卷十七

以乙角四十度與甲角六十度相加得一百度與一百八十度相減餘八十度為丙角既得乙丙兩角則用兩角一邊求又一邊之法算之即得乙丙邊矣或先求乙丙邊則以丁乙二十六丈九尺四寸六分為勾丙丁二十二丈六尺一寸為股求得?三十五丈一尺七寸五分有餘即乙丙邊也 又法先求甲丁分邊比例而得乙角以半徑十萬為一率【即丁直角之正?】以甲角六十度之餘?五萬為二率【即丙分角之正?】以甲丙邊二十六丈一尺零八分為三率求得四率十三丈零五寸四分為甲丁分邊乃以甲丁分邊十三丈零五寸四分為一率以甲丁分邊與甲乙全邊四十丈相減餘二十六丈九尺四寸六分為丁乙分邊為二率甲角六十度之餘切五萬七千七百三十五為三率求得四率一十一萬九千一百七十六為乙角餘切撿表得四十度即乙角也如甲角之戊庚一象限其庚己為甲角之餘切而庚己甲與甲丁丙為同式形又如乙角之辛癸一象限其壬癸為乙角之餘切而壬癸乙與乙丁丙為同式形故甲丁與丁乙之比同于庚己與壬癸之比也 又法用甲角餘割餘切求乙角丙角以甲丙邊二十六丈一尺零八分為一率甲乙邊四十丈為二率甲角六十度餘割一十一萬五千四百七十為三率求得四率一十七萬六千九百一十一為甲角餘切與乙角餘切之共數即甲丙丁與乙丙丁兩分角之共切又将甲角六十度與象限九十度相減餘三十度即甲丙丁之分角撿其正切五萬七千七百三十五與兩分角之共切一十七萬六千九百一十一相減餘一十一萬九千一百七十六為丁丙乙分角之正切即乙角之餘切撿表得四十度即乙角之度也以乙角四十度與甲角六十度相加得一百度又與半圜一百八十度相減餘八十度即丙角之度也如甲乙丙鋭角三角形作丙丁垂線分為甲丁丙與乙丁丙兩直角形以丙角為心作一戊己庚半圜則丙丁垂線平分于己兩邊各成一象限試與甲乙邊平行作一辛壬線則辛己一段為甲丙丁分角之正切即甲角之餘切己壬一段為乙丙丁分角之正切又即乙角之餘切而辛丙為甲丙丁分角之正割亦即甲角之餘割辛壬丙與甲乙丙兩三角形為同式形故甲丙邊與甲乙邊之比即同于甲角餘割辛丙【即甲丙丁分角之正割】與甲丙丁乙丙丁兩分角之正切相合之辛壬之比為相當比例四率也既得辛壬兩分角之共切内減去甲丙丁分角三十度之正切辛己所餘己壬為乙丙丁分角之正切即為乙角之餘切撿表即得乙角也 設如甲乙丙鈍角三角形知甲角一百一十九度三十四分甲乙邊五十四尺甲丙邊三十六尺九寸求乙角丙角及乙丙邊各幾何 法以甲乙邊五十四尺與甲丙邊三十六尺九寸相加得九十尺九寸為兩邊之和為一率又以甲乙邊與甲丙邊相減餘一十七尺一寸為兩邊之較為二率以甲角一百一十九度三十四分與半圜一百八十度相減餘六十度二十六分為外角折半得三十度一十三分為半外角其正切五萬八千二百四十為三率求得四率一萬零九百五十六為半較角之正切撿八線表得六度一十五分為半較角與半外角三十度一十三分相減餘二十三度五十八分即乙角之度如以半較角六度一十五分與半外角三十度一十三分相加得三十六度二十八分即丙角之度也既得乙丙二角求乙丙邊則以丙角為對所知之角其正?五萬九千四百三十五為一率甲外角為對所求之角【甲角為鈍角故用外角】其正?八萬六千九百七十八為二率甲乙邊為所知之邊其數五十四尺為三率求得四率七十九尺零二分四厘有餘即乙丙邊也如圖甲乙丙鈍角三角形以甲角為心甲丙為半徑作一丙丁戊圜其乙丁為兩邊之和乙戊為兩邊之較丙丁為半外角之正切己戊為半較角之正切乙丁丙三角形與乙戊己三角形為同式形故以兩邊之和乙丁與丁戊丙半外角切線丙丁之比即同于兩邊之較乙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也又法自丙角作丙丁垂線于形外成丙丁乙與丙丁甲兩直角形先用丙丁乙直角形求丙丁垂線及甲丁虛邊以丁直角為對所知之角其正?即半徑十萬為一率以甲角一百一十九度三十四分與半圜一百八十度相減餘六十度二十六分即甲外角為對所求之角其正?八萬六千九百七十八為二率甲丙邊為所知之邊其數三十六尺九寸為三率求得四率三十二尺零九分五厘為丙丁垂線又以丁直角為對所知之角其正?即半徑十萬為一率又以甲外角六十度二十六分與九十度相減餘二十九度三十四分為甲丙丁角【即丙外分角】為對所求之角其正?四萬九千三百四十四為二率【如直用甲外角之餘?為二率亦可】甲丙邊為所知之邊其數三十六尺九寸為三率求得四率十八尺二寸零八厘為甲丁虛邊與甲乙邊五十四尺相加得七十二尺二寸零八厘為乙丁全邊又以乙丁全邊七十二尺二寸零八厘為一率丙丁垂線三十二尺零九分五厘為二率半徑十萬為三率求得四率四萬四千四百四十八為乙角正切撿八線表得二十三度五十八分為乙角之度與甲外角六十度二十六分相減餘三十六度二十八分即丙角之度【甲外角與乙丙二内角等故減去乙角餘即丙角】既得乙丙二角則用兩角一邊求又一邊之法算之即得乙丙邊或先求乙丙邊則以乙丁全邊七十二尺二寸零八厘為股丙丁垂線三十二尺零九分五厘為勾求得?七十九尺零二分即乙丙邊也又法用甲角餘割餘切求乙角丙角以甲丙邊三十六尺九寸為一率甲乙邊五十四尺為二率以甲外角六十度二十六分之餘割一十一萬四千九百七十一為三率求得四率一十六萬八千二百五十為甲外角餘切與乙角餘切之較數乃以甲外角六十度二十六分之餘切五萬六千七百三十一與兩餘切之較相加得二十二萬四千九百八十一為乙角餘切撿表得二十三度五十八分即乙角之度與甲角一百一十九度三十四分相加得一百四十三度三十二分與半圜一百八十度相減餘三十六度二十八分即丙角之度也如甲乙丙鈍角形将甲乙邊引長自丙角作丙丁垂線遂成丙丁甲丙丁乙兩直角三角形丙丁甲三角形之甲角即甲乙丙三角形之甲角之外角其餘切戊己即丙丁甲三角形之丙角之正切如庚辛甲外角之餘割甲己即丙丁甲三角形之丙角之正割如庚丙而丙丁乙三角形之乙角之餘切壬癸即丙丁乙三角形之丙角之正切如子辛若丙丁乙三角形之乙角餘切與丙丁甲三角形之甲角餘切相減即兩丙角相差之較如子庚丙辛庚三角形與丙丁甲三角形為同式形丙辛子三角形與丙丁乙三角形為同式形故丙庚子三角形與丙甲乙三角形亦為同式形是以甲丙邊與甲乙邊之比同于甲外角餘割庚丙【即甲己】與兩餘切之較子庚之比為相當比例四率也既得子庚兩餘切之較與甲外角之餘切庚辛【即戊己】相加得子辛即乙角之餘切撿表得乙角度既得乙角則以乙角與甲角相并與半圜相減餘即丙角矣 設如甲乙丙鋭角三角形知乙角六十度甲乙邊八十丈甲丙邊七十丈三尺四寸求甲角丙角及乙丙邊各幾何 法以甲丙邊為對所知之邊其數七十丈三尺四寸為一率甲乙邊為對所求之邊其數八十丈為二率乙角為所知之角其正?八萬六千六百零三為三率求得四率九萬八千四百九十六為丙角正?撿表得八十度零三分即丙角度也既得丙角度則以乙角六十度與丙角八十度零三分相加得一百四十度零三分與一百八十度相減餘三十九度五十七分即甲角度也既得甲角求乙丙邊則以乙角為對所知之角其正?八萬六千六百零三為一率甲角為對所求之角其正?六萬四千二百一十二為二率甲丙邊為所知之邊其數七十丈三尺四寸為三率求得四率五十二丈一尺五寸三分有餘即乙丙為所求之邊也 又法用餘割求丙角以甲乙邊八十丈為一率甲丙邊七十丈三尺四寸為二率乙角六十度之餘割十一萬五千四百七十為三率求得四率十萬一千五百二十六為丙角餘割撿表得八十度零三分即丙角度也如甲乙丙鋭角三角形作甲丁垂線分為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形其乙角之餘割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚丙角之餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲庚辛與甲乙丙兩三角形為同式形故甲乙邊與甲丙邊之比同于乙角餘割甲庚【即戊乙】與丙角餘割甲辛【即己丙】之比為相當比例四率也 設如甲乙丙鈍角三角形知丙角一百一十度甲乙邊二十二丈五尺五寸甲丙邊十二丈求甲角乙角及乙丙邊各幾何 法以