卷十九

一丈乙戊與己丙兩段為上下兩闊相減之較六丈甲壬癸丁小梯形為截積二十四丈是故甲戊總長與乙戊己丙上下兩闊之較之比應同于甲庚截長與壬庚辛癸上中兩闊之較之比然無甲庚之數故将截積倍之為甲庚截長與甲丁壬癸上中兩闊之和相乘之長方形為三率所得四率即壬庚辛癸上中兩闊之較與甲丁壬癸上中兩闊之和相乘之長方形也又壬庚辛癸上中兩闊之較與甲丁壬癸上中兩闊之和相乘之積與甲丁壬癸上中兩闊之數各自乘相減之餘積等故以所得四率長方形積與甲丁自乘方積相加即得壬癸自乗方積開方而得壬癸為所截之闊也既得壬癸截闊則以上下兩闊相減之乙戊己丙兩叚與甲戊總長之比卽同于上中兩闊相減之壬庚辛癸兩叚與甲庚截長之比矣 又法将梯形增作三角形算之以上闊五丈與下闊十一丈相減餘六丈為一率長十二丈為二率上闊五丈為三率求得四率十丈為梯形上所増小三角形之中長與梯形之長十二丈相加得二十二丈為梯形與所増小三角形相并所成之大三角形之中長乃以上闊 五丈為底所得十丈為中長相乗得五十丈折半得二十五丈為梯形上所増之小三角形積與截積二十四丈相加得四十九丈為所截之三角形積乃用三角形從上段截三角積法算之而得所截之闊焉如圖甲乙丙丁梯形增作三角形為子乙丙其上闊甲丁與下闊乙丙相減所餘為乙戊己丙而乙戊己丙與甲戊之比即同于甲丁與子醜之比得子醜為小三角形之中長以子醜與等甲戊之醜寅相加得子寅為大三角形之中長又子甲丁三角形積與甲壬癸丁斜方形截積相加得子壬癸三角形積即子乙丙大三角形從上段截子壬癸三角形積也 設如梯形長十二丈上闊五丈下闊十一丈今自下叚截積七十二丈問截長闊各幾何 法以長十二丈為一率上闊五丈與下闊十一丈相減餘六丈為二率以截積七十二丈倍之得一百四十四丈為三率求得四率七十二丈乃以下闊十一丈自乗得一百二十一丈内減所得四率七十二丈餘四十九丈開方得七丈即所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較六丈為一率長十二丈為二率截闊七丈與下闊十一丈相減餘四丈為三率求得四率八丈即所截之長也如圖甲乙丙丁梯形甲戊長十二丈甲丁上闊五丈與戊己等乙丙下闊十一丈乙戊與己丙兩段為上下兩闊相減之較六丈庚乙丙辛梯形為截積七十二丈是故甲戊總長與乙戊己丙上下兩闊之較之比應同于庚壬截長與乙壬癸丙中下兩闊之較之比然無庚壬之數故将截積倍之為庚壬截長與庚辛乙丙中下兩闊之和相乗之長方形為三率所得四率卽乙壬癸丙中下兩闊之較與庚辛乙丙中下兩闊之和相乗之長方形也又乙壬癸丙中下兩闊之較與庚辛乙丙中下兩闊之和相乗之積與庚辛乙丙中下兩闊之數各自乗相減之餘積等故以所得四率長方形積與乙丙自乗方積相減即餘庚辛自乗方積開方而得庚辛為所截之闊也 設如梯形長一百二十尺上闊二十尺下闊八十尺今自一邊截勾股積四百五十尺問截長闊各幾何 法以長一百二十尺為一率上闊二十尺與下闊八十尺相減餘六十尺折半得三十尺為二率截積四百五十尺倍之得九百尺為三率求得四率二百二十五尺開方得一十五尺為所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減折半之三十尺為一率長一百二十尺為二率截闊十五尺為三率求得四率六十尺為所截之長也如圖甲乙丙丁梯形甲丁上闊二十尺與戊己等乙丙下闊八十尺甲戊長一百二十尺乙戊為上下闊相減折半之三十尺庚乙辛為所截勾股積四百五十尺甲乙戊勾股形與庚乙辛勾股形為同式形故立算與勾股形從上段截勾股積之法相同也 設如梯形長一百二十尺上闊四十尺下闊八十尺今自一邊截斜方形積四千二百尺問截上闊下闊各幾何 法以上闊四十尺與下闊八十尺相減餘四十尺折半得二十尺為所截斜方形上闊與下闊之較又以截積四千二百尺倍之得八千四百尺以長一百二十尺餘之得七十尺為所截斜方形上闊與下闊之和内減上闊下闊之較二十尺餘五十尺折半得二十五尺為上闊加較二十尺得四十五尺為下闊也如圖甲乙丙丁梯形甲丁為上闊四十尺與戊己等乙丙為下闊八十尺甲戊為長一百二十尺甲乙辛庚為所截斜方形積四千二百尺倍之成壬癸辛庚長方形乙戊為所截斜方形上下兩闊之較今以甲戊長除壬癸辛庚長方積得癸辛為上下兩闊之和内減乙戊上下兩闊之較餘癸乙與戊辛折半得戊辛與甲庚等即所截斜方形之上闊加乙戊上下兩闊之較得乙辛即所截斜方形之下闊也 設如三角形小腰邊二十丈大腰邊三十四丈底邊四十二丈面積三百三十六丈今欲平分面積一半與原三角形為同式形問所截三邊各幾何法以原面積三百三十六丈為一率原面積折半得一百六十八丈為二率底邊四十二丈自乗得一千七百六十四丈為三率求得四率八百八十二丈開方得二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有餘為所截之底邊乃以全底邊四十二丈為一率大腰邊三十四丈為二率所截之底邊二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有餘為三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘二豪有餘為所截之大腰邊仍以全底邊四十二丈為一率小腰邊二十丈為二率所截之底邊二十九丈六尺九寸八分有餘為三率求得四率十四丈一尺四寸二分一厘三豪有餘即所截之小腰邊也如圖甲乙丙三角形平分面積一半成丁戊丙三角形此兩三角形既為同式形則甲乙丙三角形之面積與丁戊丙三角形之面積之比同于各邊各自乗之正方面積與所截各邊各自乗之正方面積之比故以甲乙丙三角形面積為一率丁戊丙三角形面積為二率乙丙底邊自乗如乙己庚丙正方面為三率所得四率即戊丙截底自乗如戊辛壬丙正方面故開方得戊丙也既得戊丙則乙丙與甲丙之比同于戊丙與丁丙之比又乙丙與甲乙之比同于戊丙與丁戊之比俱為相當比例四率也若取原積三分之一或幾分之幾者則将其積以其分數歸之比例并同 又法以乙丙邊四十二丈自乗折半開方即得戊丙邊甲丙邊自乗折半開方即得丁丙邊甲乙邊自乗折半開方即得丁戊邊此即面與面比線與線比之理也 又法設全積為一尺半積為五十寸乃以五十寸開方得七寸零七厘一豪零六忽而以各邊之數乗之即得各邊所截之數葢全積為一尺其全邊亦為一尺半積為五十寸其截邊為七寸零七厘一豪零六忽今以一尺與全邊之比即同于七寸零七厘一豪零六忽與截邊之比又因一尺為一率故省一率之除止用乗而即得也若取幾分之一者皆仿此類推之 設如大小兩正方面積共四百一十尺大正方邊比小正方邊多六尺問兩正方邊及面積各幾何法以兩正方面積共四百一十尺倍之得八百二十尺又以多六尺自乗得三十六尺與倍共積八百二十尺相減餘七百八十四尺開方得二十八尺為大小兩正方邊之和加大正方比小正方每邊所多六尺得三十四尺折半得十七尺為大正方之邊内減六尺餘十一尺為小正方之邊以大正方邊十七尺自乗得二百八十九尺為大正方之面積以小正方邊十一尺自乗得一百二十一尺為小正方之面積也如圖甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙為兩正方邊之較試以兩正方之共積倍之則得甲辛壬庚一正方形仍餘癸子丙戊兩正方邊之較自乗之一正方形葢癸醜壬己正方形與甲乙丙丁正方形等乙辛醜子正方形與丁戊己庚正方形等其中疊一癸子丙戊正方形即戊丙較自乗之積故以戊丙較自乗與所倍共積相減即得甲辛壬庚正方形開方得甲庚為兩正方邊之和加較折半得丁丙為大正方邊内減戊丙較得丁戊為小正方邊既得方邊則各自乗即得各面積矣 又法以兩正方邊之較六尺自乗得三十六尺與兩正方共積四百一十尺相 減餘三百七十四尺折半得一百八十七尺為長方積以兩正方邊之較六尺為長闊之較用帶縱較數開方法算之得闊十一尺為小正方之邊加較六尺得十七尺為大正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙為兩正方邊之較以戊丙邊較自乗得辛壬丙戊一正方形與共積相減餘甲乙壬辛己庚磬折形如以癸乙壬辛長方形移于庚己子醜即戊甲癸子醜一長方形折半得丁戊子醜一長方形庚醜與戊丙等即長闊之較故用帶縱較數開方法算之得丁戊闊即小方邊加庚醜較得丁醜與丁丙等即大方邊也 設如大小兩正方面積共六百一十七尺大小兩正方邊共三十五尺問大小兩正方邊及面積各幾何 法以兩正方面積共六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以兩正方邊共三十五尺自乗得一千二百二十五尺與倍共積一千二百三十四尺相減餘九尺開方得三尺為大小兩正方邊之較與共邊三十五尺相加得三十八尺折半得十九尺為大正方之邊内減兩正方邊之較三尺餘十六尺為小正方之邊以大正方邊十九尺自乗得三百六十一尺為大正方之面積以小正方邊十六尺自乗得二百五十六尺為小正方之面積也如圖甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形甲庚為兩正方邊之和戊丙為兩正方邊之較試以兩正方之共積倍之則得甲辛壬庚正方形而多癸子丙戊較自乗之一正方形故以甲庚共邊自乗得甲辛壬庚正方形與倍共積相減卽餘癸子丙戊一小正方形開方得戊丙即兩正方邊之較與兩正方邊之和相加折半得丁丙為大正方邊内減戊丙較得丁戊為小正方邊旣得方邊則各自乗卽得各面積矣 又法以兩正方邊之和三十五尺自乗得一千二百二十五尺内減兩正方共積六百一十七尺餘六百零八尺折半得三百零四尺為長方積以兩正方