卷十六

欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷十六 面部 割圜【割圜八線　六宗　　三要　　二簡法八線相求　求象限内各線總法】 割圜八線 圜周定為三百六十度大而周天小而寸許皆如之葢圜有大小而度分随之其為數則同自圜心平分圜周為四分名曰四象限每一象限九十度一象限之中設為正?餘?正矢餘矢正切餘切正割餘割名之曰割圜八線 設如甲乙丙丁之圜自圜心戊平分全圜為甲乙乙丙丙丁丁甲四象限其每一象限皆九十度乃自圜心戊任作一戊己半徑則将甲丁九十度之弧分為甲己己丁二?己丁為己戊丁角所對之弧甲己為甲戊己角所對之弧如命己戊丁為正角則甲戊己為餘角甲戊己為正角則己戊丁為餘角正角所對為正弧餘角所對為餘弧今以己丁為正弧故甲己為餘弧又自己與甲丙全徑平行作己辛線謂之通?其對己丁正弧而立于戊丁半徑者曰正?又與戊丁半徑平行作壬己線謂之餘?以其為甲己餘弧之所對也于戊丁半徑内減戊庚餘庚丁謂之正矢于甲戊半徑内減壬戊餘甲壬謂之餘矢自圜界與甲戊半徑平行立于戊丁半徑之末作垂線仍與己戊丁角相對者曰正切将己戊半徑引長與正切相遇于癸成戊癸線謂之正割又自圜界與戊丁半徑平行作甲子線謂之餘切戊癸正割被甲子餘切截于子所分戊子謂之餘割每一角一弧即有正?餘?正矢餘矢己成四線于圜界之内複引出半徑于圜界之外而成正切餘切正割餘割之四線内外共為八線故曰割圜八線逐度逐分正弧之餘即為餘弧之正餘弧之正即為正弧之餘是以前四十五度之八線正餘互相對待為用不必複求後四十五度之八線也凡此八線皆九十度以内鋭角之所成若直角九十度者則不能成八線葢因半徑即九十度之正?甲戊半徑即甲丁弧之?而切線割線為平行終無相遇之處也若鈍角過九十度以外者則于半周一百八十度内減其角度用其餘度之八線即如己庚為己丁弧之正?亦即乙己弧之正?也要之八線以正?為本有正?則諸線皆由此生故六宗三要皆系正?之法 六宗三要【二簡法附】 西洋厯算家作割圜八線表始自圜内容六邊四邊十邊三邊五邊十五邊名曰六宗葢用圜徑求各等邊形之一邊為相當弧之通?以為立表之原故謂之宗然六者實本于三如六邊形之一邊即圜之半徑不借他求數無零餘而理最易見此其一也四邊形之一邊則為半徑所作正方形之對角斜?此又其一也十邊形之一邊則為半徑所作連比例三率之中率西法謂之理分中末線此又其一也至于三邊形則出于六邊五邊形則出于十邊十五邊形則又出于三邊及五邊非别自立一法也既得此六種形之一邊各半之即得六種弧之各正?爰命此六種弧為本弧按法可求本弧之餘?可求倍本弧之正?餘?亦可求半本弧之正?餘?是為三要又以不等兩弧之正?餘?求相加相減弧之正?又兩弧距六十度前後之度等得其兩正?之較即得距弧之正?是又名為二簡法由此錯綜之可得正?一百二十其中最小者為四十五分之?其次一度三十分又次為二度十五分又次為三度如此每越四十五分而得一?其自一分至四十四分之?則以比例求之因弧分甚微與直線所差無幾故以?求?而得之此西法立割圜八線表之大綱也爾來西法對數表内有設連比例四率以求圜内容七邊九邊二法因推廣其理于六宗之外增求圜内容十八邊形十四邊形之法俱以半徑為首率求連比例四率之第二率即十八邊形十四邊形之每一邊而七邉又因之以生亦猶三邊之出于六邊五邊之出于十邊也有此二形與六宗相叅伍可得正?三百六十其中最小者為十五分之正?又增一法求十五分之三分之一五分之正?所少者止一分至四分之正?較之四十五分為尤密可知矣今以六宗三要二簡法理分中末線并新增數法皆按類具例于左 六宗【圜内容六邊形四邊形三邊形十邊形五邊形十五邊形】 設如圜徑二十萬求内容六邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬折半得半徑十萬即圜内容六邊形之每一邊也如甲圜内容六邊形每邊之弧得圜周六分之一皆六十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙三角形則甲角所對之弧為六十度而甲乙甲丙兩腰俱為半徑既相等則乙角丙角亦必相等而各為六十度矣三角既等則三邊亦必相等故乙丙邊即與甲乙甲丙半徑相等也乙丙弧既為六十度則乙丙邊十萬為六十度之通?折半得乙丁五萬即乙戊弧三十度之正?也此即六邊起算之理前設圜徑為二兆者所以求其密合今設圜徑為二十萬所以取其便于用也 設如圜徑二十萬求内容三邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬為?自乗得四百億又以半徑十萬為勾自乗得一百億相減餘三百億開方得股一十七萬三千二百零五【小餘○八○七五六八】即圜内容三邊形之每一邊也如甲圜内容三邊形毎邊之弧得圜周三分之一皆一百二十度為六邊形每邊弧之一倍試自乙角過圜心至對界作乙丁全徑線又自丁依半徑度至丙作丁丙線則成六邊形之每一邊其丙丁弧即為三邊形之每邊弧之一半而丙角立于圜界之一半必為直角故半徑為勾全徑為?求得股即三邊形之每一邊也乙丙弧既為一百二十度則乙丙邊一十七萬三千二百零五【小餘○八○七五六八】為一百二十度之通?折半得乙戊八萬六千六百零二【小餘五四○三七八四】即乙己弧六十度之正?也 設如圜徑二十萬求内容四邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬折半得半徑十萬自乗得一百億倍之得二百億開方得一十四萬一千四百二十一【小餘三五六二三七三】即圜内容四邊形之每一邊也如甲圜内容四邊形每邊之弧得圜周四分之一皆九十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙勾股形若命甲乙半徑為股則甲丙半徑為勾若命甲丙半徑為股則甲乙半徑為勾因勾股皆為半徑故以半徑自乗倍之開方而得?即如勾股各自乗并之開方而得?也乙丙弧既為九十度則乙丙邊一十四萬一千四百二十一【小餘三五六二三七三】為九十度之通?折半得乙丁七萬零七百一十【小餘六七八一一八六】即乙戊弧四十五度之正?也 理分中末線【此西法名也因命一線為首率将此首率分為大小兩分大分為中率小分為末率與原線共為相連比例三率故謂之理分中末線也】 設如以十萬為首率作相連比例三率使中率末率相加與首率等求中率末率各幾何 法以十萬自乗得一百億為長方積以十萬為長闊之較用帶縱較數開方法算之得闊六萬一千八百零二即相連比例之中率以中率與首率十萬相減餘三萬八千一百九十七即相連比例之末率也此法葢因連比例三率之首率末率相乗之長方積與中率自乗之正方積等而首率之中有一中率一末率之數故首率自乗之一正方積中有首率中率相乗之一長方又有首率末率相乗之一長方即如甲乙為首率丙乙為中率甲丙為末率丙乙中率自乗之正方為丁戊乙丙甲丙末率與甲乙首率相乗之長方為甲丙庚辛【甲辛與甲乙等】此一正方一長方之積等而甲乙首率自乗之正方為甲乙己辛丙乙中率與甲乙首率相乗之長方為丙乙己庚【丙庚與甲乙等】夫甲丙庚辛之長方既與丁戊乙丙之正方等則甲乙己辛之正方亦必與丁戊己庚之長方等是以丁戊己庚長方形之闊即中率其長比闊之較即首率故以首率自乗為長方積仍以首率為長比闊之較用帶縱平方法開之得闊為中率也 又法以首率十萬為股首率十萬折半得五萬為勾求得?一十一萬一千八百零三内減勾五萬餘六萬一千八百零三為相連比例之中率以中率與首率相減餘三萬八千一百九十七即為相連比例之末率也如圖甲乙與乙丙皆為首率今以甲乙為股乙丙折半得乙丁為勾求得甲丁?試依甲丁?度将乙丁勾引長至戊作丁乙戊線仍自甲至戊作一圜界則甲丁戊丁同為半徑且皆為?于戊丁?内減乙丁勾所餘乙戊與己乙等即中率于甲乙首率内減去與乙戊相等之己乙中率所餘甲己即末率也此法與前法理實相同帶縱較數開方法有以半較自乗與原積相加開方得半和于半和内減半較得闊者今此法以首率為股自乘得甲乙丙壬正方形即與庚戊丙辛長方形積等乙丙即長闊之較乙丁即半較戊丁即半和今以乙丁為勾自乘甲乙為股自乘相加開方得甲丁?即如乙丁半較自乘與甲乙自乘原積相加開方而得甲丁與戊丁等戊丁内減乙丁餘戊乙即半和内減半較得闊為中率也 設如圜徑二十萬求内容十邊形之一邊幾何法用連比例三率有首率求中率末率使中率末率相加與首率等之法以圜徑二十萬折半得十萬為首率自乘得一百億為長方積以十萬為長闊之較用帶縱較數開方法算之得六萬一千八百零三【小餘三九八八七四九】為連比例之中率即圜内容十邊形之每一邊也如甲圜内容十邊形每邊之弧得圜周十分之一皆三十六度其通?即圜内十邊形之一邊試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形複自圜界乙至圜界戊作一乙戊線則截甲丙線于丁又成乙丙丁三角形而乙戊遂為一百零八度之通?此乙丙丁三角形與甲乙丙三角形為同式形【乙丙丁三角形之乙角當戊丙弧為乙丙弧之倍則乙丙丁三角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角等又同用丙角其餘一角亦必等故為同式形】其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同于乙丙與丙丁之比為相連比例三率而甲乙為首率乙丙為中率丙丁為末率也又甲乙丙三角形其甲角既居全圜十分之一為三十六度則乙角必比甲角大一倍為七十二度【三角形之三角共一百八十度甲角既為三十六度則乙丙兩角必為一百四十四度平分之各得七十二度比甲角為大一倍也】而乙丙丁三角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角等則甲丁乙三角形之乙角亦必與甲角等是則甲丁乙三角形必兩邊相等之三角形而乙丙丁三角形亦為兩邊相等之三角形也夫甲丁既與丁乙等而丁乙又與乙丙中率等則甲丁亦必與中率等矣是以甲丁中率與丁丙末率相加與甲丙首率等故用連比例三率有首率求中率法算之得中率為十邊形之一邊也 又法以圜徑二十萬折半得半徑十萬為股自乘得一百億又以半徑十萬折半得五萬為勾自乗得二十五億相加得一百二十五億開方得?一十一萬一千八百零三【小餘三九八八七四九】于?數内減去勾數餘六萬一千八百