卷十九

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷十九 面部九 各面形縂論 直線形 各面形總論 面之爲形成于方圜直線所成皆方之類曲線所成皆圜之類立法則方爲圜之本度圜者必以方而度方者必以矩所謂方有盡而圜無盡是也論理則圜又爲衆界形之本葢衆界形或函圜或函于圜其邊皆當弧線之度故求衆界形者必以圜界爲宗也因有方圜衆界之各異是以邊線等者面積不等如衆界形之毎一邊與圜徑俱設爲一○○○○則方面積爲一○○○○○○○○而圜面積爲七八五三九八一六三等邊形之面積爲四三三○一二七○五等邊形之面積爲一七二○四七七四一六等邊形之面積爲二五九八○七六二○七等邊形之面積爲三六三三九一二四○八等邊形之面積爲四八二八四二七一二九等邊形之面積爲六一八一八二四二○十等邊形之面積爲七六九四二○八八三此各形之面積皆以方積比例者也或以圜面積設爲一○○○○○○○○則圜徑得一一二八三小餘七九一六如圜徑與衆界形之毎一邊俱設爲一一二八三小餘七九一六則圜面積爲一○○○○○○○○而三等邊形之面積爲五五一三二八八九方面積爲一二七三二三九五四五等邊形之面積爲二一九○五七九八六六等邊形之面積爲三三○七九七三三四七等邊形之面積爲四六二六八四○九八八等邊形之面積爲六一四七七四四三五九等邊形之面積爲七八七○九四三○二十等邊形之面積爲九七九六五七○九九此各形之面積皆以圜積比例者也葢因各形之邊線相等面積不同故皆定爲面與面之比例也面積等者邊線不等如衆界形之面積與圜面積俱設爲一○○○○○○○○○○○○○○○○則方邊爲一○○○○○○○○而圜徑爲一一二八三七九一六三等邊形之毎邊爲一五一九六七一三七五等邊形之毎邊爲七六二三八七○五六等邊形之毎邊爲六二○四○三二四七等邊形之毎邊爲五二四五八一二六八等邊形之毎邊爲四五五○八九八五九等邊形之毎邊爲四○二一九九六三十等邊形之毎邊爲三六○五一○五八此各形之邊線皆以方邊比例者也或以圜徑設爲一○○○○○○○○則圜面積爲七八五三九八一六三三九七四四八三如圜面積與衆界形之面積俱設爲七八五三九八一六三三九七四四八三則圜徑爲一○○○○○○○○而二等邊形之毎邊爲一三四六七七三六九四等邊形【卽正方】之毎邊爲八八六二二六九二五等邊形之毎邊爲六七五六四七九三六等邊形之毎邊爲五四九八一八○五七等邊形之毎邊爲四六四八九八○三八等邊形之毎邊爲四○三三一二八八九等邊形之毎邊爲三五六四四○一四十等邊形之毎邊爲三一九四九四一八此各形之邊線皆以圜徑比例者也葢因各形之面積相等邊線不同故皆定爲線與線之比例也然自衆界形之中心分之則又各成三角形皆以勾股爲準則故勾股三角形雖爲面而不囿于面之中卻别立一章焉要之衆界形邊求積者歸之勾股積求邊者歸之正方引而伸之觸類而長之凡爲面形者不能違是也 直線形 設如正方形每邊五十尺問對角斜線幾何 法以方邊五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺開方得七十尺七寸一分零六豪有餘即所求之對角斜線也如圖甲乙丙丁正方形其甲乙乙丙丙丁丁甲每邊皆五十尺甲丙為所求對角斜線甲乙為股則乙丙為勾乙丙為股則甲乙為勾因甲乙與乙丙相等皆可互為勾股故以一邊自乗倍之開方得?卽如各自乗相并開方而得?也又用定率比例法以定率之方邊一○○○○○○○爲一率對角斜線一四一四二一三五為二率今所設之方邊五十尺為三率求得四率七十尺七寸一分零六豪有餘卽所求之對角斜線也葢定率設方邊為一千萬其對角斜線為一千四百一十四萬二千一百三十五故定率之方邊一千萬與定率之對角斜線一千四百一十四萬二千一百三十五之比卽如今所設之方邊五十尺與所求之對角斜線七十尺七寸一分零六豪有餘之比也 若有對角斜線求方邊則以對角斜線自乗折半開方所得為正方形之每一邊也葢甲丙?自乗之方與甲乙股乙丙勾兩正方相并之積等今以甲丙?自乗折半則必與甲乙或乙丙自乗之一正方相等故開方而得每一邊也或用定率比例法以定率之對角斜線一四一四二一三五為一率方邊一○○○○○○○為二率今所設之對角斜線為三率求得四率卽方邊也 設如正方形每邊二尺今将其積倍之問得方邊幾何 法以每邊二尺自乗得四尺倍之得八尺開方得二尺八寸二分八厘四豪有餘卽所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方形每邊二尺其面積四尺倍之得八尺卽如戊乙己庚正方形其每邊即甲乙丙丁方形之對角斜線試于戊乙己庚正方形内作甲乙丙丁正方形以乙為心戊為界作戊己弧與丁角相切則丁乙與己乙皆為半徑其度相等葢丁乙對角斜線自乗之方為甲乙邊自乗之方之二倍故戊乙己庚正方形卽為甲乙丙丁正方形之二倍而戊甲丁丙己庚磬折形積即與甲乙丙丁正方形積相等也 設如正方形每邊二尺今将其積四倍之問得方邊幾何 法以每邊二尺倍之得四尺卽所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方形每邊二尺其面積四尺四倍之得一十六尺卽如戊乙己庚正方形之面積其每邊得甲乙丙丁正方形每邊之二倍是故不用四倍其積開方止以每邊二尺倍之而卽得也此法葢因兩方面之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例【見幾何原本七卷第五節】故戊乙己庚正方面積一十六尺與甲乙丙丁正方面積之四尺相比為四分之一而戊乙己庚正方邊之四尺與甲乙丙丁正方邊之二尺之比為二分之一夫十六與八八與四四與二皆為二分之一之連比例而十六與四之比其間隔八之一位故為連比例隔一位相加之比例也 設如長方形長十二尺闊八尺今将其積倍之仍與原形為同式形問得長闊各幾何 法以闊八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺開方得一十一尺三寸一分三厘七豪有餘即所求之闊旣得闊乃以原闊八尺為一率原長十二尺為二率今所得闊一十一尺三寸一分三厘七豪有餘為三率求得四率一十六尺九寸七分零五豪有餘卽所求之長也或以長十二尺自乗倍之開方亦得一十六尺九寸七分零五豪有餘為所求之長也如圖甲乙丙丁長方形甲乙闊八尺甲丁長十二尺将其積倍之即如戊己庚辛長方形此兩長方面積之比例卽同于其相當二界各作一正方面積之比例【見幾何原本七卷第七節】故依甲乙丙丁長方形之丁丙闊界作丁丙壬癸正方形将其積倍之卽如戊己庚辛長方形之辛庚闊界所作之辛庚子醜正方形故開方得辛庚為所求之闊也既得辛庚之闊則以甲乙與甲丁之比卽同于戊己與戊辛之比得戊辛為所求之長也若以原長自乗倍之開方卽如以二長界各作一正方形互相為比例也 設如長方形長十二尺闊八尺今将其積四倍之仍與原形為同式形問得長闊各幾何 法以闊八尺倍之得十六尺卽所求之闊又以原長十二尺倍之得二十四尺即所求之長也如圖甲乙丙丁長方形甲乙闊八尺甲丁長十二尺将其積四倍之卽如戊己庚辛長方形其每邊得甲乙丙丁長方形每邊之二倍是故不用四倍其積開方止以各邊之數倍之而即得也此法葢因兩長方面之比例既同于其相當二界各作一正方面之比例而兩正方面之比例比之二界之比例為連比例隔一位相加之比例故兩長方面之比例較之兩界之比例亦為連比例隔一位相加之比例也 設如三角形面積三千尺底闊八十尺問中長幾何法以積三千尺倍之得六千尺用底闊八十尺除之得七十五尺卽所求之長也如圖甲乙丙三角形其積倍之成丁乙丙戊長方形乙丙為底闊故以底闊除長方積得甲己為中長也 設如兩兩等邊無直角斜方形【一日象目形】小邊皆二十五丈大邊皆三十九丈對兩小角斜線五十六丈問面積防何 法以對角斜線分斜方形為兩三角形算之以對角斜線五十六丈為底大邊三十九丈小邊二十五丈為兩腰用三角形求中垂線法求得中垂線十五丈乃以對角斜線五十六丈與中垂線十五丈相乗得八百四十丈即斜方形之面積也如圖甲乙丙丁斜方形甲丁乙丙二小邊皆二十五丈甲乙丁丙二大邊皆三十九丈甲丙對兩小角斜線五十六丈今以甲丙斜線分甲乙丙丁斜方形為甲乙丙甲丁丙兩三角形俱以甲丙為底甲丁與丁丙為兩腰求得丁戊或乙己皆為中垂線故以甲丙斜線與丁戊垂線相乗所得甲丙庚辛長方形比甲丁丙三角形積大一倍而甲乙丙丁斜方形亦函兩三角形積故所得之甲丙庚辛長方形與甲乙丙丁斜方形之面積相等也 設如不等邊兩直角斜方形直角之邊長五十丈上闊二十丈下闊二十八丈問面積幾何 法以上闊二十丈與下闊二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈與長五十丈相乗得一千二百丈即斜方形之積面也如圖甲乙丙丁斜方形以上闊甲丁與下闊乙丙相加得乙戊折半為乙己與甲乙長相乗遂成甲乙己庚長方形其斜方外所多之丁庚辛勾股形與斜方内所少之辛己丙勾股形之 積等故所得之甲乙己庚長方形即甲乙丙丁斜方形之面積也 又法上闊下闊相并與長相乗得數折半即斜方形之面積也葢前法上闊下闊相加折半而後與長相乗此法則上闊下闊相加卽與長相乗而後折半其理一也 設如梯形長三十丈上闊十二丈下闊二十丈問面積防何 法以上闊十二丈與下闊