卷十九

邊之和三十五尺為長闊和用帶縱和數開方法算之得闊十六尺為小正方之邊與共積三十五尺相減餘十九尺為大正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形以共邊自乗得壬癸子醜一正方形内減與甲乙丙丁大正方形相等之寅癸卯辰一正方形又減與戊己庚辛小正方形相等之午辰己醜一正方形餘壬寅辰午與辰卯子己二長方形折半得壬寅辰午一長方形其壬午長與甲乙大方邊等壬寅闊與戊己小方邊等兩正方之共邊卽長闊之和故用帶縱和數開方法算之得闊為小方邊得長為大方邊也 設如大小兩正方形大正方邊比小正方邊多七尺大正方積比小正方積多三百四十三尺問大小兩正方邊各幾何 法以大正方積比小正方積所多三百四十三尺用大正方邊比小正方邊所多七尺除之得四十九尺為大小兩正方邊之和加兩正方邊之較七尺得五十六尺折半得二十八尺為大正方之邊與共邊四十九尺相減餘二十一尺為小正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形試于甲乙丙丁大正方形内作與戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形則壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之積引而長之成壬乙醜寅一長方形其壬乙闊即兩正方邊之較乙醜長卽兩正方邊之和故以壬乙兩正方邊之較除之得乙醜兩正方邊之和以乙醜與丁乙相加折半得乙丙為大正方形之邊将乙丙與乙醜共邊相減餘丙醜與子癸等卽戊己為小正方形之邊也 設如大小兩正方形共邊三十一尺大正方積比小正方積多一百五十五尺問大小兩正方邊各幾何 法以大正方積比小正方積所多一百五十五尺用共邊三十一尺除之得五尺為大小兩正方邊之較與共邊三十一尺相加得三十六尺折半得十八尺為大正方之邊與共邊三十一尺相減餘十三尺為小正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方 形試于甲乙丙丁大正方形内作與戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形則壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之積引而長之成壬乙醜寅長方形其乙醜長即兩正方邊之和其壬乙闊即兩正方邊之較故以乙醜兩正方邊之和除之得壬乙與乙醜相加折半得乙丙為大正方形之邊以乙丙與乙醜相減餘丙醜與子癸等即戊己為小正方形之邊也 設如大小兩正方形共積一百三十尺大正方積比小正方積多三十二尺問大小兩正方邊各幾何法以大正方積比小正方積所多三十二尺與共積一百三十尺相減餘九十八尺折半得四十九尺為小正方之積開方得七尺為小正方之邊又以小正方積四十九尺與大正方積比小正方積多三十二尺相加得八十一尺為大正方之積開方得九尺為大正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形試于甲乙丙丁大正方形内作與戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形則甲乙癸壬子丁磬折形即大正方比小正方所多之積以此磬折形積與兩正方形之共積相減餘壬癸丙子與戊己庚辛兩小正方形折半得戊己庚辛一小正方形故開方得戊己為小方邊又以戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形積與甲乙癸壬子丁磬折形積相加即得甲乙丙丁大正方形故開方得甲乙為大方邊也 設如不等三正方形共積三百八十一尺大方邊比次方邊多三尺次方邊比小方邊多三尺問三方邊各幾何 法以大方邊比次方邊所多三尺與次方邊比小方邊所多三尺相加得六尺為大方邊比小方邊所多之較自乗得二十六尺又以次方邊比小方邊所多三尺自乗得九尺兩數相并得四十五尺與共積三百八十一尺相減餘三百三十六尺三因之得一千零八尺為長方積以大方邊比小方邊多六尺倍之得十二尺又以次方邊比小方邊多三尺倍之得六尺兩數相并得十八尺為長闊之較用帶縱較數開方法算之得闊二十四尺三歸之得八尺為小正方形之邊加次方邊比小方邊多三尺得十一尺為次正方形之邊又加大方邊比次方邊多三尺得十四尺為大正方形之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一次正方形壬癸子醜一小正方形試于甲乙丙丁大正方形内作與壬癸子醜相等之寅乙卯辰小正方形則辰己即大正方邊比小正方邊所 多之較又于戊己庚辛次正方形内作與壬癸子醜相等之午己未申小正方形則申酉即次正方邊比小正方邊所多之較以辰己自乗得辰己丁戌一正方形以申酉自乗得申酉辛亥一正形形以所得兩正方形之共積與三正方形之共積相減則餘寅乙卯辰午己未申壬癸子醜三小正方形及甲寅辰戌辰卯丙己戊午申亥申未庚酉四長方形又試将此所餘三小正方形及四長方形之積共作壬癸幹坎一長方形加三倍卽成艮癸幹震一大長方形其艮癸闊為壬癸小方邊之三倍與癸巽等巽幹卽長闊之較而巽離乃辰己與甲寅相并之數為大方邊比小方邊所多之較之二倍離幹乃申酉與戊午相并之數為次方邊比小方邊所多之較之二倍故以大方邊與小方邊之較倍之得巽離又以次方邊與小方邊之較亦倍之得離幹巽離與離幹相并得巽幹為長闊之較用帶縱較數開方法算之得艮癸闊三歸之得壬癸為小正方形之邊加次方邊比小方邊所多之較卽得次正方形之邊又加大方邊比次方邊所多之較卽得大正方形之邊也 設如甲乙丙丁不等邊無直角四邊形甲乙邊十尺甲丁邊十七尺丁丙邊二十八尺乙丙邊三十五尺自丁角至乙角斜線二十一尺問面積幾何法以丁乙斜線分為甲乙丁丁乙丙兩三角形算之先用甲乙丁三角形求得甲戊埀線八尺與乙丁二十一尺相乗折半得八十四尺為甲乙丁三角形之面積又用丁乙丙三角形求得丁己垂線一十六尺八寸與乙丙三十五尺相乗折半得二百九十四尺為丁乙丙三角形之面積以兩三角形之面積相并得三百七十八尺卽甲乙丙丁四邊形之面積也凡無法多邊形皆任以兩角作對角斜線分為幾三角形算之舊術四不等邊形分為兩段一為勾股形一為斜方形葢必有二平行線然後可算若此法非二平行線者則必分為丁己丙與丁甲庚二勾股形甲乙己庚一斜方然後可算不如分為兩三角形算之為簡防而密合也 設如甲乙丙三角形面積三百八十四尺乙丙底邊二十二尺今自甲角将原積平分為二問每分底邊幾何 法以乙丙底邊三十二尺折半得十六尺卽每分底邊之數也葢自甲至乙丙線上作甲戊垂線則甲丁乙甲丁丙兩三角形同以甲戊為髙即為二平行線 【積為】内同底兩三角形其面積【見幾何原本三卷第十節】必等故甲丁乙甲丁丙兩三角形相等而各得甲乙丙三角形積之一半也如分三分或四分者仿此類推 設如甲乙丙丁二平行線無直角四邊形甲乙邊八丈丙丁邊十二丈面積一百六十丈今将原積分為四分問每分截邊幾何 法以甲乙八丈與丙丁十二丈相加得二十丈四歸之得五丈即每分所截之邊乃自甲量至戊得五丈自戊至丙作戊丙線成甲戊丙三角形為第一分又從丙量至己得五丈自戊至己作戊己線成丙戊己三角形為第二分又從己量至庚得五丈自戊至庚作戊庚線成己戊庚三角形為第三分又自庚至丁餘二丈自戊至乙餘三丈庚丁與戊乙相并亦得五丈成戊庚丁乙斜方形即為第四分也葢甲乙與丙丁二線既為平行自乙至辛作乙辛垂線則三三角形與一斜方形同以乙辛為高其邊線既等則所得各形之面積亦必相等而各為四邊形面積之四分之一也 設如甲乙丙丁戊不等邊無直角五邊形面積一十九丈九十八尺甲乙邊二丈五尺乙丙邊三丈九尺丙丁邊六丈丁戊邊一丈五尺甲戊邊四丈一尺自甲角至丙角斜線五丈六尺自甲角至丁角斜線五丈二尺今自甲角将面積平分為三分問截各邊幾何 法以面積十九丈九十八尺三分之每分得六丈六十六尺乃以甲丙甲丁二斜線分為甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形算之用三角形求面積法求得甲乙丙三角形面積四丈二十尺甲丙丁三角形面積一十三丈四十四尺甲丁戊三角形面積二丈三十四尺因甲乙丙甲丁戊兩三角形面積俱不足一分所應得之數而甲丙丁三角形面積又過一分所應得之數故先以甲乙丙三角形面積四丈二十尺與每分所應得六丈六十六尺相減餘二丈四十六尺卽第一分應得甲乙丙三角形面積外又截甲丙丁三角形以補之之數乃以甲丙丁三角形面積一十三丈四十四尺為一率所應截之二丈四十六尺為二率丙丁邊六丈為三率求得四率一丈零九寸八分有餘為甲丙丁三角形補甲乙丙三角形分數之邊如丙己乃自甲至己作甲己線成甲乙丙己不等邊四邊形為第一分又以甲丙丁三角形面積一十三丈四十四尺為一率每分所應得六丈六十六尺為二率丙丁邊六丈為三率求得四率二丈九尺七寸三分有餘為甲丙丁三角形内應得一分之邊如己庚又自甲至庚作甲庚線成甲己庚三角形為第二分餘甲庚丁戊不等邊四邊形即第三分此三分之面積俱為相等也葢兩形同髙者其面積之比例同于其底邊之比例故以甲丙丁三角形面積與甲丙己三角形截積之比同于丙丁與丙己之比而得甲丙己三角形面積為二丈四十六尺與甲乙丙三角形面積四丈二十尺相加得六丈六十六尺又甲丙丁三角形面積與甲己庚三角形面積之比同于丙丁與己庚之比而得甲己庚三角形面積六丈六十六尺則所餘甲庚丁戊四邊形面積亦必為六丈六十六尺若以甲丁戊三角形面積二丈三十四尺與每分六丈六十六尺相減餘四丈三十二尺卽甲庚丁三角形面積乃以甲丙丁三角形面積與甲庚丁三角形面積之比同于丙丁與庚丁之比而得庚丁一丈九尺二寸八分有餘與丙己己庚相加得六丈以合丙丁原數也 禦制數理精蘊下編卷十九