卷十八

為對所求之角其正?七萬七千七百一十五為二率儀器至山頂之斜距三百七十八丈零九寸為所知之邊為三率求得四率二百九十三丈八尺三寸即所測之山之高也如圖甲為山頂甲乙為先安儀器至山頂之斜距乙丙為橫量一百丈甲丙為後安儀器至山頂之斜距乙角為八十六度五十三分丙角為七十八度零七分兩角相并與一百八十度相減得甲角一十五度遂成甲乙丙鋭角三角形今有乙丙二角與乙丙邊求甲乙邊即先安儀器至山頂之斜距又甲丁為山之高甲乙為儀器至山頂之斜距丁角即山頂垂線與地平所成直角乙角為五十一度複成甲丁乙直角三角形今有乙丁二角與甲乙邊求甲丁邊即山之高也 設如人在山坡測山之高前後不得地平爰取斜坡前後兩處相距一百丈測之問山之高得幾何法于山坡先安儀器定準墜線以定表空取一地平以遊表看山頂得兩表相距四十度于是向後就斜坡直量一百丈複安儀器定準墜線以定表空取一地平以遊表看山頂得兩表相距三十五度又以遊表看前儀器中心得兩表相距十三度乃以前儀器所得四十度内減後儀器所得三十五度餘五度為對所知之角其正?八千七百一十六為一率以前儀器所得四十度内減後儀器看前儀器中心所得十三度餘二十七度為對所求之外角其正?四萬五千三百九十九為二率退量一百丈為所知之邊為三率求得四率五百二十丈八尺七寸為山頂至後儀器之斜距次以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正?即半徑十萬為一率後儀器所得三十五度為對所求之角其正?五萬七千三百五十八為二率山頂至後儀器之斜距五百二十丈八尺七寸為所知之邊為三率求得四率二百九十八丈七尺六寸即所測之山之高也如圖甲乙為山之高丙丁為山坡斜距一百丈甲丙戊角為前儀器所得四十度甲丁乙角為後儀器所得三十五度丙丁乙角為後儀器看前儀器中心所得十三度若将戊丙線引長至己則甲己戊角與甲丁乙角為二平行線之内外角其度必等故于甲丙戊角四十度内減甲丁乙角三十五度餘五度為丁甲丙角【此即前題退步兩測之理】又試将丁丙線引長至庚則庚丙戊角與丙丁乙角亦為二平行線之内外角其度亦等故于甲丙戊角四十度内減與庚丙戊角相等之丙丁乙角十三度餘甲丙庚角二十七度為甲丙丁鈍角之外角故先用甲丙丁鈍角三角形求甲丁邊為後儀器至山頂之斜距次用甲乙丁直角三角形求甲乙邊為山之高也 設如東西二樹欲知其相距之逺測處距西樹五十丈距東樹七十丈問二樹相距幾何 法以儀器定表看東樹遊表看西樹得兩表相距五十度乃以距西樹五十丈與距東樹七十丈相加得一百二十丈為一率又以五十丈與七十丈相減餘二十丈為二率兩表相距五十度與一百八十度相減餘一百三十度為外角折半得六十五度為半外角其正切二十一萬四千四百五十一為三率求得四率三萬五千七百四十二為半較角之正切檢表得十九度四十分與半外角六十五度相減餘四十五度二十分為小角與半外角六十五度相加得八十四度四十分為大角既得二角則以小角四十五度二十分為對所知之角其正?七萬一千一百二十一為一率兩表相距五十度為對所求之角其正?七萬六千六百零四為二率距西樹之逺為所知之邊其數五十丈為三率求得四率五十三丈八尺五寸即東西二樹相距之逺也如圖甲為西樹乙為東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹五十丈乙丙為距東樹七十丈丙角為兩表視線相距五十度今以丙角為心甲丙小邊為半徑作一甲丁戊圜截乙丙大邊于戊将乙丙引長至圜界丁則丙戊丙丁俱為半徑與甲丙等自丁至乙即兩邊之和自戊至乙即兩邊之較試自甲至戊作甲戊線則成丙甲戊三角形其丙甲戊與丙戊甲二角并之與甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁線即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之較亦即乙角小于丙戊甲角之較故自圜界戊至甲乙邊作己戊線與甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁與乙己戊為同式形故兩邊之和乙丁與丁戊甲半外角切線甲丁之比即同于兩邊之較乙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也 又法以半徑十萬為一率兩表相距五十度之正?七萬六千六百零四為二率距西樹之逺五十丈為三率求得四率三十八丈三尺為西樹至看東樹視線上之垂線又以半徑十萬為一率兩表相距五十度之餘?六萬四千二百七十九為二率距西樹之逺五十丈為三率求得四率三十二丈一尺四寸為西樹至看東樹視線上垂線所分之小段分邊線将此數與距東樹之逺七十丈相減餘三十七丈八尺六寸亦為西樹至看東樹視線上垂線所分之大段分邊線爰以此線為勾所得垂線為股求得?五十三丈八尺五寸即東西二樹相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲為西樹乙為東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹五十丈乙丙為距東樹七十丈試自甲角至乙丙視線上作甲丁垂線遂分甲乙丙三角形為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形先求得甲丁垂線為股次求得丁丙小段分邊線與乙丙相減餘乙丁大段分邊線為勾求得甲乙?即二樹相距之逺也 又法以距西樹之逺五十丈為一率距東樹之逺七十丈為二率兩表相距五十度之餘割一十三萬零五百四十一為三率求得四率一十八萬二千七百五十七為西樹至看東樹視線上垂線所分兩分角之兩正切之和内減兩表相距五十度之餘切八萬三千九百一十餘九萬八千八百四十七為對西樹視線之對邊角之餘切檢表得四十五度二十分即對西樹視線之對邊角乃以此角度為對所知之角其正?七萬一千一百二十一為一率兩表相距五十度為對所求之角其正?七萬六千六百零四為二率距西樹之逺為所知之邊其數五十丈為三率求得四率五十三丈八尺五寸即東西二樹相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲為西樹乙為東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹五十丈乙丙為距東樹七十丈丙角為兩表視線相距五十度試自甲角至乙丙視線上作甲丁垂線遂分甲乙丙三角形為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形以甲角為心作一戊己庚半圜則甲丁垂線平分于己兩邊各成一象限又與乙丙平行作一辛壬線則辛己一段為乙甲丁分角之正切即乙角之餘切己壬一段為丙甲丁分角之正切即丙角之餘切而甲壬為丙甲丁分角之正割亦即丙角之餘割甲辛壬與甲乙丙兩三角形為同式形故甲丙邊與乙丙邊之比同于丙角餘割甲壬【即丙甲丁分角之正割】與丙甲丁乙甲丁兩分角之正切相合之辛壬之比為相當比例四率既得辛壬兩分角之共切内減去丙甲丁分角之正切己壬【即丙角之餘切】所餘辛己為乙甲丁分角之正切即為乙角之餘切檢表即得乙角既得乙角則用兩角一邊比例求之而得甲乙邊矣 設如南北二橋欲知其相距之逺測處距南橋九十丈距北橋一百二十丈問二橋相距幾何 法以儀器定表看北橋遊表看南橋得兩表相距一百二十度乃以距南橋九十丈與距北橋一百二十丈相加得二百一十丈為一率又以九十丈與一百二十丈相減餘三十丈為二率兩表相距一百二十度與一百八十度相減餘六十度為外角折半得三十度為半外角其正切五萬七千七百三十五為三率求得四率八千二百四十八為半較角之正切檢表得四度四十三分與半外角三十度相減餘二十五度一十七分為小角與半外角三十度相加得三十四度四十三分為大角既得二角則以小角二十五度十七分為對所知之角其正?四萬二千七百零九為一率兩表相距一百二十度為對所求之角其外角六十度之正?八萬六千六百零三為二率距南橋之逺為所知之邊其數九十丈為三率求得四率一百八十二丈四尺九寸為南北二橋相距之逺也如圖甲為南橋乙為北橋丙為儀器中心甲丙為距南橋九十丈乙丙為距北橋一百二十丈丙角為兩表視線相距一百二十度今以丙角為心甲丙小邊為半徑作一甲丁戊圜截乙丙大邊于戊将乙丙引長至圜界丁則乙丁為兩邊之和乙戊為兩邊之較試自甲至戊作甲戊線成甲丙戊三角形其丙甲戊與丙戊甲二角并之與甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁線即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之較亦即乙角小于丙戊甲角之較故自圜界戊至甲乙邊作己戊線與甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁與乙己戊為同式形故兩邊之和乙丁與丁戊甲半外角切線甲丁之比即同于兩邊之較乙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率兩表相距一百二十度之外角六十度之正?八萬六千六百零三為二率距南橋之逺九十丈為三率求得四率七十七丈九尺四寸為南橋至看北橋視線引長虛邊線上之垂線又以半徑十萬為一率兩表相距一百二十度之外角六十度之餘?五萬為二率距南橋之逺五十丈為三率求得四率四十五丈為南橋至看北橋視線引長所成直角之虛邊線與距北橋一百二十丈相加得一百六十五丈為南橋至看北橋視線引長之總邊線爰以此線為股所得南橋至虛邊之垂線為勾求得?一百八十二丈四尺八寸即南北二橋相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲為南橋乙為北橋丙為儀器中心甲丙為距南橋九十丈乙丙為距北橋一百二十丈試将乙丙線引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙兩直角三角形先求得甲丁垂線為勾次求得丙丁虛邊線與乙丙相加得乙丁總邊線為股求得甲乙?即二橋相距之逺也 又法以距南橋之逺九十丈為一率