得五等邊形兩角相對之斜線與自一角至每邊正中之垂線求面積捷法以所得末率七寸四分一厘六豪四絲有餘加每邊之半六寸得一尺三寸四分一厘六豪四絲有餘與自一角至每邊正中之垂線一尺八寸四分六厘六豪零九忽有餘相乗得二尺四十七寸七十四分八十四厘有餘即五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二線遂成甲丙丁甲乙丙甲戊丁三三角形又自甲至己作甲己垂線則甲己垂線與丙己每邊之半相乗即得甲丙丁三角形面積又自乙角至甲丙線上作乙庚垂線則乙庚垂線與甲丙斜線相乗即得甲乙丙甲戊丁兩三角形之共面積然無乙庚之數今試自丁角至乙角作丁乙斜線截甲丙斜線于辛則甲辛與丁辛等俱為中率乙辛與辛丙等俱為末率又成乙辛庚勾股形與甲丙己勾股形為同式形【丁辛丙三角形之辛角原與丙角等而與乙辛庚勾股形之辛角為對角其度亦等庚角與己角又同為直角其餘一角亦必等所以為同式形】故甲丙為一率甲己為二率乙辛為三率乙庚為四率凡二率三率相乗與一率四率相乗之數等今以甲己垂線與乙辛末率相乗必與乙庚垂線與甲丙斜線相乗之積等是即甲乙丙甲戊丁兩三角形之共積矣故以乙辛末率與丙己每邊之半相加而與甲己垂線相乗即得甲乙丙丁戊五等邊形之面積也 又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率五等邊形面積一七二○四七七四一為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率二尺四十七寸七十四分八十七厘有餘即五等邊形之面積也葢五等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而五等邊形之每一邊一○○○○所得之五等邊形面積為一七二○四七七四一故以子醜寅卯辰五等邊形之寅卯一邊一○○○○自乗之寅卯己午正方面積一○○○○○○○○與子醜寅卯辰五等邊形面積一七二○四七七四一之比即同于今所設之甲乙丙丁戊五等邊形之每一邊一尺二寸自乗之丙丁己庚正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊五等邊形面積二尺四十七寸七十四分八十七厘有餘之比也 又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之五等邊形之每邊七六二三八七○五為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺五寸七分四厘零三忽有餘為與五等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得二尺四十七寸七十四分八十五厘有餘即五等邊形之面積也葢五等邊形之每邊為七六二三八七○五正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子醜寅卯辰五等邊形之寅卯一邊七六二三八七○五與己午未申正方形之午未一邊一○○○○○○○○之比即同于今所設之甲乙丙丁戊五等邊形之丙丁一邊一尺二寸與今所得之己庚辛壬正方形之庚辛一邊一尺五寸七分四厘零三忽有餘之比既得庚辛一邊自乗得己庚辛壬正方面積即與甲乙丙丁戊五等邊形之面積為相等也 如有五等邊形之面積二尺四十七寸七十四分八十七厘求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之五等邊形之面積一七二○四七七四一為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之面積二尺四十七寸七十四分八十七厘為三率