卷十八

二十五丈九尺八寸即所測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為距樹之逺乙為所定直角丙乙為橫量十五丈丙為儀器中心丙丁為定表看原處乙丙戊為遊表看甲得兩表距弧六十度為戊丁其正?為戊己餘?為庚戊與丙己等象限九十度内減六十度餘三十度為辛戊即甲角之正弧其正?即庚戊是以與庚戊相等之丙己與戊己之比同于丙乙與甲乙之比為相當比例四率也 又法以半徑十萬為一率丙角六十度之正切十七萬三千二百零五為二率橫量十五丈為三率求得四率二十五丈九尺八寸即所測之樹之逺也若求甲丙斜距則以半徑十萬為一率丙角六十度之正割二十萬為二率橫量十五丈為三率求得四率三十丈即甲丙斜距之逺也如圖戊丁弧為六十度丙丁為半徑己丁為六十度之正切己丙為六十度之正割故丙丁與己丁之比同于丙乙與甲乙之比又丙丁與己丙之比同于丙乙與甲丙之比俱各為相當比例四率也 設如一山欲知其高用重測之法測之退步十丈問山之高得幾何 法先安儀器定準墜線以定表看地平遊表看山頂得兩表相距五十度又退行十丈複安儀器定準墜線以定表仍看前儀器定表所看地平原處仍以遊表看山頂得兩表相距四十度乃以前儀器所得五十度内減後儀器所得四十度餘十度為對所知之角其正?一萬七千三百六十五為一率後儀器所得四十度為對所求之角其正?六萬四千二百七十九為二率退行十丈為所知之邊為三率求得四率三十七丈零一寸為前儀器中心至山頂之斜距次以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正?即半徑十萬為一率前儀器所得五十度為對所求之角其正?七萬六千六百零四為二率前儀器中心至山頂之斜距三十七丈零一寸為所知之邊為三率求得四率二十八丈三尺五寸即所測之山之高也如圖甲乙為山之高丙丁為退行十丈前測得丙角五十度後測得丁角四十度而丙角為甲丙丁三角形之外角與丁甲二内角相并之度等【解見三角形邊線角度相求巻中】故丙角五十度内減丁角四十度餘十度即甲丙丁三角形之甲角故先用甲丙丁鈍角三角形求甲丙邊既得甲丙邊然後用甲乙丙直角三角形求甲乙邊為山之高也 又法以前測所得五十度之餘切八萬三千九百一十與後測所得四十度之餘切十一萬九千一百七十五相減餘三萬五千二百六十五為一率半徑十萬為二率退行十丈為三率求得四率二十八丈三尺五寸即所求之山之高也如圖戊己為丙角之餘切即丙甲乙角之正切與壬癸等庚辛為丁角之餘切即丁甲乙角之正切與子癸等子壬即兩餘切之較甲癸與戊丙及庚丁俱同為半徑甲癸壬三角形與甲乙丙三角形為同式形而甲癸子三角形與甲乙丁三角形為同式形故甲壬子三角形與甲丙丁三角形亦為同式形是以子壬與甲癸之比同于丁丙與甲乙之比而為相當比例四率也 設如人在山上欲測山之高但知山前有二樹與山參直二樹相距十八丈問山之高得幾何 法于山頂安儀器定準墜線以定表向空中取一平線先以遊表看逺樹得遊表距垂線四十九度次以遊表看近樹得遊表距垂線三十八度乃以所得兩數相減餘十一度為對所知之角其正?一萬九千零八十一為一率以看逺樹所得之四十九度與九十度相減餘四十一度為對所求之角其正?六萬五千六百零六為二率二樹相距十八丈為三率求得四率六十一丈八尺九寸為近樹距山頂之斜距次以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正?即半徑十萬為一率以看近樹所得之三十八度與九十度相減餘五十二度為對所求之角其正?七萬八千八百零一為二率近樹距山頂之斜距六十一丈八尺九寸為所知之邊為三率求得四率四十八丈七尺七寸即所測之山之高也如圖甲乙為兩樹相距十八丈丙丁為山之高甲丙丁角為看逺樹所得之四十九度乙丙丁角為看近樹所得之三十八度兩數相減餘十一度為甲丙乙角甲丙丁角四十九度與九十度相減所餘之四十一度為甲角乙丙丁角三十八度與九十度相減所餘之五十二度為乙角先用甲乙丙鈍角三角形求丙乙邊既得丙乙邊然後用乙丙丁直角三角形求丙丁邊為山之高也 又法以先看逺樹所得四十九度之正切十一萬五千零三十七與後看近樹所得三十八度之正切七萬八千一百二十九相減餘三萬六千九百零八為一率半徑十萬為二率二樹相距之十八丈為三率求得四率四十八丈七尺七寸即山之高也如圖戊己為甲丙丁角之正切庚己為乙丙丁角之正切戊庚即兩正切之較丙己為半徑故戊庚與丙己之比同于甲乙與丙丁之比而為相當比例四率也 設如一石欲知其逺不取直角于左右兩處橫量五十丈測之問兩處各距石幾何 法先平安儀器于左以定表看右儀器之中心遊表看石得兩表相距七十度次平安儀器于右以定表看左儀器之中心遊表看石得兩表相距六十度乃以兩角度相并得一百三十度與一百八十度相減餘五十度為對所知之角其正?七萬六千六百零四為一率求右邊則以左邊儀器所得七十度為對所求之角其正?九萬三千九百六十九為二率左右相距五十丈為所知之邊為三率求得四率六十一丈三尺三寸為右邊距石之逺若求左邊距石之逺則以右邊儀器所得六十度為對所求之角其正?八萬六千六百零三為二率左右相距五十丈為所知之邊為三率求得四率五十六丈五尺三寸為左邊距石之逺也如圖甲為石乙丙為左右相距五十丈乙角為左邊所測七十度丙角為右邊所測六十度兩角相并與一百八十度相減得甲角五十度共為甲乙丙銳角三角形蓋知乙丙二角及乙丙邊而求甲乙邊及甲丙邊也又法以左邊儀器所得七十度之餘切三萬六千三百九十七與右邊儀器所得六十度之餘切五萬七千七百三十五相并得九萬四千一百三十二為一率右邊儀器所得六十度之餘割十一萬五千四百三十為二率左右相距五十丈為三率求得四率六十一丈三尺三寸為右邊距石之逺若求左邉距石之逺則以左邊儀器所得七十度之餘割十萬六千四百一十八為二率左右相距五十丈為三率求得四率五十六丈五尺三寸為左邊距石之逺也如圖甲為石乙丙為左右相距五十丈乙角為左邊所測七十度丙角為右邊所測六十度試自甲至乙丙線上作甲丁垂線分為甲丁乙甲丁丙兩直角形戊己為丙角之餘切即丁甲丙角之正切與壬癸等己丙為丙角之餘割即丁甲丙角之正割與甲癸等庚辛為乙角之餘切即丁甲乙角之正切與壬子等庚乙為乙角之餘割即丁甲乙角之正割與甲子等而癸子即兩餘切之和甲壬癸與甲丁丙為同式形甲壬子與甲丁乙為同式形故甲子癸與甲乙丙亦為同式形是以癸子與甲癸之比同于丙乙與甲丙之比又癸子與甲子之比同于丙乙與甲乙之比皆為相當比例四率也 設如隔河一樹欲知其逺不能定直角爰取兩處俱斜對樹橫量十二丈測之問離樹之逺得幾何法平安儀器于一處随定表橫量十二丈複安一儀器【若止用一儀器則記凖一處亦可】以先安儀器定表看後安儀器中心遊表看樹得兩表相距一百一十度次以後安儀器定表看先安儀器中心遊表看樹得兩表相距四十度乃以兩角度相并得一百五十度與一百八十度相減餘三十度為對所知之角其正?五萬為一率後安儀器所得四十度為對所求之角其正?六萬四千二百七十九為二率橫量十二丈為所知之邊為三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙丙為橫量十二丈乙角為一百一十度丙角為四十度兩角相并與一百八十度相減得甲角三十度共為甲乙丙鈍角三角形蓋知乙丙二角及乙丙邊而求甲乙邊也 又法以先安儀器所得之外角七十度之餘切三萬六千三百九十七與後安儀器所得四十度之餘切十一萬九千一百七十五相減餘八萬二千七百七十八為一率先安儀器所得之外角七十度之餘割十萬六千四百一十八為二率橫量十二丈為三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙丙為橫量十二丈乙角為先安儀器所得一百一十度丙角為後安儀器所得四十度試将乙丙線引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁乙直角三角形而甲乙丁角即乙角之外角戊己為乙外角之餘切即乙甲丁角之正切與壬癸等己乙為乙外角之餘割即乙甲丁角之正割與甲壬等庚辛為丙角之餘切即丙甲丁角之正切與子癸等子壬即兩餘切之較甲癸壬三角形與甲丁乙三角形為同式形甲癸子三角形與甲丁丙三角形為同式形故甲壬子三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以子壬與甲壬之比同于丙乙與甲乙之比而為相當比例四率也 設如逺望一山欲知其高不得退步爰取左右兩處橫量一百丈先求斜距測之問山之高得幾何法以儀器斜對山頂随定表橫量一百丈任記一處遊表看山頂得兩表相距八十六度五十三分又随定表橫量一百丈所記之處複安儀器斜對山頂以定表看原處遊表看山頂得兩表相距七十八度零七分乃以兩角度相并得一百六十五度與一百八十度相減餘一十五度為對所知之角其正?二萬五千八百八十二為一率後測所得七十八度零七分為對所求之角其正?九萬七千八百五十七為二率橫量一百丈為所知之邊為三率求得四率三百七十八丈零九寸為先安儀器至山頂之斜距次以儀器安于原處定凖墜線定表看地平遊表看山頂得兩表相距五十一度乃以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正?即半徑十萬為一率儀器所得五十一度