卷十六

零三【小餘三九八八七四九】即圜内容十邊形之每一邊也如甲圜内容十邊形每邊之弧得圜周十分之一皆三十六度試自圜心甲至圜界乙作甲乙半徑線為股又自圜心甲取直角作甲丙半徑線折半得甲丁為勾求得乙丁?内減與甲丁相等之戊丁餘乙戊即與乙己等為圜内容十邊形之毎一邊也乙己弧既為三十六度則乙己邊六萬一千八百零三【小餘三九八八七四九】為三十六度之通?折半得乙庚三萬零九百零一【小餘六九九四三七四】即乙辛弧十八度之正?也 設如圜徑二十萬求内容五邊形之一邊幾何法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與圜内容十邊形之一邊六萬一千八百零三【小餘三九八八七四九】為兩腰用三角形求中垂線法算之得中垂線五萬八千七百七十八【小餘五二五二二九二】倍之得一十一萬七千五百五十七【小餘○五○四五八四】即圜内容五邊形之每一邊也如甲圜内容五邊形每邊之弧得圜周五分之一皆七十二度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊為七十二度之通?如以乙丙弧七十二度折半于丁作乙丁線即圜内容十邊形之一邊仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線于戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線即五邊形每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十邊形之一邊為小腰求得乙戊中垂線倍之為五邊形之毎一邊也 又法以半徑十萬為股自乘得一百億圜内容十邊形之一邊六萬一千八百零三【小餘三九八八七四九】為勾自乘得三十八億一千九百六十六萬零一百一十二【小餘四八九九九○五八五八五○○一】相加得一百三十八億一千九百六十六萬零一百一十二【小餘四八九九九○五八五八五○○一】開方得?一十一萬七千五百五十七【小餘○五○四五八四】即圜内容五邊形之每一邊也此法葢因半徑自乘十邊形之一邊自乘兩自乘方積相并即與五邊形之一邊自乘之方積等故用勾股求?之法算之如甲圜内容五邊形将乙丙弧折半于丁作乙丁線即圜内容十邊形之一邊仍自圜心甲至丁作甲丁半徑線遂成甲乙丁三角形又依乙丁線度截甲丁半徑于己作乙己線成乙己丁三角形與甲乙丁三角形為同式形故甲乙為首率乙丁為中率己丁為末率甲己亦與乙丁等為中率而乙丙邊平分己丁末率于戊又成乙戊丁勾股形乙戊五邊形每邊之半為股丁戊末率之半為勾乙丁中率為?試依甲丁半徑度作甲庚辛丁正方形又依乙丙五邊形之一邊度作乙丙癸壬正方形其甲庚辛丁正方形内甲子醜已為乙丁?自乘之一正方【甲已既與乙丁?等故甲子醜已為?自乘之正方】已寅辛丁長方形亦與乙丁?自乘之一正方等【丁辛原與甲丁首率等己丁末率與丁辛首率相乘自與乙丁中率自乘之正方等】而子庚寅醜長方形為乙丁?自乘之一正方内少勾自乘之四正方【葢子庚辛夘長方形為首率與末率相乘之長方與乙丁中率自乘之正方等内卻少醜寅辛夘正方形而醜寅辛夘正方形實為戊丁勾自乘之四正方故子庚寅醜長方形為乙丁?自乘之一正方少勾自乘之四正方也】是則甲丁半徑自乘之甲庚辛丁正方形内有?自乘之三正方而少勾自乘之四正方再加乙丁?自乘之一正方共得?自乘之四正方而少勾自乘之四正方大凡?自乘之正方内原有勾自乘之一正方股自乘之一正方今?自乘之四正方内少勾自乘之四正方即與股自乘之四正方等而乙丙一邊自乘之乙丙癸壬正方形實為乙戊股自乘之四正方然則甲丁半徑自乘方與乙丁十邊形之一邊自乘方相并既與乙戊股自乘之四正方等而乙丙一邊自乘之正方豈不與甲丁半徑自乘乙丁十邊形之一邊自乘之兩正方等乎故以甲丁半徑為股乙丁十邊形之一邊為勾求得?而為五邊形之一邊也又法以半徑十萬自乘得一百億為長方積仍以半徑十萬為長闊之較用帶 縱較數開方　　　　　　　　　　　　　　　　　【折半得八萬】法算之得長一十六萬一【小餘三九八八七四九】千八百零三零九百零一【小餘六九九四三七四】為自圜心至五邊形每邊之垂線乃以半徑十萬為?圜心至五邊形每邊之垂線為股求得勾五萬八千七百七十八【小餘五二五二二九二】倍之得一十一萬七千五百五十七【小餘○五○四五八四】即圜内容五邊形之每一邊也如甲圜内容五邊形将乙丙弧折半于丁作乙丁線即圜内容十邊形之一邊仍自圜心甲至丁作甲丁半徑線成甲乙丁三角形又依乙丁線度截甲丁半徑于己作乙己線成乙己丁三角形與甲乙丁三角形為同式形故甲乙為首率乙丁為中率己丁為末率甲己亦與乙丁等為中率而乙丙邊平分己丁末率于戊是以己戊與戊丁俱為半末率而甲戊自圜心至邊之垂線則為一中率半末率之共數今以半徑首率自乘為長方積開帶縱平方得長乃首率與中率之和其内有兩中率一末率折半得一中率半末率即甲戊自圜心至邊之垂線既得甲戊垂線乃以甲乙半徑為?甲戊垂線為股求得乙戊勾倍之得乙丙即圜内容五邊形之一邊也或以乙丁中率為?戊丁半末率為勾求得乙戊股倍之亦即圜内容五邊形之一邊也乙丙弧既為七十二度則乙丙邊一十一萬七千五百五十七【次以圜内容小餘○五】為七十二度之通?折半得乙戊五萬八千七百七十八【○四五八四小餘五二】即乙丁弧三十六度之正?也 設如圜徑二十萬求内容十五邊形之一邊幾何法以半徑十萬為?圜内容五邊形之半五萬八千七百七十八【五二二九二小餘五二】為勾求得股八萬零九百零一【五二二九二小 餘六九】内　　　　　　　　　　　　　　　【九四三七五】減半徑之半五萬餘三萬【小餘六九九四三七五】零九百零一為股三邊形之一邊一十七萬三千二百零五【小餘○八○七五六八】内減圜内容五邊形之一邊一十一萬七千五百五十七【小餘○五○四五八四】餘五萬五千六百四十八【小餘○三○二九八四】折半得二萬七千八百二十四【小餘○一五一四九二】為勾求得?四萬一千五百八十二【小餘三三八一六三五】即圜内容十五邊形之每一邊也如甲圜内容十五邊形每邊之弧得圜周十五分之一皆二十四度試從圜界乙作圜内容三邊形又作圜内容五邊形将三邊形之每一邊弧分五段五邊形之每一邊弧分三?即得十五邊形之每一邊弧如戊庚與己丁二段皆為十五邊形之弧故以甲丁半徑為?丁丙五邊之半為勾求得甲丙股内減甲辛自圜心至三角底邊之垂線為半徑之半餘辛丙與癸丁或壬庚等複于三邊形之戊己邊内減五邊形之庚丁邊即如戊己線内減壬癸餘戊壬與癸己二?折半得癸己或戊壬今任以癸丁或壬庚為股癸己或戊壬為勾求得己丁?或戊庚?即圜内容十五邊形之每一邊也己丁弧既為二十四度則己丁邊四萬一千五百八十二【小餘三三八一六三五】為二十四度之通?折半得己子二萬零七百九十一【小餘一六九○八一七】即己醜弧十二度之正?也 新增按分作相連比例四率法 設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率三倍等問二率三率四率各幾何法以一率十萬自乘再乘得一千兆【成一立方積】為實又以一率十萬自乘三因之得三百億【成三平面積】為法以除原實一千兆得三萬乃以三萬自乘再乘得二十七兆益于原實一千兆内得一千零二十七兆為共實按除法以所得三萬與法三百億相因得九百兆與共實相減餘一百二十七兆為第二位實以法之三百億除之得四千乃以首位所得三萬合次位所得四千共三萬四千自乘再乘得三十九兆三千零四十億仍益于原實一千兆内得一千零三十九兆三千零四十億為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆餘一十九兆三千零四十億為第三位實以法之三百億除之得六百所餘太多因益積故取畧大之數為七百合前兩位所得三萬四千共三萬四千七百自乘再乘得四十一兆七千八百一十九億二千三百萬仍益于原實一千兆内得一千零四十一兆七千八百一十九億二千三百萬為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆又減三位所得七百與法三百億相因之二十一兆餘七千八百一十九億二千三百萬為第四位實以法之三百億除之得二十合前三位所得三萬四千七百共三萬四千七百二十自乘再乘得四十一兆八千五百四十二億一千零四萬八千仍益于原實一千兆内得一千零四十一兆八千五百四十二億一千零四萬八千為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆又減三位所得七百與法三百億相因之二十一兆又減四位所得二十與法三百億相因之六千億餘二千五百四十二億一千零四萬八千為末位實以法之三百億除之得八所餘亦太多因益積仍取畧大之數為九合前四位所得三萬四千七百二十共三萬四千七百二十九自乘再乘得四十一兆八千八百六十七億六千六百四十萬零二千四百八十九仍益于原實一千兆内得一千零四十一兆八千八百六十七億六千六百四十萬二千四百八十九為共實按除法以五次所得之數與法相因之數遞減之仍餘一百六十七億六千六百四十萬二千四百八十九不盡是共除得三萬四千七百二十九為相連比例之二率也以二率之三萬四千七百二十九自乘得一十二億零六百一十萬三千四百四十一以一率之十萬除之得一萬二千零六十一為三率以二率之三萬四千七百二十九三倍之得十萬四千一百八十七内減去一率之十萬餘四千一百八十七為四率如以三率之一萬二千零六十一自乘以二率之三萬四千七百二十九除之亦得四千一百八十七為四率也此為益實歸除之法葢因此法止有一率之數作相連比例四率使一率與四率之共數與二率三倍等而連比例四率之理一率自乘用四率再乘與二率自乘再乘之數等今立法以一率自乘再乘為原實較之三倍二率與一率自乘之面積相乘之數卻少一二率自乘再乘之數故以累除所得之數屢次自乘再乘益入原實然後按法除之始足二率三倍之數也如圖甲乙為一率庚子子辰辰乙皆為二率庚甲為四率庚乙為一率四率之共數又為二率之三倍甲乙丙丁戊己為一率自乘再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為三倍二率與一率自乘面積相乘