卷十七

丈零一寸求甲乙邊甲丙邊各幾何 法以乙角二十四度與丙角三十六度三十分相加得六十度三十分與半圜一百八十度相減餘一百一十九度三十分為甲鈍角求甲乙邊則以甲鈍角為對所知之角夫甲角既為鈍角過九十度乃用其外角将甲角一百一十九度三十分與半圜一百八十度相減餘六十度三十分為甲角之外角其正?八萬七千零三十六為一率【凡鈍角之外角其正?即鈍角之正?解見割圜集内】丙角為對所求之角其正?五萬九千四百八十二為二率乙丙邊為所知之邊其數七十九丈零一寸為三率求得四率五十三丈九尺九寸七分即甲乙為所求之一邊也如求甲丙邊則仍以甲角為對所知之角用其外角正?八萬七千零三十六為一率而以乙角為對所求之角其正?四萬零六百七十四為二率仍以乙丙邊七十九丈零一寸為三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有餘【如既得甲乙邊而以丙角為對所知之角其正?為一率甲乙邊為所知之邊其數為三率所得亦同】即甲丙為所求之又一邊也此法亦有兩角一邊但甲為鈍角故用外角正?求法畧異試以求甲乙邊言之則甲乙邊為半徑于甲角之外作乙丁垂線則成乙甲丁之外角其乙丁垂線即乙甲丁外角之正?又按甲乙邊度截乙丙邊于戊使戊丙與甲乙半徑等作戊己垂線即丙角之正?夫戊己丙與乙丁丙兩勾股形為同式形故乙甲丁外角之正?乙丁與丙角之正?戊己之比即同于乙丙邊與等甲乙邊之戊丙之比為相當比例四率也其求甲丙邊用外角正?其理亦同 又法求甲乙邊以乙角二十四度之餘切二十二萬四千六百零四與丙角三十六度三十分之餘切一十三萬五千一百四十二相加得三十五萬九千七百四十六為一率乙角之餘割二十四萬五千八百五十九為二率乙丙邊七十九丈零一寸為三率求得四率五十三丈九尺九寸七分有餘即甲乙邊求甲丙邊則仍以兩角餘切相加之三十五萬九千七百四十六為一率而以丙角之餘割一十六萬八千一百一十七為二率乙丙邊七十九丈零一寸為三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有餘即甲丙邊也此法葢以甲乙丙一鈍角三角形分為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形其乙角之餘切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之餘割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之餘切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之餘割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子乙角丙角兩餘切相加之數即兩甲角正切相加之和如壬子甲癸壬與甲丁乙兩三角形為同式形甲癸子與甲丁丙兩三角形為同式形故甲壬子與甲乙丙兩三角形亦為同式形是以求甲乙邊者以壬子與甲壬之比同于乙丙與甲乙之比求甲丙邊者以壬子與甲子之比同于乙丙與甲丙之比皆為相當比例四率也 設如甲乙丙鈍角三角形知乙角三十三度三十八分四十秒丙外角五十五度五十三分乙丙邊一十六丈求甲角甲乙邊甲丙邊各幾何 法以乙角三十三度三十八分四十秒與丙外角五十五度五十三分相減餘二十二度一十四分二十秒即甲角【取甲角當以丙外角與半圜一百八十度相減餘為丙鈍角仍以丙鈍角與乙角相加又與半圜一百八十度相減餘為甲角今止以丙外角内減乙角即得甲角者葢因丙外角與乙甲二内角相倂之度等又三角形三角相倂共為一百八十度與半圜等今于半圜内減去丙鈍角所餘為丙外角而一百八十度内減丙鈍角則餘乙甲二角共度是甲乙二角共度與丙外角之度等故于丙外角内減去乙角即甲角也】求甲乙邊則以甲角為對所知之角其正?三萬七千八百四十七為一率以丙外角為對所求之角其正?八萬二千七百九十為二率乙丙邊為所知之邊其數一十六丈為三率求得四率三十五丈即甲乙為所求之一邊求甲丙邊則仍以甲角為對所知之角其正?三萬七千八百四十七為一率而以乙角為對所求之角其正?五萬五千四百零四為二率仍以乙丙邊為所知之邊其數一十六丈為三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有餘【如既得甲乙邊而以丙外角為對所知之角其正?為一率甲乙邊為所知之邊其數為三率所得亦同】即甲丙為所求之又一邊也此法亦有兩角一邊與前法同但先有外角少異耳 又法求甲乙邊以乙角三十三度三十八分四十秒之餘切一十五萬零二百五十九與丙外角五十五度五十三分之餘切六萬七千七百四十八相減餘八萬二千五百一十一為一率乙角之餘割一十八萬零四百九十三為二率乙丙邊一十六丈為三率求得四率三十五丈即甲乙邊求甲丙邊則仍以兩角餘切相減之八萬二千五百一十一為一率而以丙外角之餘割一十二萬零七百八十八為二率仍以乙丙邊一十六丈為三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有餘即甲丙邊也此法葢以乙丙邊引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁乙甲丁丙兩直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其餘切戊己即甲丁丙三角形之甲角之正切如壬癸丙外角之餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲壬甲乙丙三角形之乙角之餘切庚辛即甲丁乙三角形之甲角之正切如子癸甲乙丙三角形之乙角之餘割辛乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲子甲丁丙三角形之丙角餘切與甲丁乙三角形之乙角餘切相減之數即兩甲角之正切相減之較如子壬甲癸壬三角形與甲丁丙三角形為同式形甲癸子三角形與甲丁乙三角形為同式形故甲子壬三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以子壬與甲子之比同于乙丙與甲乙之比又子壬與甲壬之比同于乙丙與甲丙之比皆為相當比例四率也 設如甲乙丙鋭角三角形知甲角六十度甲乙邊四十丈甲丙邊二十六丈一尺零八分求乙角丙角及乙丙邊各幾何 法以甲乙邊四十丈與甲丙邊二十六丈一尺零八分相加得六十六丈一尺零八分為兩邊之和為一率又以甲乙邊四十丈與甲丙邊二十六丈一尺零八分相減餘一十三丈八尺九寸二分為兩邊之較為二率以甲角六十度與半圜一百八十度相減餘一百二十度為外角折半得六十度為半外角其正切一十七萬三千二百零五為三率求得四率三萬六千三百九十七為半較角之正切撿八線表得二十度為半較角與半外角六十度相減餘四十度即乙角之度如以半較角二十度與半外角六十度相加得八十度即丙角之度也既得乙丙兩角即以丙角為對所知之角其正?九萬八千四百八十一為一率以甲角為對所求之角其正?八萬六千六百零三為二率甲乙邊為所知之邊其數四十丈為三率求得四率三十五丈一尺七寸五分有餘即乙丙為所求之邊也如圖甲乙丙鋭角三角形以甲角為心甲丙小邊為半徑作一丙丁戊圜截甲乙大邊于戊将甲乙引長至圜界丁則甲丁甲戊俱為半徑與甲丙等自丁至乙即兩邊之和自戊至乙即兩邊之較丁甲丙角即甲角之外角試自丙至戊作一丙戊線則成甲丙戊三角形其甲丙戊與甲戊丙二角并之與丁甲丙外角度等今折半用其正切即如用丁戊丙角之正切又心角與邊角度等其切線亦等故自丙至丁作一丙丁線即丁戊丙角之正切又戊丙乙角即丙角大于甲戊丙角之較亦即乙角小于甲戊丙角之較故自圜界戊至乙丙邊己作己戊線與丙丁平行即戊丙己角之正切且乙丁丙三角形與乙戊己三角形為同式形故兩邊之和丁乙與丁戊丙半外角切線丁丙之比即同于兩邊之較戊乙與半較角切線戊己之比為相當比例四率也 又法自丙角作丙丁垂線分為丙丁甲丙丁乙兩直角形算之先用丙丁甲直角形求丙丁垂線及甲丁分邊以丁角為對所知之角其正?即半徑十萬為一率以甲角為對所求之角其正?八萬六千六百零三為二率甲丙邊為所知之邊其數二十六丈一尺零八分為三率求得四率二十二丈六尺一寸有餘為丙丁垂線又以丁角為對所知之角其正?即半徑十萬為一率以甲角六十度與九十度相減餘三十度即甲丙丁角【即丙之分角】為對所求之角其正?五萬為二率【直用甲角餘?亦可】甲丙邊為所知之邊其數二十六丈一尺零八分為三率求得四率十三丈零五寸四分為甲丁分邊既得甲丁分邊乃與甲乙邊四十丈相減餘二十六丈九尺四寸六分為丁乙分邊于是用丙丁乙直角形求乙角及乙丙邊以丁乙二十六丈九尺四寸六分為一率丙丁二十二丈六尺一寸有餘為二率半徑十萬為三率求得四率八萬三千九百零八為乙角正切撿八線表得四十度為乙角