卷十九

二十丈相加得三十二丈折半得十六丈與長三十丈相乗得四百八十丈即梯形之面積也如圖甲乙丙丁梯形以上闊甲丁與下闊乙丙相加得乙戊折半為乙己與丁己長相乗遂成庚乙己丁長方形其梯形外所多之甲庚乙勾股形與梯形内所少之丁己丙勾股形之面積等故所得之庚乙己丁長方形卽甲乙丙丁梯形之面積也 又法以上闊下闊相并與長相乗得數折半即梯形之面積也 設如三角形自尖至底中長二百尺底闊一百五十尺今欲自尖截長一百二十尺問截闊防何法以中長二百尺為一率底闊一百五十尺為二率截長一百二十尺為三率求得四率九十尺即所截之闊也如圖甲乙丙三角形甲丁中長二百尺乙丙底闊一百五十尺甲戊為所截長一百二十尺而甲丁與乙丙之比即同于甲戊與己庚之比也如以截闊求截長則以底闊為一率中長為二率截闊為三率所得四率即所截之長也 設如不等邊兩直角斜方形長九十尺上闊二十尺下闊三十八尺今欲截中闊二十七尺問上下各截長防何 法以上闊二十尺與下闊三十八尺相減餘一十八尺為一率長九十尺為二率以上闊二十尺與所截中闊二十七尺相減餘七尺為三率求得四率三十五尺即上所截之長以上所截之長三十五尺與總長九十尺相減餘五十五尺即下所截之長也如欲先得下所截之長則仍以上闊二十尺與下闊三十八尺相減餘一十八尺為一率長九十尺為二率乃以所截中闊二十七尺與下闊三十八尺相減餘一十一尺為三率求得四率五十五尺即下所截之長也如圖甲乙丙丁斜方形甲乙為長九十尺與丁戊等乙丙為下闊三十八尺甲丁為上闊二十尺與乙戊等己庚為所截中闊二十七尺上闊與下闊相減餘戊丙十八尺上闊與所截中闊相減餘辛庚七尺而戊丙與丁戊之比即同于辛庚與丁辛之比也又甲乙丙丁斜方形上闊與下闊相減餘戊丙十八尺所截中闊與下闊相減餘壬丙十一尺而戊丙與丁戊之比又同于壬丙與庚壬之比也如有所截上長或所截下長求截闊則以總長為一率上下闊相減所餘為二率截長為三率求得四率有上截長則與上闊相加有下截長則與下闊相減所得即所截之闊也 設如梯形面積一千五百尺下闊四十尺中長五十尺問上闊幾何 法以積一千五百尺倍之得三千尺用長五十尺除之得六十尺為上下兩闊相和之數内減下闊四十尺餘二十尺即上闊也如圖甲乙丙丁梯形倍之成甲乙己戊斜方形試将己角取直作己辛線則截斜方形一叚為己辛戊勾股形如以己辛戊勾股形移補于甲庚乙遂成庚乙己辛長方形其積原與甲乙己戊斜方形等今用庚乙中長除之得乙己即上下兩闊相和之數内減乙丙下闊所餘丙己與甲丁等即上闊也 設如不等邊兩直角斜方形積九千六百尺長一百二十尺上下兩闊相差之較四十尺問上闊下闊各防何 法以積九千六百尺倍之得一萬九千二百尺用長一百二十尺除之得一百六十尺為上下兩闊相和之數内減上下兩闊相差之較四十尺餘一百二十尺折半得六十尺為上闊加上下兩闊相差之較四十尺得一百尺即下闊也如圖甲乙丙丁斜方形其甲乙長一百二十尺甲丁上闊與乙丙下闊相差戊丙四十尺試将原積倍之遂成甲乙己庚長方形故以甲乙長除之得乙己為上下闊相和之數内減戊丙上下兩闊相差之較餘數折半得乙戊與甲丁等 為上闊加戊丙較得乙丙為下闊也 設如梯形面積六千六百五十尺長九十五尺上下兩闊相差之較二十尺問上闊下闊各幾何法以積六千六百五十尺倍之得一萬三千三百尺用長九十五尺除之得一百四十尺為上下兩闊相和之數内減上下兩闊相差之較二十尺餘一百二十尺折半得六十尺為上闊加上下兩闊相差之較二十尺得八十尺為下闊也如圖甲乙丙丁梯形甲戊長九十五尺甲丁上闊與乙丙下闊相差乙戊與己丙共二十尺試将原積倍之成甲乙庚辛斜方形與壬乙庚癸長方形之積等故以甲戊長除壬乙庚癸長方形得乙庚為上下兩闊相和之數内減乙戊與己丙上下兩闊相差之較餘折半得戊己與甲丁等為上闊加乙戊與己丙上下兩闊相差之較得乙丙為下闊也 設如方環形外周二百八十丈内周一百二十丈求面積幾何 法以外周二百八十丈四歸之得七十丈自乗得四千九百丈又以内周一百二十丈四歸之得三十丈自乗得九百丈兩自乗數相減餘四千丈卽方環之面積也如圖甲乙丙丁外周二百八十丈四歸之得甲乙之一邊自乗得甲乙丙丁大方積戊己庚辛内周一百二十丈四歸之得戊己之一邊自乗得戊己庚辛小方積兩方積相減所餘即方環之面積也 又法以外周二百八十丈自乗得七萬八千四百丈内周一百二十丈自乗得一萬四千四百丈兩數相減餘六萬四千丈以十六除之得四千丈即方環面積也前法将内外周各四歸之而得内外方邊故以内外方邊各自乗相減而 得方環面積此法即以内外周各自乘相減以十六除之而得方環面積也葢内外周為内外方邊之四倍内外周自乘之積必比内外方邊自乘之積大十六倍【凡方邊大一倍則面積大四倍今方邊大四倍故面積大十六倍為隔一位相加之連比例也】是以兩周各自乗相減之餘積比兩方邊各自乘相減之餘積亦大十六倍也 又有方環面積求外方邊至内方邊之闊則以外周二百八十丈與内周一百二十丈相加得四百丈折半得二百丈以除方環面積四千丈得二十丈即外方邊至内方邊之闊也如圖自方環内邊作壬癸子醜二線則甲乙癸壬子醜丙丁為外方邊與闊相乘之二長方壬戊辛子己癸醜庚為内方邊與闊相乘之二長方引而長之成寅夘辰己一長方其長即半外周與半内周之和其闊即外方邊至内方邊之闊故以外周與内周相并折半除方環面積而得外方邊至内方邊之闊也 又法以内方邊三十丈與外方邊七十丈相減餘四十丈折半得二十丈亦即外方邊至内方邊之闊也如圖甲丁為外方邊減與戊辛内方邊相等之壬子餘甲壬與子丁折半得甲壬即方環之闊也 設如方環面積四千尺闊二十尺求内外方邊各幾何 法以闊二十尺自乘得四百尺四因之得一千六百尺與環積四千尺相減餘二千四百尺四歸之得六百尺以闊二十尺除之得三十尺即内方邊又以闊二十尺倍之得四十尺加内方邊三十尺得七十尺即外方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛方環形内減甲寅戊壬辰乙癸已子辛卯丁庚醜丙巳闊自乘之四正方餘寅辰巳戊辛庚巳卯壬戊辛子巳癸醜庚四長方四歸之得寅辰已戊一長方其闊即方環之闊其長即方環内邊之長故以寅戊闊除之得戊己為内方邊也 又法置環積四千尺以闊二十尺除之得二百尺四歸之得五十尺加闊二十尺得七十尺即外方邊于五十尺内減闊二十尺餘三十尺即内方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛方環積以闊除之即得壬癸子醜為内周外周相并折半之中數以四歸之即得壬癸一邊與戊寅等故加闊得外邊減闊得内邊也 設如勾股形股三十六尺勾二十七尺今從上叚截勾股形積五十四尺問截長闊各幾何 法以股三十六尺為一率勾二十七尺為二率截積五十四尺倍之得一百零八尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺即所截之闊既得所截之闊則以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率所截之闊九尺為三率求得四率十二尺即所截之長也此法一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙勾股形甲乙為股三十六尺乙丙為勾二十七尺甲丁戊勾股形為截積五十四尺是故甲乙與乙丙之比應同于甲丁與丁戊之比然而無甲丁之數故将截積倍之為甲丁與丁戊相乘之長方則甲乙與乙丙之比必同于甲丁與丁戊相乘之長方與丁戊自乘之正方之比【葢截積倍之成己甲丁戊長方形丁戊自乘成庚丁戊辛正方形此二形為二平行線内直角方形其面之互相為比同于其底之互相為比見幾何原本八卷第七節】故開方而得丁戊為所截之闊又乙丙與甲乙之比即同于丁戊與甲丁之比而得甲丁為所截之長也若先求截長則以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率倍截積一百零八尺為三率求得四率一百四十四尺開方得十二尺為所截之長葢乙丙與甲乙之比同于丁戊與甲丁之比亦必同于丁戊與甲丁相乘之長方與甲丁自乘之正方之比【截積倍之成甲丁戊己長方形甲丁自乘成甲丁庚辛正方形此二形之面互相為比亦同于其底之互相為比也】故開方而得甲丁為所截之長也既得截長則用比例四率求之亦得所截之闊矣 又法以勾二十七尺與股三十六尺相乘折半得勾股積四百八十六尺為一率所截之勾股形積五十四尺為二率勾二十七尺自乘得七百二十九尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺為所截之闊若以股二十六尺自乘得一千二百九十六尺為三率則得四率 一百四十四尺開方得十二尺為所截之長也如圖甲乙丙勾股形截甲丁戊勾股形積五十四尺此兩勾股形為同式形故甲乙丙勾股積與甲丁戊勾股積之比同于乙丙勾自乘之乙己庚丙正方形與丁戊勾自乘之丁辛壬戊正方形之比亦必同于甲乙股自乗之癸子乙甲正方形與甲丁股自乗之醜寅丁甲正方形之比也 設如勾股形股三十六尺勾二十七尺今從下叚截斜方形積四百三十二尺問截長及上闊各幾何法以股三十六尺為一率勾二十七尺為二率截積四百三十二尺倍之得八百六十四尺為三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内減所得四率六百四十八尺餘八十一尺開方得九尺為所截之上闊既得所截之上闊則以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率所截之上闊九尺與勾