卷十四

欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷十四 面部四 三角形 三角形 凡三角形立于圓界之一半者為直角即勾股過圓界之一半者為鋭角不及圓界之一半者為鈍角然不拘鋭角鈍角自一角至底邊作垂線即分為兩直角是仍不離乎勾股也兩腰等者垂線即當底之一半而兩腰不等者所分底界則有大小不同故和較相比之法因之而生葢和求較較求和要必歸于勾股相求之理由勾股而得垂線則凡面積及内容方圓等形皆無不可得至于三角形角度相求之法乃割圓八線實所以極三角之用即如周髀所謂仰矩知髙俯矩知深是也故另為一卷茲但取三角形之面線相求諸法悉具圖觧以次勾股使與勾股相表裡焉 設如有等邊三角形每邉十尺求中垂線幾何法以底邉十尺折半得五尺為勾任以兩腰之一邉十尺為?勾?求股得八尺六寸六分零二毫有餘即為中垂線也如圖甲乙丙三角形其甲乙甲丙兩腰相等則其底邊之乙丙兩角度亦必相等【見幾何原夲二卷第九節】今所求之垂線為甲丁即将甲乙丙三角形平分為兩直角三角形而甲丁乙甲丁丙皆為直角其度又等故所分之兩直角三角形為同式形而甲丁垂線又為兩三角形所共用之邉線則所分之底邊之乙丁丁丙焉得不等故将乙丙底邊折半為勾任以甲乙甲丙兩邉之一邊為?求得股為中垂線也 又法以底邊十尺折半得五尺自乗得二十五尺三因之得七十五尺開方得八尺六寸六分零二毫有餘即為中垂線也葢?比勾大一倍則?之自乗之方必比勾之自乗之方大四倍為連比例隔一位相加之比例【見幾何原夲七卷第五節】依勾?求股之法于?自乗方積之四倍内減勾自乗方積之一倍餘三倍即為股自乗之方積是中垂線之自乗方積為勾自乗方積之三倍故将底邊折半自乗三因之即與中垂線自乗之方積等而開方得中垂線也 設如有鋭角三角形大腰一百二十二尺小腰一百一十二尺底一百五十尺求中垂線幾何 法以底一百五十尺為一率大腰一百二十二尺與小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺為二率以大腰一百二十二尺與小腰一百一十二尺相減餘十尺為三率求得四率十五尺六寸為底邊之較與底一百五十尺相減餘一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸為勾以小腰一百一十二尺為?求得股八十九尺六寸為中垂線也如圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為所求中垂線試以甲為心丙為界作一圜截甲乙大腰于庚截乙丙底于戊又将甲乙大腰引長至己作甲己線與甲丙小腰相等則己乙為兩腰之和庚乙為兩腰之較【葢甲庚與甲丙等故庚乙為兩腰之較】乙丙為底邊之和乙戊為底邉之較【葢丁丙與丁戊等故乙戊為底邉之較】今以乙丙底邉之和與乙己兩腰之和為比即同于乙庚兩腰之較與乙戊底邊之較為比為轉比例之四率【幾何原夲九卷第八節自圜外一點至圜内所作之兩線此兩全線之比例同于圜外兩叚轉相比之比例】故乙丙為一率乙己為二率乙庚為三率求得四率為乙戊既得乙戊則于乙丙底邊内減去乙戊餘戊丙折半得丁丙為勾甲丙為?求為股為甲丁中垂線也 又法以大腰一百二十二尺自乘得一萬四千八百八十四尺又以小腰一百一十二尺自乘得一萬二千五百四十四尺兩自乘數相減餘二千三百四十尺以底邊一百五十尺除之得十五尺六寸為底邊之