卷十七

餘一十四丈六尺四寸一分為兩邊之較為二率以乙角之外角九十度折半得四十五度為半外角其正切十萬為三率【四十五度之正切與半徑十萬等】求得四率二十六萬七千九百四十八為半較角之正切撿八線表得十五度為半較角與半外角四十五度相減餘三十度即丙角之度如以半較角十五度與半外角四十五度相加得六十度即甲角之度也如圖甲乙丙直角三角形以乙直角為心甲乙小邊為半徑作一甲戊丁圜截丙乙大邊于戊将丙乙引長至圜界丁則丁乙戊乙俱為半徑與甲乙等自丁至丙即兩邊之和自戊至丙即兩邊之較甲乙丁角即乙角之外角試自甲至戊作一甲戊線則成甲乙戊直角三角形其乙甲戊與乙戊甲二角相并與甲乙丁外角度等今折半用其正切即如用甲戊乙角之正切又心角與邊角度等其切線亦等故自甲至丁作一丁甲線即甲戊丁角之正切又戊甲丙角即甲角大于甲戊乙角之較又即丙角小于甲戊乙角之較故于圜界戊至甲丙邊己作己戊線與甲丁線平行即戊甲己角之正切且丙丁甲三角形與丙戊己三角形為同式形故兩邊之和丙丁與甲戊丁半外角切線甲丁之比即同于兩邊之較丙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也 設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲乙邊六十尺丙乙邊三十二尺求甲丙邊幾何法以甲乙邊六十尺為一率丙乙邊三十二尺為二率半徑十萬為三率求得四率五萬三千三百三十三為甲角之正切撿八線表得二十八度零四分即甲角之度【如用丙乙邊作一率甲乙邊作二率即先得丙角度】乃以甲角為對所知之角其正?四萬七千零五十為一率乙角為對所求之角其正?即半徑十萬為二率丙乙邊為所知之邊其數三十二尺為三率求得四率六十八尺零一分二厘有餘即甲丙為所求之邊也又既得甲角之後用割線法則以半徑為一率甲角之正割為二率甲乙邊為三率求得四率即甲丙為所求之邊也或得丙角則用丙角之正割為二率丙乙邊為三率亦得甲丙邊若得丙角仍用甲乙邊為三率則用丙角餘割【即甲角之正割】為二率而亦得甲丙邊也 又法用勾股求?以甲乙為股丙乙為勾求得?即甲丙邊也法已載于勾股集中 設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲丙邊一百零二丈二尺丙乙邊四十八丈求甲角丙角各幾何 法以甲丙邊為對所知之邊其數一百零二丈二尺為一率丙乙邊為對所求之邊其數四十八丈為二率乙角為所知之角其正?即半徑十萬為三率求得四率四萬六千九百六十六為甲角之正?撿八線表得二十八度零一分即甲角之度也甲角之餘?即丙角之正?如撿八線表餘?數得六十一度五十九分即丙角之度也如甲丁戊一象限己庚爲甲角正?辛己與甲庚等為甲角之餘?即丙角之正?甲庚己與甲乙丙両勾股形為同式形故甲丙邊與丙乙邊之比同于甲己半徑與己庚正?之比為相當比例四率也又法以丙乙邊四十八丈為一率甲丙邊一百零二丈二尺為二率半徑十萬為三率求得四率二十一萬二千九百一十六為丙角之正割撿八線表得六十一度五十九分即丙角之度也其丙角之餘割即甲角之正割如撿餘割數得二十八度零一分即甲角之度也如丙丁戊一象限丙戊為半徑己戊為丙角之正切己丙為丙角之正割甲乙丙與己戊丙兩勾股形為同式形故丙乙邊與甲丙邊之比同與丙戊半徑與己丙正割之比為相當比例四率也 設如甲乙丙銳角三角形知乙丙邊三十二丈乙角六十度丙角四十六度求甲乙邊甲丙邊各幾何法以乙角六十度與丙角四十六度相加得一百零六度與半圜一百八十度相減餘七十四度為甲角求甲丙邊則以甲角為對所知之角其正?九萬六千一百二十六為一率以乙角為對所求之角其正?八萬六千六百零三為二率乙丙邊為所知之邊其數三十二丈為三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有餘即甲丙為所求之一邊也求甲乙邊則仍以甲角為對所知之角其正?九萬六千一百二十六為一率而以丙角為對所求之角其正?七萬一千九百三十四為二率仍以乙丙邊為所知之邊其數三十二丈為三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有餘即甲乙為所求之又一邊也如圖甲乙丙三角形作含三角形之圜則每界角各對一弧試自圜心丁作三角形各邊之垂線即将每角所對之弧平分一半各成兩心角其每一心角與相當各界角之度等【見幾何原本四卷第十三節】是以乙角所對甲丙弧原系一百二十度今為丁庚癸垂線所平分各為六十度一為甲丁癸一為癸丁丙皆與乙角原度等丙角所對甲乙弧原系九十二度今為丁戊辛垂線所平分各為四十六度一為甲丁辛一為辛丁乙皆與丙角原度等甲角所對乙丙弧原系一百四十八度今為丁己壬垂線所平分各為七十四度一為乙丁壬一為壬丁丙皆與甲角原度等乙己為乙丁壬角之正?己丙為壬丁丙角之正?亦即甲角之正?甲庚為甲丁癸角之正?庚丙為癸丁丙角之正?亦即乙角之正?甲戊為甲丁辛角之正?戊乙為辛丁乙角之正?亦即丙角之正?故求甲丙邊者以乙己與甲庚之比或己丙與庚丙之比皆同于乙丙與甲丙之比又如求甲乙邊者以己丙與甲戊之比或乙己與戊乙之比皆同于乙丙與甲乙之比俱是半與半全與全之比例而各為相當比例四率也又圖求甲丙邊者則用甲丙為半徑自丙角至甲乙界作丙丁垂線為甲角正?又依甲丙度截丙乙于戊使戊乙與甲丙等【凡用正?比例因在圜内皆同半徑今使戊乙與甲丙相同而後正?之大小乃見】乃自戊至甲乙界又作戊己垂線為乙角正?觀戊己小于丙丁則知甲丙【同戊乙】亦小于乙丙故甲角正?丙丁與乙角正?戊己之比同于乙丙邊與甲丙邊之比為相當比例四率也又如求甲乙邊者則用甲乙為半徑自乙角至甲丙界作乙丁垂線為甲角正?又依甲乙度截乙丙于戊使戊丙與甲乙等乃自戊至甲丙界又作戊己垂線為丙角正?觀戊己小于乙丁則知甲乙【同戊丙】亦小于乙丙故甲角正?乙丁與丙角正?戊己之比同于乙丙邊與甲乙邊之比為相當比例四率也 又法求甲乙邊以乙角六十度之餘切五萬七千七百三十五與丙角四十六度之餘切九萬六千五百六十九相加得一十五萬四千三百零四為一率乙角之餘割一十一萬五千四百七十為二率乙丙邊三十二丈為三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有餘即甲乙邊求甲丙邊則仍以兩角餘切相加之一十五萬四千三百零四為一率而以丙角餘割一十三萬九千零一十六為二率仍以乙丙邊三十二丈為三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有餘即甲丙邊也此法葢以甲乙丙一鋭角三角形分為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形即如乙角六十度與象限九十度相減餘三十度為甲丁乙三角形之甲角又丙角四十六度與象限九十度相減餘四十四度為甲丁丙三角形之甲角乙角之餘切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之餘割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之餘切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之餘割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子若乙角丙角兩餘切相加即兩甲角正切相加之和如壬子甲癸壬與甲丁乙兩三角形為同式形甲癸子與甲丁丙兩三角形為同式形故甲壬子與甲乙丙兩三角形亦為同式形是故求甲乙邊者以壬子與甲壬之比同于乙丙與甲乙之比求甲丙邊者以壬子與甲子之比同于乙丙與甲丙之比皆為相當比例四率也 設如甲乙丙鋭角三角形知甲角五十度乙角七十度乙丙邊九丈七尺八寸求丙角甲乙邊甲丙邊各幾何 法以甲角五十度與乙角七十度相加得一百二十度與半圜一百八十度相減餘六十度為丙角求甲乙邊則以甲角為對所知之角其正?七萬六千六百零四為一率以丙角為對所求之角其正?八萬六千六百零三為二率乙丙邊為所知之邊其數九丈七尺八寸為三率求得四率一十一丈零五寸六分有餘即甲乙為所求之一邊也求甲丙邊則仍以甲角為對所知之角其正?七萬六千六百零四為一率而以乙角為對所求之角其正?九萬三千九百六十九為二率仍以乙丙邊為所知之邊其數九丈七尺八寸為三率求得四率一十一丈九尺九寸六分有餘即甲丙為所求之又一邊也此法所知之角與邊雖與前法少異然總是有兩角一邊得其所餘一角則仍與前法同矣 設如甲乙丙鈍角三角形知乙角二十四度丙角三十六度三十分乙丙邊七十九