卷十七

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷十七 面部 三角形邊線角度相求 三角形邊線角度相求 三角形有直角者為勾股無直角者作中垂線分為兩直角形則亦成兩勾股是皆有其二而得其一或有其三而分為二防以邊線相求者也至于割圜之法則凡三角形有一角即有八線皆成勾股而可比例以相求故三角形不論角之直與銳鈍要以角度為凖而三角之度必與兩直角之度等角之大者所對之邊亦大角之小者所對之邊亦小凡三角三邊但知其三而其餘者悉可得若直角則惟知其二而其餘者亦可得此三角之法所由立而測量之用所由廣也如知兩角一邊求又一邊者以對所知之角與對所求之角為比即如所知之邊與所求之邊為比也知兩邊一角求又一角者以對所知之邊與對所求之邊為比即如所知之角與所求之角為比也或所知之一角在所知兩邊之間而求又一角者則角無所對之邊而邊亦無所對之角必用兩邊之和較與所知角之外角半弧之切線為比而得所求兩角與所知角之外角半弧之較既得較而角度亦得矣又如知三邊而求三角者則以三角形求中垂線法分為兩直角形而三角自随之而得或用三邊之方面按法比例而得兩直角形之各一角既得一角而三角亦可得矣若止有三角則三邊無所約束故不成法葢角度為虛率而邊線為實數無實數而虛率可馭總以比例四率展轉用之惟在分合有法相度得宜耳 設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角五十七度丙乙邊五丈求甲乙邊幾何 法以丙角五十七度與象限九十度相減餘三十三度為甲角乃以甲角為對所知之角其正?五萬四千四百六十四為一率丙角為對所求之角其正?八萬三千八百六十七為二率丙乙邊為所知之邊其數五丈為三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘有餘即甲乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之正?丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘?即甲角之正?是故丙角五十七度之餘弧為三十三度丙角五十七度之餘?為三十三度之正?己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故甲角正?丙庚【即辛己】與丙角正?己庚之比同于丙乙邊與甲乙邊之比為相當比例四率也 又法以半徑十萬為一率丙角五十七度之正切一十五萬三千九百八十六為二率丙乙邊五丈為三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘即甲乙邊也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊線為丙角之正切則丙戊為半徑庚戊丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙戊半徑與庚戊正切之比同于丙乙邊與甲乙邊之比為相當比例四率也 設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角二十三度三十五分甲乙邊三十二丈求丙乙邊幾何 法以丙角二十三度三十五分與九十度相減餘六十六度二十五分為甲角乃以丙角為對所知之角其正?四萬零八為一率以甲角為對所求之角其正?九萬一千六百四十八為二率甲乙邊為所知之邊其數三十二丈為三率求得四率七十三丈三尺零三分有餘即丙乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之正?丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘?即甲角之正?故丙角二十三度三十五分之餘弧為六十六度二十五分丙角二十三度三十五分之餘?為六十六度二十五分之正?己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙角正?己庚與甲角正?丙庚之比同于甲乙邊與丙乙邊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率丙角二十三度三十五分之餘切線二十二萬九千零七十三為二率甲乙邊三十二丈為三率求得四率七十三丈三尺零三分有餘即丙乙邊也如丙丁戊一象限切丁己弧作丁庚線為丙角之餘切即甲角之正切則丁丙為半徑丙丁庚與甲乙丙兩勾股形為同式形故丁丙半徑與丁庚餘切之比同于甲乙邊與丙乙邊之比為相當比例四率也 設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角四十三度三十七分丙乙邊二十一尺求甲丙邊幾何 法以丙角四十三度三十七分與九十度相減餘四十六度二十三分為甲角乃以甲角為對所知之角其正?七萬二千三百九十七為一率【甲角正?即丙角餘?或直用丙角餘?亦可】以乙角為對所求之角其正?即半徑十萬為二率丙乙邊為所知之邊其數二十一尺為三率求得四率二十九尺零六厘有餘即甲丙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘?即甲角之正?【與丙庚等】己丙線為半徑即九十度之正?己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故甲角正?丙庚與半徑己丙之比同于丙乙邊與甲丙邊之比為相當比例四率也 又法以半徑十萬為一率丙角四十三度三十七分之正割一十三萬八千一百二十七為二率丙乙邊二十一尺為三率求得四率二十九尺零六厘有餘即甲丙邊也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊線為丙角之正切則丙戊為半徑庚丙為正割庚戊丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙戊半徑與庚丙正割之比同于丙乙邊與甲丙邊之比為相當比例四率也 設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角五十一度五十一分甲丙邊八十九丈零二寸二分求甲乙邊丙乙邊各幾何 法以丙角五十一度五十一分與九十度相減餘三十八度零九分為甲角求甲乙邊則以乙角為對所知之角其正?即半徑十萬為一率以丙角為對所求之角其正?七萬八千六百四十為二率甲丙邊為所知之邊其數八十九丈零二寸二分為三率求得四率七十丈零六分有餘即甲乙為所求之邊也求丙乙邊亦以乙角為對所知之角其正?即半徑十萬為一率而以甲角為對所求之角其正?六萬一千七百七十二為二率甲丙邊為所知之邊其數八十九丈零二寸二分為三率求得四率五十四丈九尺九寸有餘即丙乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之正?丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘?即甲角之正?己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故半徑己丙與丙角正?己庚之比同于甲丙邊與甲乙邊之比為相當比例四率又半徑巳丙與甲角正?丙庚之比同于甲丙邊與丙乙邊之比為相當比例四率也 又法求甲乙邊以丙角五十一度五十一分之正割一十六萬一千八百八十五為一率其正切一十二萬七千三百零六為二率甲丙邊八十九丈零二寸二分為三率求得四率七十丈零六分有餘即甲乙邊也求丙乙邊則仍以丙角正割一十六萬一千八百八十五為一率而以半徑十萬為二率仍以甲丙邊八十九丈零二寸二分為三率求得四率五十四丈九尺九寸有餘即丙乙邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧庚戊線為丙角之正切庚丙線為丙角之正割庚戊丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙角正割庚丙與正切庚戊之比同于甲丙邊與甲乙邊之比又丙角正割庚丙與半徑丙戊之比同于甲丙邊與丙乙邊之比皆為相當比例四率也 設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲乙邊二十丈丙乙邊三十四丈六尺四寸一分求甲角丙角各幾何 法以甲乙邊二十丈為一率丙乙邊三十四丈六尺四寸一分為二率半徑十萬為三率求得四率一十七萬三千二百零五為甲角之正切撿八線表得六十度即甲角之度與九十度相減餘三十度即丙角之度也如先求丙角則以丙乙邊三十四丈六尺四寸一分為一率甲乙邊二十丈為二率半徑十萬為三率求得四率五萬七千七百三十五為丙角之正切撿八線表得三十度即丙角之度與九十度相減餘六十度即甲角之度也如圖先求甲角則如甲丁戊一象限己戊弧為甲角六十度之弧庚戊為甲角之正切甲戊為半徑甲戊庚與甲乙丙兩勾股形為同式形故甲乙邊與丙乙邊之比同于甲戊半徑與庚戊正切之比為相當比例四率先求丙角則如丙丁戊一象限己丁弧為丙角三十度之弧辛丁為丙角之正切丙丁為半徑丙丁辛與丙乙甲兩勾股形為同式形故丙乙邊與甲乙邊之比同于丙丁半徑與辛丁正切之比為相當比例四率也 又法以甲乙邊二十丈與丙乙邊三十四丈六尺四寸一分相加得五十四丈六尺四寸一分為兩邊之和為一率又以甲乙邊二十丈與丙乙邊三十四丈六尺四寸一分相減