卷十八

癸與丁壬之比亦同于丁丙與丁戊之比也 設如一石欲知其逺不取直角于左右兩處橫量三十九丈測之問兩處各距石幾何 法先平安矩度于右以定表看左矩度之中心遊表看石得距矩度中心距分三十七分五厘其遊表之斜距分為六十二分五厘次平安矩度于左以定表看右矩度之中心遊表看石得距矩度中心距分十一分二厘五豪其遊表之斜距分為五十一分二厘五豪乃以所得兩距分相并得四十八分七厘五豪為一率右矩度所得之遊表斜距分六十二分五厘為二率橫量三十九丈為三率求得四率五十丈為右矩度距石之逺若求左矩度距石之逺則仍以兩距分相并為一率左矩度所得之遊表斜距分五十一分二厘五豪為二率橫量三十九丈為三率求得四率四十一丈為左矩度距石之逺也如圖甲為石乙為右矩度中心其丁戊為距分三十七分五厘戊乙為遊表斜距分六十二分五厘乙丙為橫量三十九丈丙為左矩度中心其己庚為距分十一分二厘五豪己丙為遊表斜距分五十一分二厘五豪試自甲角至乙丙線作甲辛垂線分為兩勾股形則丁戊乙勾股形與甲辛乙勾股形為同式形已庚丙勾股形與甲辛丙勾股形為同式形而乙丙即為兩勾之和故以丁戊與己庚兩勾相并與戊乙之比同于乙丙與甲乙之比又丁戊與己庚兩勾相并與己丙之比同于乙丙與甲丙之比俱為相當比例四率也 設如隔河一樹欲測其逺不能定直角爰取兩處俱斜對樹橫量十七丈測之問離樹之逺得幾何法先平安矩度于一處随定表橫量十七丈複安一矩度【若止用一矩度則記凖一處亦可】以先安矩度定表看後安矩度中心遊表看樹得距矩度中心距分四十九分其遊表之斜距分為七十分次以後安矩度定表看先安矩度中心遊表看樹得距矩度中心距分十五分其遊表之斜距分為五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分與後安矩度之中心距分十五分相減餘三十四分為一率先安矩度遊表斜距分七十分為二率橫量十七丈為三率求得四率三十五丈為先安矩度距樹之逺若以後安矩度遊表斜距分五十二分二厘為二率則得四率二十六丈一尺為後安矩度距樹之逺也如圖甲為樹乙為先安矩度中心其丁戊為距矩度中心距分四十九分戊乙為遊表斜距分七十分乙丙為橫量十七丈丙為後安矩度中心其己庚為距矩度中心距分十五分庚丙為遊表斜距分五十二分二厘按己庚十五分截丁戊四十九分于辛則辛戊為減餘三十四分乃自辛至乙作辛乙線與庚丙等又将乙丙線引長于壬自甲作甲壬垂線遂成甲壬丙甲壬乙兩勾股形其乙丁辛勾股形與丙己庚勾股形同度俱與甲壬丙勾股形為同式形而乙丁戊勾股形又與甲壬乙勾股形為同式形故乙戊辛三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以辛戊與乙戊之比同于乙丙與甲乙之比而辛戊與乙辛【乙辛即與丙庚度等】之比又同于乙丙與甲丙之比也此法蓋因遊表視線俱在對角以外故甲壬垂線所成甲壬乙甲壬丙兩勾股形同以甲壬為股而矩度上所得之乙丁戊乙丁辛兩勾股形【乙丁辛即丙己庚】亦同以乙丁為股故即成兩兩同式形若遊表視線在對角以内或一在對角之内一在對角之外所得距矩度中心距分不同者則須取其同距矩度中心距分之度以為比例如後法 設如隔河一亭欲測其逺不能定直角爰取兩處俱斜對亭橫量三十丈測之問距亭之逺得幾何法先平安矩度于一處随定表橫量三十丈複安一矩度以先安矩度定表看後安矩度中心遊表看亭得距矩度中心距分二十七分其遊表之斜距分為五十六分八厘有餘次以後安矩度看先安矩度中心遊表看亭亦察距矩度中心距分二十七分處得距中心距分三十分其遊表之斜距分為四十分三厘有餘乃以所得距中心距分三十分與先安矩度中心平分距分五十分相減餘二十分為一率先安矩度遊表斜距分五十六分八厘有餘為二率橫量三十丈為三率求得四率八十五丈二尺有餘為先安矩度距亭之逺若以後安矩度遊表斜距分四十分三厘有餘為二率則得四率六十丈四尺五寸有餘為後安矩度距亭之逺也如圖甲為亭乙為先安矩度中心其丁戊為距矩度中心距分二十七分乙戊為中心平分距分五十分丁乙為遊表斜距分五十六分八厘有餘乙丙為橫量三十丈丙為後安矩度中心其己庚亦為距矩度中心距分二十七分丙庚為距中心平分距分三十分己丙為遊表斜距分四十分三厘有餘按丙庚三十分截乙戊中心平分距分五十分于辛則乙辛為減餘二十分又自丁至辛作丁辛線與己丙等又将乙丙線引長于壬自甲作甲壬垂線遂成甲壬丙甲壬乙兩勾股形其丁戊辛勾股形與己庚丙勾股形同度俱與甲壬丙勾股形為同式形而丁戊乙勾股形又與甲壬乙勾股形為同式形故丁乙辛三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以乙辛與丁乙之比同于乙丙與甲乙之比又乙辛與丁辛【即己丙】之比同于乙丙與甲丙之比也此法蓋因遊表視線俱在對角以内故甲壬垂線所成甲壬乙甲壬丙兩勾股形同以甲壬為勾而兩矩度上亦取與丁戊相等之己庚為勾使成兩兩同式形然後可以為比例也 設如有塔一座欲知其高用相等兩表測之問得高幾何 法先立一表比人目高四尺看塔頂得距分六尺又自前表向後量六丈複立一表亦比人目高四尺看塔頂得距分八尺乃以前距分六尺與後距分八尺相減餘二尺為一率表比人目高四尺為二率向後量六丈為三率求得四率十二丈加表比人目之高四尺共得十二丈四尺即人目以上之高也若求前表距塔頂下地平之逺則以兩距分相減之較為一率前表距分六尺為二率向後量之數為三率得四率十八丈為前表距塔頂下地平之逺若求後表距塔頂下地平之逺則以後表距分八尺為二率得四率二十四丈即後表距塔頂下地平之逺也如圖甲乙為塔之高丙丁與戊己為兩表比人目之高四尺丁目為前表距分六尺丁己為向後量六丈己目為後表距分八尺試依前距分丁目六尺度截後距分己目于庚則庚目為減餘二尺乃自戊過丙至辛作戊丙辛線又自戊至庚作戊庚線遂成戊己庚勾股形與丙丁目勾股形同度俱與甲辛丙勾股形為同式形而戊己目勾股形又與甲辛戊勾股形為同式形且丙戊與庚目皆為兩勾股形之各股之較故戊庚目三角形與甲丙戊三角形又為同式形是以庚目與戊己之比同于戊丙與甲辛之比又庚目與己庚之比同于丙戊與辛丙之比庚目與己目之比并同于丙戊與辛戊之比也 設如有樓一座欲知其高用不等兩表測之問得高幾何 法先立長表比人目高六尺看樓脊得距分五尺四寸又自先立長表向後量二丈立短表比人目高四尺看樓脊得距分六尺四寸乃以前表比人目之高六尺為一率前表距分五尺四寸為二率後表比人目之高四尺為三率求得四率三尺六寸為前表與後表同高所得之距分爰以所得之三尺六寸與後表距分六尺四寸相減餘二尺八寸為一率後表比人目之高四尺為二率以前表距分五尺四寸内減所得之三尺六寸餘一尺八寸與兩表相距二丈相減餘一丈八尺二寸為三率求得四率二丈六尺加後表比人目之高四尺得三丈即人目以上之高也如圖甲乙為樓之高丙丁為前表比人目之高六尺丁目為前表距分五尺四寸丁己為向後量二丈戊己為後表比人目之高四尺己目為後表距分六尺四寸試依後表戊己度作庚辛垂線截丁目于辛則辛目距分必小于丁目故丙丁與丁目之比同于庚辛與辛目之比而得辛目之分既得辛目則以辛目與己目相減餘壬目即前後兩表同高所得距分之較又于兩表相距丁己内減丁辛餘辛己即同高兩表相距之分故壬目與戊己【即庚辛】之比即同于戊庚【即辛己】與甲癸之比也 三角度數測量【度數測量必取資于儀器全圜儀半圜儀象限儀雖為體不同其為用則一以九十度為準以定表遊表為二視線其相距之度即為所測之角】 設如一塔不知其髙但知距塔之逺為三十丈欲測其高幾何 法以儀器定凖墜線以定表看地平遊表看塔尖得兩表相距二十四度乃以二十四度與九十度相減餘六十六度為對所知之角其正?九萬一千三百五十五為一率儀器上二十四度為對所求之角其正?四萬零六百七十四為二率距塔之逺三十丈為所知之邊為三率求得四率十三丈三尺五寸七分加儀器之高即所求之塔之高也如圖甲乙為塔之高丙乙為距塔之逺儀器中心為丁丁丙為儀器中心距地之高丁戊為定表所對地平為庚丁己為遊表看塔尖甲得兩表距弧二十四度為己戊其正?為己辛其餘?為壬己與丁辛等象限九十度内減二十四度餘六十六度為癸己即甲角之正弧其正?即壬己是以與壬己相等之丁辛與己辛之比同于丁庚與甲庚之比為相當比例四率既得甲庚加同丁丙高之庚乙得甲乙即塔之高也 又法以半徑十萬為一率二十四度之切線四萬四千五百二十三為二率距塔之逺三十丈為三率求得四率十三丈三尺五寸七分加儀器之高即塔之高也如圖己戊弧為二十四度丁戊為半徑壬戊為二十四度之正切故丁戊與壬戊之比同于丁庚與甲庚之比為相當比例四率也 設如一樹欲知其逺取一直角橫量十五丈測之問得幾何 法以儀器定遊表于九十度定表看樹對遊表立兩表竿取直橫量十五丈複安儀器于此以定表看原處遊表看樹得兩表相距六十度乃以六十度與九十度相減餘三十度為對所知之角其正?五萬為一率儀器上六十度為對所求之角其正?八萬六千六百零三為二率橫量十五丈為所知之邊為三率求得四率