卷二十

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷二十 面部十 曲線形 曲線形 設如圜徑一尺二寸問周幾何 法用周徑定率比例以徑數一○○○○○○○○為一率周數三一四一五九二六五為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一絲一忽一微八纖卽所求之圜之周數也葢圜之數竒零不盡立法必自方數始是故圜内容形屢求勾股至億萬邊圜外切形屢求勾股至億萬邊内外湊集使圜周變為直線精密已極始為得之爰設圜徑為一而圜周得三一四一五九二六五有餘是為定率故以圜徑一與圜周三一四一五九二六五之比卽同于今所設之圜徑一尺二寸與今所得之圜周三尺七寸六分九厘九豪一絲一忽一防八纖之比也 又周徑定率比例以徑數一一三為一率周數三五五為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一絲一忽五微有餘為圜之周數也葢以徑一周三一四一五九二六五之定率約之徑一一三周得三五四九九九九六九有餘進而為三五五則周數微大故今所得圜周亦微大然止在忽微之間耳 又周徑定率比例以徑數七為一率周數二十二為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸七分一厘四豪二絲八忽五防七纖有餘為圜之周數也葢以徑一周三一四一五九二六五之定率約之徑七周得二一九九一一四八五有餘進而為二二則周數大而所得周數亦大至于舊術徑一圍三乃圜内容六等邊形之共度實小于圜之周線故徑一則圍三有餘圍三則徑一不足也 設如圜周一丈五尺問徑幾何 法用周徑定率比例以周數三一四一五九二六五為一率徑數一○○○○○○○○為二率今所設之圜周一丈五尺為三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四絲八忽二防有餘即所求之圜之徑數也葢前法有徑求周故以定率之徑與定率之周為比卽如今所設之徑與今所得之周為比此法有周求徑故以定率之周與定率之徑為比卽如今所設之周與今所得之徑為比也 又周徑定率比例以周數一○○○○○○○○為一率徑數三一八三○九八八為二率今所設之圜周一丈五尺為三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四絲八忽二防為圜之徑數也葢圜周為三一四一五九二六五則圜徑為一○○○○○○○○若圜周為一○○○○○○○○則圜徑為三一八三○九八八其比例仍同也如以周數三五五為一率徑數一一三為二率今所設之圜周一丈五尺為三率亦得四率四尺七寸七分四厘六豪四絲七忽八微有餘為圜之徑數又或以周數二二為一率徑數七為二率今所設之圜周一丈五尺為三率則得四率四尺七寸七分二厘七豪二絲七忽二微有餘較之前法所得徑數稍小葢徑為七而周稍小于二二若周為二二徑必稍大于七今截而為七則徑數稍小故所得徑數亦稍小也 設如圜徑八寸問面積幾何 法以圜徑八寸用徑求周法求得圜周二尺五寸一分三厘二豪七絲四忽一微二纖折半得一尺二寸五分六厘六豪二絲七忽零六纖與半徑四寸相乘得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有餘卽圜之面積也葢圜之半徑線若與直角三角形之小邊線度等而圜之周界又與直角三角形之大邊線度等則此直角三角形之面積與圜形之面積相等【見幾何原本四卷第二十一節】如甲乙丙丁圜形其戊丙半徑與己庚辛直角三角形之己庚小邊線度等而甲乙丙丁圜周界與己庚辛直角三角形之庚辛大邊線度等則此己庚辛三角形之面積即與甲乙丙丁圜形之面積相等是故以戊丙半徑相等之己庚與乙丙丁半周相等之庚壬相乗所得之癸壬庚己長方形【癸壬庚己長方形積即與己庚辛三角形積等】卽為圜之面積也如以全周與全徑相乗則以四歸之亦得圜面積葢全徑為半徑之倍全周為半周之倍則全周全徑相乗之積必大于半周半徑相乗之積四倍為隔一位相加之比例故全周與全徑相乗以四歸之而得圜面積也 又法用方邊圜徑相等方積圜積不同之定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圜積七八五三九八一六為二率今所設之圜徑八寸自乗得六十四寸為三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十二豪有餘即圜之面積也此法葢因圜徑方邊相等圜積方積不同故以圜徑自乗作方積定為面與面之比例如子寅圜徑為一○○○○則其自乗之辰己午未正方積為一○○○○○○○○而圜徑一○○○○所得之子醜寅卯圜面積為七八五三九八一六故以子寅圜徑一○○○○自乗之辰己午未正方積一○○○○○○○○與子寅圜徑所得之子醜寅卯圜面積七八五三九八一六之比即同于今所設之甲丙圜徑八寸自乗之戊己庚辛正方積六十四寸與今所得之甲乙丙丁圜面積五十寸二十六分五十四厘八十二豪有餘之比也又法用圜積方積相等圜徑方邊不同之定率比例以圜徑一○○○○○○○○為一率方邊八八六二二六九二為二率今所設之圜徑八寸為三率求得四率七寸零八厘九豪八絲一忽五微四纖有餘為與圜面積相等之正方形每邊之數自乗得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有餘即圜之面積也此法葢以圜積方積設為相等使圜徑與方邊不同先定為線與線之比例既得線而後自乗之為面也如子寅圜徑一○○○○○○○○其所得之積開方則得八八六二二六九二即為辰己午未正方之每邊是以子醜寅卯圜面積與辰己午未方面積為相等故子寅圜徑一○○○○○○○○與辰己方邊八八六二二六九二之比即同于今所設之甲丙圜徑八寸與今所得之戊己方邊七寸零八厘九豪八絲一忽五微四纖之比既得戊己方邊自乗得戊己庚辛方面積即與甲乙丙丁圜面積為相等也 又法用方周圜周定率比例以方周數四五二為一率圜周數三五五為二率圜徑八寸自乗得六十四寸為三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十六豪有餘即圜之面積也此法葢因 方　　　　　　　　　　　　　　【醜圜徑為一一】周與圜周之比同于方【見算法原本二卷第二十八節】積與圜積之比如子三則子醜圜周為三五五寅卯辰己正方邊與圜徑同亦為一一三則寅卯辰己方周為四五二【方邊一一三以四因之則得四五二】試以正方面之午醜半徑為高寅卯辰己方周為底作一午醜未申長方形則比寅卯辰己正方形之面積大一倍又以圜面之午醜半徑為高子醜圜周為底作一午醜酉戌長方形則比子醜圜形之面積亦大一倍此兩長方形同以午醜為高