卷二十三

三方廉其每邊五十尺即初商數其厚三尺即次商數而子形醜形寅形三長方體為三長廉其每邊五十尺亦即初商數其闊其厚皆三尺亦即次商數方廉有三故三倍初商之自乗為廉法以定次商其邜形一小正方體為隅其長與闊與厚皆同為三尺亦即次商數故以次商為隅法合辛壬癸三方廉子醜寅三長廉卯一方隅而成一磬折體形附于初商自乗再乗之方體三面而成一甲乙丙丁之總正方體積也又法列積一十四萬八千八百七十七尺自末位起算作記定位同前乃截一十四萬八千尺為初商積與五十自乗再乗之數相準則定初商五十尺書于方積八千尺之上而以五十自乗再乗之一十二萬五千尺書于原積一十四萬八千之下相減餘二萬三千尺乃合第二位積八百七十七尺共二萬三千八百七十七尺為次商廉隅之共積而以初商五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺為次商三方廉面積即以三方廉面積除方積二萬三千八百七十七尺足三尺即定次商為三尺書于方積七尺之上合初商共得五十三尺自乗再乗得一十四萬八千八百七十七尺與原積符合相減恰盡即定立方邊為五十三尺也此法亦止用三方廉面積除立方體積得次商數即并初商數自乗再乗以減原積也 設如正方體積一丈八百六十尺八百六十七寸開立方問每一邊數幾何 法列正方體積一丈八百六十尺八百六十七寸自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記即于七寸上定寸位空尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合即定初商為一丈書于方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書于初商積之下相減恰盡爰以方邊第二位餘積八百六十尺續書于下為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積以除八百六十尺足二尺即定次商為二尺書于方積空尺之上而以初商之一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次商三長廉面積複以次商之二尺自乗得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四尺為次商廉隅共法書于餘積之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺與次商廉隅共積相減餘一百三十二尺即一十三萬二千寸複以方邊第三位餘積八百六十七寸續書于下共一十三萬二千八百六十七寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一萬四千四百寸三因之得四萬三千二百寸為三商三方廉面積以除一十三萬二千八百六十七寸足三寸即定三商為三寸書于方積七寸之上而以初商次商之一百二十寸與三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸為三商三長廉面積複以三商之三寸自乗得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四萬四千二百八十九寸為三商廉隅共法書于餘積之左以三商之三寸乗之得一十三萬二千八百六十七寸與三商廉隅共積相減恰盡是開得一丈二尺三寸為正方體積每一邊之數也 設如正方體積九千四百八十一萬八千八百一十六尺?立方問每一邊數幾何 法列正方體積九千四百八十一萬八千八百一十六尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記乃于六尺上定單位八千尺上定十位四百萬尺上定百位其九千四百萬尺為初商積以初商本位計之則四百萬尺為初商積之單位而九千四百萬尺為九十四止與四自乗再乗之數相準即定初商為四書于方積四百萬尺之上而以四自乗再乗之六十四書于初商積之下相減餘三千萬尺爰以方邊第二位餘積八十一萬八千尺續書于下共三十零八十一萬八千尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則八千尺為次商積之單位而三千零八十一萬八千尺為三萬零八百一十八而初商之四即為四十乃以初商之四十自乗得一千六百三因之得四千八百為次商三方廉面積以除三萬零八百一十八足五倍即定次商為五書于方積八千尺之上而以初商之四十與次商之五相乗得二百三因之得六百為次商三長廉面積複以次商之五自乗得二十五為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五千四百二十五為次商廉隅共法書于餘積之左以次商之五乗之得二萬七千一百二十五與次商廉隅共積相減餘三百六十九萬三千尺複以方邊末位餘積八百一十六尺續書于下共三百六十九萬三千八百一十六尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之四百五十尺自乗得二十萬零二千五百三因之得六十萬零七千五百為三商三方廉面積以除三百六十九萬三千八百一十六尺足六倍即定三商為六書于方積六尺之上而以初商次商之四百五十與三商之六相乗得二千七百三因之得八千一百為三商三長廉面積複以三商之六自乗得三十六為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六十一萬五千六百三十六為三商廉隅共法書于餘積之左以三商之六乗之得三百六十九萬三千八百一十六與三商廉隅共積相減恰盡是?得四百五十六尺為正方體積毎一邊之數也 設如正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸開立方問每一邊數幾何 法列正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸自末位起算毎隔二位作記即于七寸上定寸位八尺上定尺位七丈上定丈位其三百四十七丈為初商積與七丈自乗再乗之數相準即定初商為七丈書于方積七丈之上而以七丈自乗再乗之三百四十三丈書于初商積之下相減餘四丈即四千尺爰以方邊第二位餘積四百二十八尺續書于下共四千四百二十八尺為次商廉隅之共積乃以初商之七丈作七十尺自乗得四千九百尺三因之得一萬四千七百尺為次商三方廉面積以除方積四千四百二十八尺其數不足是次商為空位也乃書一空于方積八尺之上以存次商之位複以方邊末位餘積九百二十七寸續書于下共四千四百二十八尺九百二十七寸即四百四十二萬八千九百二十七寸為三商廉隅之共積仍以次商三方廉面積一萬四千七百尺作一百四十七萬寸為廉法以除四百四十二萬八千九百二十七寸足三寸即定三商為三寸書于方積七寸之上又以初商之七丈為七百寸與三商之三寸相乗得二千一百寸三因之得六千三百寸為三商三長廉面積複以三商之三寸自乗得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一百四十七萬六千三百零九寸為三商廉隅共法書于餘積之左以三商之三寸乗之得四百四十二萬八千九百二十七寸與三商廉隅共積相減恰盡是開得七丈零三寸為正方體積毎一邊之數也此法商出之方邊有空位凡廉法除餘積而