卷十五

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷十五 面部五 割圜【屢求勾股】 割圜 周髀曰圓出于方方出于矩矩者所謂直角即勾股也葢因方易度而圓難測方有盡而圓無盡故古人用割圜之法内?外切屢求勾股為無數多邊形以切近圜界使弧線直線漸合為一而圓周始得是則推圜者以方推方者以矩矣劉宋祖沖之以圜容六邊起算元趙友欽以圜容四邊起算自明末西法入中國又有割圜八線六宗三要等説而圜度内外諸線相求之法始偹要之圜内六邊起算者圜徑折半即圜内六邊之一乃用屢求勾股之法自六邊而十二邊自十二邊而二十四邊自二十四邊而四十八邊如是累至億萬邊設徑為一而周得三一四一五九二六五三有餘圜内四邊起算者則以圜徑為内容正方之斜?自乗折半開方而得四邊之一亦用屢求勾股之法自四邊而八邊自八邊而十六邊自十六邊而三十二邊如是累至億萬邊設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘圜外四邊起算者圜徑即四邊之一圜徑自乗倍之開方即圜外正方之斜?減去圜徑即圜外兩角之餘又即圜外八邊之一以八邊之一折半為勾半徑為股求得?與半徑相減即股?較又即小同式形之勾乃以八邊之一折半之勾為一率半徑之股為二率小同式形之勾為三率推得四率為小同式形之股倍之即十六邊之一如是累至億萬邊設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘圜外六邊起算者圜徑為?半徑為勾求得股倍之即圜外三邊之一取其三分之一即圜外六邊之一以六邊之一折半為勾半徑為股求得?與半徑相減即股?較又即小同式形之勾乃以六邊之一折半之勾為一率半徑之股為二率小同式形之勾為三率推得四率為小同式形之股倍之即十二邊之一如是累至億萬邊設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘此兩法者或自圜内容形之邊為勾股法使無數勾股小?逼近圜周将與圜周合而為一或自圜外切形之邊為勾股法使無數勾股小股逼近圜周亦将與圜周合而為一二法既立故凡圜周圜徑諸法皆可以互相比例矣割圜八線則将圜周分為三百六十度先求弧度通?折半為正?既得正?而圜内之正矢圜外之正切正割由之而生至于餘?餘矢餘切餘割則又由正而得名三百六十度平分四象限每一象限九十度九十度之中得其正角為正餘角為餘是以正餘相對而割圜八線之表以立一象限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角測量諸法皆可以互相比例矣自圜内容形屢求勾股而得無數多邊自圜外切形屢求勾股而得無數多邊内外湊集則圜周漸變為直線而設圜界為度分者内而正?外而切線至于無數則圜周亦漸變為直線二者互相?考俱為相符可見理之至者先後一揆法之精者中外一理然則勾股即割圜之體而割圜即勾股之用二者交相成而兩相得乎 圜内容六邊起算 設如圜徑二兆用内容六邊起算問得圜周幾何法以圜徑二兆折半得一兆為圜内所容六邊形之每一邊乃以半徑一兆為?六邊之一邊一兆折半得五千億為勾求得股八千六百六十億二千五百四十萬三千七百八十四【四百四十零小餘四三八六四六七六三七二三一七○七五二九三六一】與半徑相減餘一千三百三十九億七千四百五十九萬六千二百一十五【八三四七一小餘五六一三五三二三六二七六八二九二四七○六三八】複為勾六邊之一邊折半之五千億為股求得?五千一百七十六億三千八百零九萬零二百零五【一六五二九小餘○四一五二四六九七七九七六七五二四八○九六六】為圜内所容十二邊形之每一邊如是屢求得圜内二十四邊形之每一邊為二千六百一十億【五七六六四】五千二百三十八萬四千【小餘一○三一八三○九六八一二四五五七九○九七八○二○三八七】圜内四十八邊形之每一邊為一千三百零八億零六百二十五萬八千四百六十零【小餘二八六一三三六三○六三一一一七五五○三五○八八二八七九】圜内九十六邊形之每一邊為六百五十四億三千八百一十六萬五千六百四十三【小餘五五二二八四一二七三一二二八八二四一六○八六七八四三三】圜内一百九十二邊形之每一邊為三百二十七億二千三百四十六萬三千二百五十二【小餘九七三五六三二八五九二八五六五八九九一八九八三三二一三】圜内三百八十四邊形之每一邊為一百六十三億六千二百二十七萬九千二百零七【小餘八七四二五八五七○三九八一四六五八九五二六六七九九六四】圜内七百六十八邉形之每一邊為八十一億八千一百二十萬八千零五十二【小餘四六九五七九一八九二四八二一九九一○○三六二五二三三七】圜内一千五百三十六邊形之每一邊為四十億九千零六十一萬二千五百八十二【十三萬一千七百三十二小餘三二八一九○二二八八二六一一七九六】圜内三千零七十二邊形之每一邊為二十億四千五百三十萬七千三百六十零【八五八五一九○○三九小餘六七六六○九○八二三八五九二二二九】圜内六千一百四十四邊形之每一邊為一十億二千二百六十五萬三千八百一十四【二一○二○七九○二九小餘○二七三九五○二二○二八五九八九五】圜内一萬二千二百八十八邊形之毎一邊為五億一千一百三十二萬六千九百二十三【八八五二二四三九一七小餘七二四八三四六二八一二三二九九○三】圜内二萬四千五百七十六邊形之每一邊為二億五千五百六十六萬三千四百六十三【一九○八八四七六七九小餘九五一三○九四八○五二三四四九○一】圜内四萬九千一百五十二邊形之每一邊為一億【一一四一○六三一七六】二千七百八【小餘二三六七六六二六一八六九四七六四六四○四九二○九九九七】圜内九萬八千三百零四邊形之毎一邊為六千三百九十一萬五千八百六十六【小餘一五一○二二○七一一六○七○八○七一二六三八七○七五三】圜内一十九萬六千六百零八邊形之每一邊為三千一百九十五萬七千九百三十三【小餘○七九五九○九○三一○九三八一五四一九三○六五三八○○】圜内三十九萬三千二百一十六邊形之毎一邊為一千五百九十七萬八千九百六十六【小餘五四○三○五五二八八九六二四八七七九三七二三七五九六七】圜内七十八萬六千四百三十二邊形之每一邊為七百九十八萬九千四百八十三【小餘二七○二一六四六五四二八○六六六八一○五六一一一一四八】圜内一百五十七萬二千八百六十四邊形之每一邊為三百九十九萬四千七百四十一【小餘六二五一一七四五二九七五八六八○七○六八一一七九三三九】圜内三百一十四萬五千七百二十八邊形之毎一邊為一百九十九萬七千三百七十零【一邊為六萬