卷二十

三率求得四率五十四尺為長方積以大徑九尺除之得六尺即撱圜形之小徑也葢方面積與圜面積之比既同于長方面積與撱圜形面積之比則圜面積與方面積之比亦必同于撱圜形面積與長方面積之比也如甲乙丙丁撱圜形用定率比例而得戊己庚辛長方形其戊己長與甲丙大徑等其己庚闊與乙丁小徑等故以大徑除之得小徑也如有小徑求大徑則以所得長方積用小徑除之而得大徑也 設如圓環形外周二十一尺三寸内周七尺一寸闊二尺二寸六分求面積幾何 法以外周二十一尺三寸與内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得一十四尺二寸以闊二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圓環形之面積也如圖甲乙丙丁圓環形甲乙外周二十一尺三寸丙丁内周七尺一寸甲丙與丁乙皆二尺二寸六分試依甲乙大圜之戊乙半徑度與甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形其己庚小邊與甲乙大圜之戊乙半徑等庚辛大邊與大圜之周界等則己庚辛直角三角形之面積與甲乙大圜之面積等又依丙丁小圜之戊丁半徑截己庚辛三角形之己庚小邊于壬又依丙丁小圜周度作壬癸線與庚辛平行則成己壬癸一小直角三角形其面積與丙丁小圜之面積等如于己庚辛大三角形内減己壬癸小三角形所餘癸辛庚壬斜尖方形之面積必與甲乙丙丁圓環形之面積等矣故如斜尖方形求積法以如丙丁内周之壬癸與如甲乙外周之庚辛相加折半得醜庚而以如丁乙闊之壬庚乗之得子醜庚壬一長方形與癸辛庚壬斜尖方形等即甲乙丙丁圓環形之面積也 設如圓環形外徑二尺四寸内徑一尺二寸求面積幾何 法以外徑二尺四寸求得周七尺五寸三分九厘八豪二絲有餘又以内徑一尺二寸求得周三尺七寸六分九厘九豪一絲有餘乃以内徑一尺二寸與外徑二尺四寸相減餘一尺二寸折半得六寸為圓環形之闊依前法算之得三尺三十九寸二十九分二十厘有餘為圓環形之面積也 又法以外徑二尺四寸自乗得五尺七十六寸又以内徑一尺二寸自乗得一尺四十四寸兩數相減餘四尺三十二寸為方環面積乃用方積圜積定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圜積七八五三九八一六為二率今所得之方環面積四尺三十二寸為三率求得四率三尺三十九寸二十九分二十厘有餘即圓環形之面積也此法葢以方環圓環為比例即如用方積圜積定率為比例也分而言之則外徑自乗與外大圜面積為比内徑自乗與内小圜面積為比既得兩圜面積相減始為圓環面積今以内外徑各自乗相減即用方積圜積定率比例是合兩比例而為一比例也 設如圓環形外周六尺六寸内周二尺二寸求面積幾何 法以外周六尺六寸求得徑二尺一寸零八豪四絲有餘又以内周二尺二寸求得徑七寸零二豪八絲有餘兩徑相減餘一尺四寸零五豪六絲有餘折半得七寸零二豪八絲有餘為圓環形之闊依前法算之得三尺零八寸一十二分三十二厘有餘即圓環形之面積也又法以外周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸内周二尺二寸自乗得四尺八十四寸兩數相減餘三十八尺七十二寸乃用圜周方積與圜積定率比例以圜周方積一○○○○○○○○為一率圜積七九五七七四七為二率兩周自乗相減之餘三十八尺七十二寸為三率求得四率三尺零八寸一十二分三十九厘有餘即圓環形之面積也此法葢以兩圜周自乗相減之餘積與圓環積為比例卽如用圜周方積圜積定率為比例也分而言之則外周自乗與外大圜面積為比内周自乗與内小圜面積為比既得兩圜面積相減始為圓環面積今以内外周各自乗相減即用圜周方積圜積定率比例是合兩比例而為一比例也 設如圓環形面積四百六十二尺闊七尺求内外徑各幾何 法以闊七尺除圓環面積四百六十二尺得六十六尺即内外周相并折半之數為中周乃以周求徑法求得徑二十一尺零八厘四豪五絲有餘為内外徑相并折半之數為中徑加闊七尺得二十八尺零八厘四豪五絲有餘卽外徑中徑内減闊七尺餘一十四尺零八厘四豪五絲有餘即内徑也如圖甲乙丙丁圓環形其面積四百六十二尺甲丙與丁乙皆七尺先所得之中周六十六尺為戊己周次所得之中徑二十一尺零八厘四豪五絲有餘為戊己徑其甲戊與戊丙等丁己與己乙等故甲戊與己乙兩段戊丙與丁己兩段皆與丁乙及甲丙闊度等是以于中徑内加闊得外徑減闊得内徑也 又法先用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率圓環積四百六十二尺為三率求得四率五百八十八尺二十三寸六十六分六十七厘有餘為方環積乃以闊七尺自乗得四十九尺以四因之得一百九十六尺與所得之方環積相減餘三百九十二尺二十三寸六十六分六十七厘有餘四歸之得九十八尺零五寸九十一分六十六厘有餘以闊七尺除之得一十四尺零八厘四豪五絲有餘為内圜徑加倍闊十四尺得二十八尺零八厘四豪五絲有餘為外圜徑也此法葢以圓環積變為方環積卽如前法方環積變為圓環積也如甲乙丙丁圓環形變為戊己庚辛壬癸子醜方環形内減戊寅壬辰卯已巳癸子午庚酉未醜申辛闊自乗之四正方形餘寅卯癸壬癸巳午子醜子酉申辰壬醜未四長方形四歸之餘寅卯癸壬一長方形以寅壬闊除之得壬癸長與丙丁内徑等加甲丙與丁乙得甲乙即外徑也 設如圓環形面積三百零八尺闊七尺求内外周各幾何 法以闊七尺除圓環面積三百零八尺得四十四尺為内外周相并折半之數為中周又用徑求周法以徑數一○○○○○○○○為一率周數三一四一五九二六五為二率闊七尺為三率求得四率二十一尺九寸九分一厘一豪四絲有餘為内外周相減折半之數為半較乃以半較二十一尺九寸九分一厘一豪四絲有餘與中周四十四尺相加得六十五尺九寸九分一厘一豪四絲有餘卽外周數以半較二十一尺九寸九分一厘一豪四絲有餘與中周四十四尺相減餘二十二尺零八厘八豪六絲有餘即内周數也如圖甲乙丙丁圓環形其面積三百零八尺丁乙闊七尺試依甲乙大圜之戊乙半徑度與甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形則己庚辛三角形之面積與甲乙大圜之面積等又依丙丁小圜之戊丁半徑截己庚辛三角形之己庚小邊于壬又依丙丁小圜周度作壬癸線與庚辛平行則成己壬癸一小直角之三角形積乃與丙丁小圜之面積等如于己庚辛大三角形内減己壬癸小三角形所餘癸辛庚壬斜尖方形之面積必與甲乙丙丁圓環面積等矣而癸辛庚壬斜尖方形積又與子醜庚壬長方形積等故以如丁乙闊之壬庚除之得醜庚