卷十六

之長方體【一率自乘三因之得三平面如以二率乘之成三扁方體合之即成三倍二率乘一率自乘面積之一長方體】比一率自乘再乘之正方體多一庚甲酉戊壬癸扁方體此扁方體即一率自乘用四率再乘之數與二率自乘再乘之積等若于一率自乘再乘之正方體内加入二率自乘再乘之正方體即如于甲乙丙丁戊己正方體上加一庚甲酉戊壬癸之扁方體成庚乙丙丁壬癸之長方體而以一率自乘之乙丙丁申方面除之必得庚乙為二率之三倍苟合乙丙丁申與辰己午未及子醜寅夘三方面除之必得庚子或子辰或辰乙為二率若不加積止以三方面除之則所得仍為一率之三分之一比二率數必小故以屢除所得之數屢次自乘再乘益入原積則積漸增而得數亦漸大遞及末位則所少之積已足而除得之數即為二率之全數焉 設如圜徑二十萬求内容十八邊形之一邊幾何法用連比例四率有一率求二率使一率與四率相加與二率三倍等之法以圜徑二十萬折半得十萬為一率自乘再乘得一千兆為實又以半徑十萬自乘三因之得三百億為法按益實歸除之法除實得三萬四千七百二十九【小餘六三五五三三四】為二率即圜内十八邊形之每一邊也如甲圜内容十八邊形每邊之弧得圜周十八分之一皆二十度其通?即圜内十八邊形之一邊試自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形複自圜界乙至圜界庚作一乙庚線則截甲丙線于戊又成乙丙戊三角形而乙庚為六十度之通?複自圜界丙按丙戊線度至乙庚線之丁作一丙丁線則又成丙丁戊三角形此三三角形皆為同式形【乙丙戊三角形之乙角當庚丙弧為乙丙弧之倍則乙丙戊三角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角等又與甲乙丙三角形同用丙角丙丁戊三角形之丁丙線與甲辛半徑平行則丙丁戊三角形之丙角與甲丙辛三角形之甲角為相對錯角亦必等又與乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而為同式形也】其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同于乙丙與丙戊之比乙丙與丙戊之比又同于丙戊與戊丁之比為相連比例四率而甲乙為一率乙丙為二率丙戊為三率戊丁為四率也又乙庚為六十度之通?與甲乙一率等而乙戊丁己己庚三段皆與乙丙二率等是乙庚一率中有乙丙二率之三倍而少一丁戊四率也必以乙庚一率與丁戊四率相加方與乙丙二率之三倍等故用連比例四率有一率求二率法算之得二率為十八邊形之一邊也乙丙弧既為二十度乙丙邊三萬四千七百二十九【小餘六三五五三三四】為二十度之通?折半得一萬七千三百六十四【小餘八一七七六六七】即十度之正?也 設如圜徑二十萬求内容九邊形之一邊幾何法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與圜内容十八邊形之一邊三萬四千七百二十九【小餘六三五五三三四】為兩腰用三角形求中垂線法算之得中垂線三萬四千二百零二【小餘○一四三三二六】倍之得六萬八千四百零四【小餘○二八六六五二】即圜内容九邊形之每一邊也如甲圜容九邊形每邊之弧得圜周九分之一皆四十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊為四十度之通?如以乙丙弧四十度折半于丁作乙丁線即圜内容十八邊形之一邊仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線于戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線即九邊形每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十八邊形之一邊為小腰求得中垂線倍之為九邊形之每一邊也乙丙弧既為四十度乙丙邊為四十度之通?其乙戊中垂線三萬四千二百零二【小餘○一四三三二六】即乙丁弧二十度之正?也 按分作相連比例四率又法 設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率之數等問二率三率四率各幾何 法以一率十萬自乘再乘得一千兆【成一立方體】為實又以一率十萬自乘二因之得二百億【成二平面積】為法以除原實一千兆得五萬為盡數因減實大于益實故取畧小之數為四萬乃以四萬自乘再乘得六十四兆益于原實一千兆内得一千零六十四兆為益實複以所得四萬自乘得一十六億以一率十萬再乘得一百六十兆于益實内減之餘九百零四兆為正實按除法以所得四萬與法二百億相因得八百兆與正實相減餘一百零四兆為第二位實以法之二百億除之得五千仍取畧小之數為四千乃以首位所得四萬合次位所得四千共四萬四千自乘再乘得八十五兆一千八百四十億益于原實一千兆内得一千零八十五兆一千八百四十億為益實複以所得四萬四千自乘得一十九億三千六百萬以一率十萬再乘得一百九十三兆六千億于益實内減之餘八百九十一兆五千八百四十億為正實按除法減首位所得四萬與法二百億相因之八百兆又減次位所得四千與法二百億相因之八十兆餘一十一兆五千八百四十億為第三位實以法之二百億除之得五百合前兩位所得四萬四千共四萬四千五百自乗再乗得八十八兆一千二百一十一億二千五百萬益于原實一千兆内得一千零八十八兆一千二百一十一億二千五百萬為益實複以所得四萬四千五百自乗得一十九億八千零二十五萬以一率十萬再乗得一百九十八兆零二百五十億于益實内減之餘八百九十兆零九百六十一億二千五百萬為正實按除法減首位所得四萬與法二百億相因之八百兆又減次位所得四千與法二百億相因之八十兆又減三位所得五百與法二百億相因之一十兆餘九百六十一億二千五百萬為第四位實以法之二百億除之實不足法乃以第四位為空位而第五位得四故以四為末位合前四位所得四萬四千五百空十共四萬四千五百零四自乗再乗得八十八兆一千四百四十八億九千零一十三萬六千零六十四益于原實一千兆内得一千零八十八兆一千四百四十八億九千零一十三萬六千零六十四為益實複以所得四萬四千五百零四自乗得一十九億八千零六十萬六千零一十六以十萬再乗得一百九十八兆零六百零六億零一百六十萬于益實内減之餘八百九十兆零八百四十二億八千八百五十二萬六千零六十四為正實按除法以五次所得之數于法相因之數遞減之仍餘四十二億八千八百五十三萬六千零六十四不盡是共除得四萬四千五百零四為相連比例之二率也以二率之四萬四千五百零四自乗得一十九億八千零六十萬六千零一十六以一率之十萬除之得一萬九千八百零六為三率以二率之四萬四千五百零四二因之與三率之一萬九千八百零六相加得十萬八千八百一十四減去一率之十萬餘八千八百一十四為四率如以三率之一萬九千八百零六自乗以一率之四萬四千五百零四除之亦得八千八百一十四為四率也此為益實兼減實歸除之法葢因此法止有一率之數作相連比例四率使一率與四率之共數與二率兩倍再加一三率之數等而相連比例四率之理一率自乗用四率再乗與二率自乘再乗之數等又一率自乗用三率再乗與二率自乗用一率再乗之數等今立法以一率自乘再乗為原實較之二率加倍與一率自乗之面積相乗之數卻少一一率自乗四率再乗之數又多一一率自乗三率再乗之數故以屢除所得之數屢次自乗再乗益入原實又以屢除所得之數屢次自乗以一率再乗與益實相減然後按法除之始足二率兩倍之數也如圖甲乙為一率庚子子辰皆為二率辰乙為三率庚甲為四率庚乙為一率四率之共數又為二率兩倍再加一三率之共數甲乙丙丁戊巳為一率自乗再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為兩倍二率并一三率與一率自乗面積相乘之長方體比一率自乗再乗之正方體多一庚甲酉戊壬癸扁方體此扁方體即一率自乗四率再乗之扁方體與二率自乗再乗之積等比兩倍二率與一率自乗面積相乗之扁方體多一辰乙丙丁午未扁方體此扁方體即一率自乗三率再乗之扁方體與二率自乗一率再乗之積等若于一率自乗再乗之正方體内加入二率自乗再乗之數再減去二率自乗一率再乗之數即如于甲乙丙丁戊己正方體内加入庚甲酉戊壬癸之扁方體減去辰乙丙丁午未之扁方體成一庚辰己午壬癸之扁方體而以一率自乗之辰己午未方面除之必得庚辰為二率之兩倍苟合辰巳午未子醜寅夘二方面除之必得庚子或子辰為二率若不益少減多而以二方面除之則所得仍為一率之二分之一比二率數必大故以屢除所得之數屢次自乗再乗益入原積複以屢除所得之數自乗用一率再乗逐層與原積相減遞及末位則所少之積漸足所多之積漸消而除得之數即為二率之全數焉 設如圜徑二十萬求内容十四邊形之一邊幾何法用連比例四率有一率求第二率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率等之法以圜徑二十萬折半得十萬為一率自乗再乗得一千兆為實又以半徑十萬自乗倍之得二百億為法按益實兼減實歸除之法除實得四萬四千五百零四【小餘一八六七九一三】為二率即圜内十四邊形之每一邊也如甲圜内容十四邊形每邊之弧得圜周十四分之一皆二十五度四十二分五十一秒有餘其通?即圜内十四邊形之一邊試自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形複自圜界乙至圜界庚作一乙庚線則截甲丙線于戊又成乙丙戊三角形複自圜界丙按丙戊線度至乙庚線之丁作一丙丁線則又成丙丁戊三角形此三三角形皆為同式形【乙戊丙三角形之乙角當丙庚弧為乙丙弧之倍則乙戊丙三角形之乙角與乙甲丙三角形之甲角等又與乙甲丙三角形同用丙角而丙丁戊三角形之丁丙線與甲辛半徑平行即丙丁戊三角形之丙角與甲丙辛三角形之甲角為相對錯角亦必等又與乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而為同式形也】其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同于乙丙與丙戊之比乙丙與丙戊之比又同于丙戊與戊丁之比為相連比例四率而甲乙為一率乙丙為二率丙戊為三率戊丁為四率也又按乙戊度作壬戊線與丁丙平行則截甲乙線于壬乃自壬與乙丙平行作壬子線複自壬與乙戊平行作壬癸線則又成甲壬子與壬戊癸丙三角形與乙丙戊三角形等成壬癸子一三角形與丙丁戊三角形等其甲子癸戊皆與乙丙二率等而癸子與丁戊四率等是甲丙一率内有兩二率一三率而少一四率也若以甲丙一率與癸子四率相加方與二率之兩倍再加一三率之數等故用連比例四率有一率求二率法算之得二率為十四邊形之每一邊也 設如