卷二十
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故此兩長方面積之比例必同于兩底邊醜未與醜酉之比例且全與全之比例又同于半與半之比例故方積與圜積之比例亦必同于兩底邊醜未與醜酉之比例矣夫醜未即寅卯辰己方周醜酉即子醜圜周故以方周四五二與圜周三五五之比即同于今所設之甲丙圜徑自乗之戊己庚辛正方積與今所得之甲乙丙丁圜面積之比也
又法以十四分為一率十一分為二率圜徑八寸自乗得六十四寸為三率求得四率五十寸二十八分五十七厘一十四豪有餘為圜之面積也此法亦系方周與圜周之比同于方積與圜積之比葢圜徑七則圜周為二二半之得一一方邊七則方周為二八半之得一四故以十四分與十一分之比亦同于今所設圜徑自乗之方積與今所得圜面積之比也然所得之面積過大者因徑七圍二十二之定率其周既大故所得之圜積亦大也舊術圜積得方積四分之三求積則以圜徑自乗四分損一得圜積求徑則以圜積三分益一開方得圜徑此仍以徑一圍三立法故徑求積所得之數必小積求徑所得之數必大也
設如圜周六尺六寸問面積幾何
法以圜周六尺六寸用圜周求徑法求得圜徑二尺一寸零八豪四絲五忽二微有餘折半得一尺零五分零四豪二絲二忽六微有餘與半周三尺三寸相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八豪有餘即圜之面積也又法用圜周方積與圜積定率比例以圜周方積一○○○○○○○○為一率圜積七九五七七四七為二率今所設之圜周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸為三率求得四率三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有餘即圜之面積也此法葢以圜周自乗之正方積與圜積設為比例為面與面之比例也圜周為一○○○○則其自乗方積為一○○○○○○○○而圜周一○○○○所得之圜面積為七九五七七四七有餘故以圜周一○○○○自乗之方積一○○○○○○○○與圜積七九五七七四七之比即同于今所設之圜周六尺六寸自乗之方積四十三尺五十六寸與今所得之圜面積三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有餘之比也舊術圜積為周自乗方積十二分之一有圜周求積則以圜周自乗以十二除之得圜積有圜積求周則将圜積以十二因之開方得圜周此仍以徑一圍三立法故周求積所得之數必大積求周所得之數必小也
設如圜面積六尺一十六寸問徑幾何
法用圜徑方邊相等圜積方積不同之定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所設之圜面積六尺一十六
寸為三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十五厘五十六豪六十四絲為與圜徑相等之正方邊之正方面積開方得二尺八寸零五豪六絲有餘即圜之徑數也葢圜積為七八五三九八一六則方積為一○○○○○○○○若圜積為一○○○○○○○○則方積為一二七三二三九五四其比例仍同故以圜積一○○○○○○○○為一率者即如以圜積七八五三九八一六為一率而以方積一二七三二三九五四為二率者即如以方積一○○○○○○○○為二率也
又法用圜積方積相等圜徑方邊不同之定率比例以方邊一○○○○○○○○為一率圜徑一一二八三七九一六為二率今所設之圜面積六尺一十六寸開方得二尺四寸八分一厘九豪三絲四忽有餘為三率求得四率二尺八寸零五豪六絲二忽有餘即圜之徑數也此法亦以圜積方積設為相等使圜徑與方邊不同故以圜面積開方得方邊為線與線之比例葢方邊為八八六二二六九二則圜徑為一○○○○○○○○若方邊為一○○○○○○○○則圜徑為一一二八三七九一六其比例仍同故以方邊一○○○○○○○○為一率者即如以方邊八八六二二六九二為一率而以圜徑一一二八三七九一六為二率者即如以圜徑一○○○○○○○○為二率也又法用圜周方周定率比例以圜周三五五為一率方周四五二為二率今所設之圜面積六尺一十六寸為三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十二豪九十五絲有餘開方亦得二尺八寸零五豪六絲有餘為圜之徑數也
又法以十一分為一率十四分為二率今所設之圜面積六尺一十六寸為三率求得四率七尺八十四寸開方得二尺八寸為圜之徑數也葢徑七圍二十二之定率其徑既小則方周與方積亦皆小故開方所得之圜徑亦小也
設如圜面積六尺一十六寸問周幾何
法以圜面積六尺一十六寸用圜積求徑法求得圜徑二尺八寸零五豪六絲有餘又用圜徑求周法求得八尺七寸九分八厘二豪二絲有餘即圜之周數也
又法用圜積與圜周方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率圜周方積一二五六六三七○六二為二率今所設之圜面積六尺一十六寸為三率求得四率七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪有餘開方得八尺七寸九分八厘二豪有餘即圜之周數也葢圜積為七九五七七四七則圜周自乗方積為一○○○○○○○○若圜積為一○○○○○○○○則圜周自乗方積為一二五六六三七○六二其比例仍同故以圜積一○○○○○○○○與圜周自乗方積一二五六六三七○六二之比即同于今所設之圜面積六尺一十六寸與今所得之圜周自乗方積七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪之比既得圜周自乗方積開方即得圜周也
設如撱圜形【一音鴨蛋形】大徑九尺小徑六尺問面積幾何
法以大徑九尺與小徑六尺相乗得五十四尺為長方積乃用方邊圜徑相等方積圜積不同之定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圜積七八五三九八一六為二率今所得之大小徑相乗之長方積五十四尺為三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪即撱圜形之面積也葢圜面積與撱圜面積之比同于圜外所切之正方形積與撱圜形外所切之長方積之比【見幾何原本八卷第十二節】則圜外所切之正方形積與圜面積之比亦必同于撱圜形外所切之長方形積與撱圜面積之比也如甲乙丙丁撱圜形甲丙大徑九尺乙丁小徑六尺以大徑與小徑相乗遂成戊己庚辛長方形此長方形積與撱圜形積之比即同于正方積與圜積之比故以定率之方積數為一率圜積數為二率今所得之大小徑相乗之長方積為三率求得四率為撱圜形之面積也
設如撱圜形面積四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪大徑九尺問小徑幾何
法用圜徑方邊相等圜積方積不同之定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所設之撱圜形面積四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪為
