卷二十
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為内外周相并折半之中周數又以寅庚全徑與庚辛全周之比同于丁乙圓環闊【與子醜等】與辛醜半較之比葢丁乙為内外徑相減折半之較辛醜即内外周相減折半之較為相當比例四率也既得辛醜與醜卯等即辛庚外周大于醜庚中周之較亦即癸壬内周【與卯庚等】小于醜庚中周之較故于中周加半較得外周減半較得内周也
設如圓環形面積三尺三十六寸内周一尺一寸求外周及闊各幾何
法以内周一尺一寸用周求徑法求得内徑三寸五分零一豪有餘又用周徑求積法求得内周圜面積九寸六十二分七十七厘五十豪有餘與圓環積三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有餘即外周圓面積乃用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所得之外周圜面積三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有餘為三率求得四率四尺四十寸零六分六十九厘一十七豪有餘為外徑自乗之方積開方得二尺零九分七厘七豪有餘即外徑減去内徑三寸五分零一豪餘一尺七寸四分七厘六豪折半得八寸七分三厘八豪即圓環形之闊又用徑求周法求得周六尺五寸九分零一豪有餘即外周數也
設如圓環形面積三百八十四尺外周八十八尺求内周及闊各幾何
法以外周八十八尺用周求徑法求得外徑二十八尺零一分一厘二豪有餘又用周徑求積法求得外周圜面積六百一十六尺二十四寸六十四分有餘内減去圓環積三百八十四尺餘二百三十二尺二十四寸六十四分有餘為内周圜面積乃用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所得之内周圜面積二百三十二尺二十四寸六十四分為三率求得四率二百九十五尺七十寸五十二分九十九厘五十豪有餘即内徑自乗之方積開方得一十七尺一寸九分六厘有餘即内徑與外徑二十八尺零一分一厘二豪相減餘一十尺八寸一分五厘二豪有餘折半得五尺四寸零七厘六豪即圓環形之闊又用徑求周法求得周五十四尺零二分二厘八豪有餘即内周數也
設如圜徑一尺二寸今截弧矢形一段矢闊二寸四分求?長幾何
法以矢闊二寸四分為首率圜徑一尺二寸内減矢闊二寸四分餘九寸六分為末率首率末率相乗得二十三寸零四分開方得四寸八分為中率倍之得九寸六分即弧矢形之?數也如圖甲乙圜徑一尺二寸截甲丙丁弧矢形其甲戊為矢闊二寸四分試自甲至丙作甲丙線自丙至乙作丙乙線遂成甲丙乙直角三角形而丙戊半?即為其垂線故所截甲戊為首率戊乙為末率求得丙戊為中率【見幾何原本九卷第二節并見勾股卷定勾股無零數法中】倍之得丙丁即弧矢形之?也又法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為?矢闊二寸四分與半徑六寸相減餘三寸六分為勾求得股四寸八分倍之得九寸六分得弧矢形之?數也如圖甲乙圜徑一尺二寸折半得甲己半徑六寸與丙己等為?又于甲己半徑六寸内減甲戊矢闊二寸四分餘戊己三寸六分為勾求得丙戊股倍之得丙丁為弧矢形之?也
設如圜徑一 尺七寸今截弧矢形一段?長一尺五寸求矢闊幾何
法以?長一尺五寸折半得半?七寸五分自乗得五十六寸二十五分為長方積以圜徑一尺七寸為長闊和用帶縱和數開方法算之得闊四寸五分卽矢之闊也如圖甲乙圜徑一尺七寸截甲丙丁弧矢形其丙丁為?長一尺五寸自甲至丙自丙至乙作二線成甲丙乙直角三角形而丙戊為垂線故甲戊為首率戊乙為末率丙戊為中率中率自乗之正方與首率末率相乗之長方等今以丙丁?折半得半?丙戊自乗即與甲戊矢為闊戊乙截徑為長相乗之長方等故以甲乙為長闊和求得甲戊闊即矢也
又法以圜徑一尺七寸折半得八寸五分為?以?長一尺五寸折半得七寸五分為股求得勾四寸與半徑八寸五分相減餘四寸五分卽矢之闊也如圖甲乙圜徑一尺七寸折半得丙己半徑八寸五分為?丙丁?一尺五寸折半得丙戊七寸五分為股求得戊己勾與甲己半徑相減餘甲戊卽矢之闊也又法以圜徑一尺七寸為?弧?一尺五寸為股求得勾八寸與圜徑一尺七寸相減餘九寸折半得四寸五分卽矢之闊也如圖甲乙圜徑一尺七寸與丁庚等如自丙至庚作丙庚線則成丁丙庚直角三角形故以丁庚為?丙丁為股求得丙庚勾與戊辛等以戊辛與甲乙全徑相減餘甲戊與辛乙兩叚折半卽得甲戊為矢之闊也
設如弧矢形?長一尺二寸矢闊四寸求圜徑幾何法以矢闊四寸為首率?長一尺二寸折半得六寸為中率乃以中率六寸自乗用首率四寸除之得九寸為圜之截徑加矢闊四寸得一尺三寸卽圜之徑數也如圖甲乙丙丁弧矢形甲丙?長一尺二寸丁乙矢闊四寸試繼甲丁丙弧作一全圜【法見幾何原本十一卷十三節】将丁乙矢線引長作丁戊全徑線又自甲至丁作甲丁線自甲至戊作甲戊線遂成丁甲戊直角三角形而甲乙半?即為其中垂線故丁乙矢為首率乙戊截徑為末率而甲乙半?即為中率故丁乙與甲乙之比同于甲乙與乙戊之比而得乙戊截徑加丁乙矢卽得丁戊為圜之全徑也
設如弧矢形?長八尺矢闊二尺求面積幾何
法先用弧矢形有?矢求圜徑法求得圜之全徑十尺折半得半徑五尺為一率半?四尺為二率以半徑十萬為三率求得四率八萬為正?數撿八線表得五十三度零七分四十九秒為半弧之度分倍之得一百零六度一十五分三十八秒為全弧之度分乃以全圜三百六十度化作一百二十九萬六千秒為一率全弧一百零六度十五分三十八秒化作三十八萬二千五百三十八秒為二率全徑十尺求得全周三十一尺四寸一分五厘九豪二絲有餘為三率求得四率九尺二寸七分二厘九豪八絲有餘為全弧之數與半徑五尺相乗得四十六尺三十六寸四十九分折半得二十三尺一十八寸二十四分五十厘為自圜心所分弧背三角形積又于半徑五尺内減矢二尺餘三尺與?八尺相乗得二十四尺折半得十二尺為自圜心至?所分直線三角形積與弧背三角形積二十三尺一十八寸二十四分五十厘相減餘一十一尺一十八寸二十四分五十厘即弧矢形之面積也如圖甲乙丙丁弧矢形甲丙?長八尺丁乙矢闊二尺甲乙為半?四尺試繼此弧作一全圜求得丁戊全徑【解見前】折半得己丁半徑既得半徑而甲乙半?又即為甲丁半弧之正?故比例得正?數撿表而得甲丁半弧之度分倍之得甲丁丙全弧之度分又甲戊丙丁全圜之度分與甲丁丙全弧之度分之比同于甲戊丙丁全周之尺寸與甲丁丙全弧之尺寸之比而得甲丁丙全
