卷二十二
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求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即五等邊形之每一邊也此法葢因五等邊形之每邊與正方形之每邊相等五等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也
又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率五等邊形之每邊七六二三八七○五為二率今所設之五等邊形之面積二尺四十七寸七十四分八十七厘開方得一尺五寸七分四厘零三忽有餘為三率求得四率一尺二寸即五等邊形之每一邊也此法葢因五等邊形之面積與正方形之面積相等五等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以五等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也
設如六等邊形每邊一尺二寸問面積幾何
法因六等邊形之每邊與分角線【即六等邊形外切圜之半徑】相等故即以每邊一尺二寸為?每邊之半六寸為勾求得股一尺零三分九厘二豪三絲有餘為六等邊形中心至每邊正中之垂線【即六等邊形内容圜之半徑】乃以此垂線與每邊之半相乗六因之得三尺七十四寸一十二分二十八厘有餘即六等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己六等邊形庚為六等邊形之中心其庚丙分角線與丙丁類每邊等故以庚丙為?每邊之半丙辛為勾求得庚辛股即六等邊形中心至每邊正中之垂線既得垂線與丙丁之半丙辛相乗得庚丙丁一三角形面積六倍之即六等邊形之面積也
又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率六等邊形面積二五九八○七六二○為二率今所設之六等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率三尺七十四寸一十二分二十九厘有餘即六等邊形之面積也葢六等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而六等邊形之每一邊一○○○○所得之六等邊形面積為二五九八○七六二○故以子醜寅卯辰己六等邊形之寅卯一邊一○○○○自乗之寅卯午未正方面積一○○○○○○○○與子醜寅卯辰己六等邊形面積二五九八○七六二○之比即同于今所設之甲乙丙丁戊己六等邊形之每一邊一尺二寸自乗之丙丁庚辛正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己六等邊形面積三尺七十四寸一十二分二十九厘有餘之比也
又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之六等邊形之每邊六二○四○三二四為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之六等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺九寸三分四厘二豪二絲五忽有餘為與六等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得三尺七十四寸一十二分二十六厘有餘即六等邊形之面積也葢六等邊形之每邊為六二○四○三二四正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子醜寅卯辰己六等邊形之寅卯一邊六二○四○三二四與午未申酉正方形之未申一邊一○○○○○○○○之比即同于今所設之甲乙丙丁戊己六等邊形之丙丁一邊一尺二寸與今所得之庚辛壬癸正方形之辛壬一邊一尺九寸三分四厘二豪二絲五忽有餘之比既得辛壬一邊自乗得庚辛壬癸正方面積即與甲乙丙丁戊己六等邊形之面積為相等也
如有六等邊形之面積三尺七十四寸一十二分二十九厘求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之六等邊形之面積二五九八○七六二○為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之六等邊形之面積三尺七十四寸一十二分二十九厘為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即六等邊形之每一邊也此法葢因六等邊形之每邊與正方形之每邊相等六等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也
又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率六等邊形之每邊六二○四○三二四為二率今所設之六等邊形之面積三尺七十四寸一十二分二十九厘開方得一尺九寸三分四厘二豪二絲五忽有餘為三率求得四率一尺二寸即六等邊形之每一邊也此法葢因六等邊形之面積與正方形之面積相等六等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以六等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也
設如七等邊形每邊一尺二寸問面積幾何
法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有餘折半得二十五度四十二分五十一秒有餘爰以二十五度四十二分五十一秒有餘之正?四萬三千三百八十八為一率半徑十萬為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺三寸八分二厘八豪七絲有餘為七等邊形外切圜之半徑或用求圜内容七等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容七等邊形之每邊四三三八八三七四為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺七寸六分五厘七豪一絲七忽有餘折半得一尺三寸八分二厘八豪五絲八忽有餘為七率邊形外切圜之半徑乃以此半徑為?七等邊形之每邊折半為勾求得股一尺二寸四分五厘九豪二絲五忽有餘為七等邊形之中心至每邊正中之垂線或以二十五度四十二分五十一秒有餘之正?四萬三千三百八十八為一率二十五度四十二分五十一秒有餘之餘?九萬零九十七為二率今所設之七等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺二寸四分五厘九豪二絲五忽有餘為七等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得七十四寸七十五分五十五厘有餘七因之得五尺二十三寸二十八分八十五厘有餘即七等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚七等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為五十一度二十五分四十二秒有餘将甲乙邊折半于辛自圜心壬作壬辛癸半徑線遂平分甲乙弧于癸則甲癸弧為二十五度四十二分五十一秒有餘甲辛即二十五度四十二分五十一秒有餘之正?壬辛即二十五度四十二分五十一秒有餘之餘?是故二十五度四十二分五十一秒有餘之正?與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲辛與所得之半徑甲壬之比又二十五度四十二分五十一秒有餘之正?與二十五度四十二分五十一秒有餘之餘?之比即如今所設之每邊之半甲辛與所得之垂線壬辛之比也【此即圜内容七等邊形之法而轉用之也】
又法以二十五度四十二分五十一秒有餘之正切四萬八千一百五十七為一率半徑十萬為二率今所設之七等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺二寸四分五厘九豪二絲四忽有餘為七等邊形内容圜之半徑或用求圜外切七等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切七等邊形之每邊四八一五七四六二為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺四寸九分一厘八豪二絲五忽有餘折半得一尺二寸四分五厘九豪一絲二忽有餘為七等邊形内容圜之半徑即七等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗七因之得五尺二十三寸二十八分三十厘有餘即七等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚七等邊形試作一内容圜形自甲角過圜心辛作甲辛壬線遂平分丁戊邊于壬則丁壬即二十五度四十二分五十一秒有餘之正切故以二十五度四十二分五十一秒有餘之正切與半徑十萬之比同于今所設之每邊之半丁壬與所得之内容圜半徑辛壬之比也【此即圜外切七等邊形之法而轉用之也】又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率七等邊形面積三六三三九一二四○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率五尺二十三寸二十八分三十三厘有餘即七等邊形之面積也葢七等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而七等邊形之每一邊一○○○○所得之七等邊形面積為三六三三九一二四○故以子醜寅卯辰己午七等邊形之卯辰一邊一○○○○自乗之卯辰未申正方面積一○○○○○○○○與子醜寅卯辰己午七等邊形面積三六三三九一二四○之比即同于今所設之甲乙丙丁戊巳庚七等邊形之每一邊一尺二寸自乗之丁戊辛壬正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己庚七等邊形面積五尺二十三寸二十八分三十三厘有餘之比也
又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之七等邊形之每邊五二四五八一二六為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺二
