卷十九

二十七尺相減餘一十八尺為三率求得四率二十四尺即所截之長也此法亦系線與線為比面與面為比也如圖甲乙丙勾股形甲乙為股三十六尺乙丙為勾二十七尺丁乙丙戊斜方形為截積四百三十二尺其甲乙與乙丙之比應同于戊己【即丁乙】與己丙之比然而無戊己之數故将截積倍之遂成戊己之長與丁戊乙丙上下兩闊之和相乘之長方形将此長方形為三率所得四率即丁戊乙丙上下兩闊之較【即己丙也】與丁戊乙丙上下兩闊之和相乘之長方形也【葢截積倍之成庚丁乙辛長方形己丙兩闊之較與兩闊之和相乘成壬己丙癸長方形此二長方形同以兩闊之和為長故丁乙與己丙之比即如庚丁乙辛長方形與壬己丙癸長方形之比也】又己丙上下兩闊之較與丁戊乙丙上下兩闊之和相乘之積與丁戊乙丙上下兩闊之數各自乗相減之餘積等試依乙丙度作子醜寅卯一大正方形又依丁戊度作子辰巳午一小正方形兩正方形相減所餘為辰醜寅卯午巳磬折形引而長之遂成辰醜申未長方形其辰醜即上下兩闊之較其醜申即上下兩闊之和故所得四率長方形積與辰醜寅卯午巳磬折形之積等今于乙丙自乘之子醜寅卯大正方形内減辰醜寅卯午巳磬折形所餘即丁戊自乘之子辰巳午小正方形故開方而得丁戊為所截之闊也既得所截之闊則以丁戊與乙丙相減餘巳丙而乙丙與甲乙之比卽同于己丙與戊己【卽丁乙】之比也 又法以勾二十七尺與股三十六尺相乘折半得勾股積四百八十六尺内減從下叚所截之斜方積四百三十二尺餘五十四尺即為從上段所截之勾股形積依前法比例求之所得亦同 設如三角形中長二十尺底闊一十五尺今從上段截三角形積五十四尺問截長闊各幾何 法以底闊一十五尺為一率中長二十尺為二率截積五十四尺倍之得一百零八尺為三率求得四率一百四十四尺開方得一十二尺即所截之長既得所截之長則以中長二十尺為一率底闊十五尺為二率所截之長十二尺為三率求得四率九尺卽所截之闊也此法亦一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙三角形甲丁中長二十尺乙丙底闊十五尺甲戊己三角形為截積五十四尺是故乙丙與甲丁之比應同于戊己與甲庚之比然而無戊己之數故将截積倍之為戊己與甲庚相乘之長方 則乙丙與甲丁之比必同于戊己與甲庚相乘之長方與甲庚自乘之正方之比故開方而得甲庚為所截之長又甲丁與乙丙之比同于甲庚與戊己之比而得戊己為所截之闊也若先求截闊則以中長二十尺為一率底闊一十五尺為二率倍截積一百零八尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺為所截之闊葢甲丁與乙丙之比同于甲庚與戊己之比亦同于甲庚與戊己相乘之長方與戊己自乘之正方之比故開方而得戊己為所截之闊也既得截闊則用比例四率求之亦得所截之長矣又法以底闊十五尺與中長二十尺相乘折半得三角積一百五十尺為一率所截之三角積五十四尺為二率以底闊十五尺自乘得二百二十五尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺為所截之闊若以中長二十尺自乘得四百尺為三率則得四率一百四十四尺開方得十二尺為所截之長也如圖甲乙丙三角形截甲戊己三角形積五十四尺此兩三角形為同式形故甲乙丙三角形積與甲戊己三角形積之比同于甲丁中長自乘之甲丁辛壬正方形與甲庚截長自乘之甲庚癸子正方形之比亦同于乙丙底闊自乘之乙丙醜寅正方形與戊己截闊自乘之戊巳卯辰正方形之比也 設如三角形中長二十尺底闊十五尺今從下段截梯形積九十六尺問截長及上闊各幾何 法以中長二十尺為一率底闊十五尺為二率截積九十六尺倍之得一百九十二尺為三率求得四率一百四十四尺乃以底闊十五尺自乘得二百二十五尺内減所得四率一百四十四尺餘八十一尺開方得九尺為所截之上闊既得所截之上闊則以底闊十五尺為一率中長二十尺為二率所截之上闊九尺與底闊十五尺相減餘六尺為三率求得四率八尺即所截下段之長也如圖甲乙丙三角形甲丁為中長二十尺乙丙為底闊十五尺戊乙丙己梯形為截積九十六尺戊己為所截之闊庚丁【與戊辛己壬等】為所截之長乙辛壬丙兩叚為截闊與底闊之較是故甲丁與乙丙之比應同于庚丁與乙辛壬丙兩段之比矣【葢甲丁與乙丁之比同于等庚丁之戊辛與乙辛之比又甲丁與丁丙之比同于等庚丁之己壬與壬丙之比合之則甲丁與乙丁丁丙兩叚之比亦同于庚丁與乙辛壬丙兩段之比也】但今無庚丁之數故将截積倍之遂成庚丁所截之長與戊己乙丙上下兩闊之和相乘之長方形将此長方形為三率所得四率即乙辛壬丙上下兩闊之較與戊己乙丙上下兩闊之和相乘之長方形也又乙辛壬丙上下兩闊之較與戊己乙丙上下兩闊之和相乘之積與戊己乙丙上下兩闊之數各自乘相減之餘積等故以所得四率長方形積與乙丙自乘方積相減即餘戊己自乘方積開方而得戊己為所截之闊也既得戊己截闊則于乙丙底闊内減之餘乙辛壬丙而乙丙與甲丁之比又同于乙辛壬丙兩段與庚丁截長之比也 又法以底闊十五尺與中長二十尺相乘折半得三角形積一百五十尺内減從下段所截之梯形積九十六尺餘五十四尺卽為從上段所截之三角形積依前法比例求之所得亦同 設如不等邊兩直角斜方形長二十四尺上闊十二尺下闊二十尺今從上段截積一百六十八尺問截長闊各幾何 法以長二十四尺為一率下闊二十尺内減上闊十二尺餘八尺為二率截積一百六十八尺倍之得三百三十六尺為三率求得四率一百一十二尺乃以上闊十二尺自乘得一百四十四尺與所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺開方得十六尺即所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較八尺為一率長二十四尺為二率截闊十六尺内減上闊十二尺餘四尺為三率求得四率十二尺即所截之長也此法亦系一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙丁斜方形甲乙長二十四尺與丁戊等甲丁為上闊十二尺乙丙為下闊二十尺甲己庚丁斜方形為截積一百六十八尺是故丁戊與戊丙之比應同于丁辛與辛庚之比然而無丁辛 之數故将截積倍之爲丁辛截長與甲丁己庚上中兩闊之和相乘之長方形為三率所得四率即辛庚上中兩闊之較與甲丁己庚上中兩闊之和相乘之長方形也又辛庚上中兩闊之較與甲丁己庚上中兩闊之和相乘之積與甲丁己庚上中兩闊之數各自乘相減之餘積等試依己庚度作壬癸子醜一大正方形又依甲丁度作壬寅卯辰一小正方形兩正方形相減所餘為寅癸子醜辰卯磬折形引而長之遂成寅癸巳午長方形其寅癸即上中兩闊之較其癸己即上中兩闊之和故所得四率長方形積與寅癸子醜辰卯磬折形之積等今于甲丁自乘之壬寅卯辰小正方形外加寅癸子醜辰卯磬折形即得巳庚自乘之壬癸子醜大正方形故開方而得已庚為所截之闊也既得所截之闊則以己庚與甲丁相減餘辛庚而戊丙與丁戊之比卽同于辛庚與丁辛之比也 又法将斜方形增作勾股形算之以上闊十二尺與下闊二十尺相減餘八尺為一率長二十四尺為二率上闊十二尺為三率求得四率三十六尺為斜方形上所增小勾股形之股與斜方形之長二十四尺相加得六十尺為斜方形與所增小勾股形相并所成之大勾股形之股乃以上闊十二尺為小勾所得三十六尺為小股相乘得四百三十二尺折半得二百一十六尺為斜方形上所增之小勾股形積與截積一百六十八尺相加得三百八十四尺為所截之勾股形積乃用勾股形從上段截勾股積法算之而得所截之闊焉如圖甲乙丙丁斜方形增作勾股形為壬乙丙其 上闊甲丁與下闊乙丙相減所餘為戊丙以戊丙與丁戊之比同于甲丁與壬甲之比得壬甲為小勾股形之股以壬甲與甲乙相加得壬乙為大勾股形之股又壬甲丁勾股形積與甲己庚丁斜方形截積相加得壬己庚勾股形積即壬乙丙大勾股形從上段截壬己庚勾股形積也 設如不等邊兩直角斜方形長二十四尺上闊十二尺下闊二十尺今從下段截積二百一十六尺求截長闊各幾何 法以長二十四尺為一率下闊二十尺内減上闊十二尺餘八尺為二率截積二百一十六尺倍之得四百三十二尺為三率求得四率一百四十四尺乃以下闊二十尺自乘得四百尺内減所得四率一百四十四尺餘二百五十六尺開方得一十六尺為所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較八尺為一率長二十四尺為二率下闊二十尺内減截闊十六尺餘四尺為三率求得四率十二尺即所截下段之長也此與勾股形從下叚截斜方形積之理同前法從上段截積所得四率為上闊與截闊各自乘相減之餘積上闊小而截闊大故以上闊自乘與所得四率相加開方而得截闊此法從下段截積所得四率為下闊與截闊各自乘相減之餘積下闊大而截闊小故以下闊自乘内減所得四率開方而得截闊也 設如梯形長十二丈上闊五丈下闊十一丈今從上段截積二十四丈問截長闊各幾何 法以長十二丈為一率上闊五丈與下闊十一丈相減餘六丈為二率截積二十四丈倍之得四十八丈為三率求得四率二十四丈乃以上闊五丈自乘得二十五丈與所得四率二十四丈相加得四十九丈開方得七丈即所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較六丈為一率長十二丈為二率截闊七丈内減上闊五丈餘二丈為三率求得四率四丈即所截之長也此法亦系一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙丁梯形甲戊長十二丈甲丁上闊五丈戊己庚辛俱相等乙丙下闊十