卷十七

甲乙邊為對所知之邊其數二十二丈五尺五寸為一率甲丙邊為對所求之邊其數十二丈為二率丙角為所知之角其外角七十度之正?九萬三千九百六十九為三率求得四率五萬為乙角正?撿表得三十度即乙角度也既得乙角度則以乙角三十度與丙角一百一十度相加得一百四十度與一百八十度相減餘四十度即甲角度也既得甲角求乙丙邊則以乙角為對所知之角其正?五萬為一率甲角為對所求之角其正?六萬四千二百七十九為二率甲丙邊為所知之邊其數十二丈為三率求得四率十五丈四尺二寸七分即乙丙為所求之邊也又法用餘割求乙角以甲丙邊十二丈為一率甲乙邊二十二丈五尺五寸為二率丙外角七十度之餘割十萬六千四百一十八為三率求得四率一十九萬九千九百七十七為乙角之餘割撿表得三十度即乙角度也如甲乙丙鈍角三角形将乙丙邊引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙兩直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲丁乙三角形之乙角之餘割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚甲庚辛與甲乙丙兩三角形為同式形故甲丙邊與甲乙邊之比同于丙外角餘割甲辛【即己丙】與乙角餘割甲庚【即戊乙】之比為相當比例四率也 設如甲乙丙鋭角三角形知甲乙邊一百二十二尺甲丙邊一百一十二尺乙丙邊一百五十尺求甲乙丙三角各幾何 法求丙角以甲丙邊一百一十二尺與乙丙邊一百五十尺相乗得一萬六千八百尺倍之得三萬三千六百尺為一率以甲丙邊一百一十二尺自乘得一萬二千五百四十四尺乙丙邊一百五十尺自乘得二萬二千五百尺以兩邊各自乘數相加得三萬五千零四十四尺又以甲乙邊一百二十二尺自乘得一萬四千八百八十四尺與兩邊各自乘相加數三萬五千零四十四尺相減餘二萬零一尺六十尺為二率半徑十萬為三率求得四率六萬為甲分角之正?即丙角之餘?撿表得五十三度零八分即丙角之度也求乙角則以甲乙邊與乙丙邊相乘得數倍之為一率以甲乙邊乙丙邊各自乘相加内減去甲丙邊自乘之數餘為二率半徑十萬為三率求得四率為甲分角之正?即乙角之餘?撿表即得乙角之度也或既得丙角用兩邊一角比例之法即得甲乙二角矣此法葢以三邊之面積互相加減使面與面比而得線與線之比也如甲乙丙三角形自甲角至乙丙邊作一甲丁垂線分為甲丁丙甲丁乙兩勾股形又作三邊之各正方複作兩邊相乘之長方其甲丙戊己為甲丙邊自乘之一正方庚辛乙甲為甲乙邊自乘之一正方乙壬癸丙為乙丙邊自乘之一正方丙癸醜子為甲丙邊與乙丙邊相乘之一長方倍之為丙癸卯寅一大長方今于甲丙戊己與乙壬癸丙兩正方相并數内減庚辛乙甲一正方則是減去辰己午甲一正方即如甲丙戊己之一正方又減去庚辛乙午己辰一磬折形即如庚辛乙甲之正方比甲丙戊己之正方所多之較其積與乙壬申未一長方等【寅之長方與未申癸甲丁丙甲丁乙兩勾股形同用一甲丁股是以甲丙?方内有甲丁一股方丁丙一勾方而甲乙?方内有甲丁一股方乙丁一勾方因兩三角形同用一股故其兩?較與兩?和相乘之數兩勾較與兩勾和相乗之數必然相等午乙即兩?之較辰己與辛乙相并即兩?之和庚辛乙午己辰磬折形即兩?較與兩?和相乗之積而乙未為兩勾之較乙丙為兩勾之和乙壬申未即兩勾較與兩勾和相乗之】所餘為未申癸丙一長方試以甲丁垂線引長則平分未申癸丙一長方為未申酉丁與丁酉癸丙二長方此二長方與丙癸醜子子醜夘寅二長方同用一邊為二平行線内所有二方面互相為比同于其底互相為比之例故丙癸夘寅之長方與未申癸丙之長方之比即同于丙寅邊與未丙邊之比也又比例之理全 與全半　　　　　　　　　　　　　　　　　　【積所以知其相等也】與半之比例相同【為甲丙邊與乙丙邊相乗又加一倍之積】故丙癸夘丙之長方【即甲丙邊乙丙邊兩正方相并内減甲乙邊一正方所餘之積】相比同于丙子邊【與甲丙邊同】與丁丙邊之比也又甲丙邊即如甲丁垂線所分丁直角之正?而甲丁垂線所分之丁丙邊即如甲分角之正?是以甲丙邊與乙丙邊相乘加倍之丙癸夘寅長方積為一率甲丙邊乙丙邊兩正方相并積内減甲乙邊一正方所餘未申癸丙長方積為二率對丁直角之正?半徑十萬為三率求得四率為甲分角之正?即丙角之餘?也 又求分邊得角法以乙丙邊為底其數一百五十尺為一率甲乙邊大腰一百二十二尺與甲丙邊小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺為二率兩邊相減餘一十尺為三率求得四率一十五尺六寸為分邊之較與乙丙邊一百五十尺相減餘一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸為丁丙分邊之數乃以甲丙邊為對所知之邊其數一百一十二尺為一率丁丙分邊為對所求之邊其數六十七尺二寸為二率丁角為所知之角其正?半徑十萬為三率求得四率六萬為甲丁丙三角形之甲角正?又即丙角之餘?撿表得五十三度零八分為丙角之度既得丙角則用兩邊一角比例之法遂得甲乙二角矣如圖以甲角為心甲丙小邊為半徑作一戊丙己庚圜截甲乙邊于庚截丙乙邊于戊将甲乙引長至圜界己則甲己與甲丙等自己至乙即兩邊之和自庚至乙即兩邊之較乙戊即乙丁丁丙兩分邊之較是故分邊之和乙丙與兩邊之和己乙之比即同于兩邊之較庚乙與分邊之較乙戊之比為轉比例四率也 又法以甲乙邊一百二十二尺乙丙邊一百五十尺甲丙邊一百一十二尺三數相加得三百八十四尺為三邊之總折半得一百九十二尺為半總以甲乙邊一百二十二尺與半總一百九十二尺相減餘七十尺為甲乙邊與半總之較以乙丙邊一百五十尺與半總一百九十二尺相減餘四十二尺為乙丙邊與半總之較以甲丙邊一百一十二尺與半總一百九十二尺相減餘八十尺為甲丙邊與半總之較乃以半總一百九十二尺為一率甲丙邊與半總之較八十尺為二率甲乙邊與半總之較七十尺與乙丙邊與半總之較四十二尺相乗得二千九百四十尺為三率求得四率一千二百二十五尺開方得三十五尺為三角形自中心至三邊之垂線先求丙角則用甲乙邊與半總之較七十尺為一率三角形自中心至三邊之垂線三十五尺為二率半徑十萬為三率求得四率五萬為丙半角之正切撿表得二十六度三十四分倍之得五十三度零八分即丙角之度也如先求乙角則用甲丙邊與半總之較八十尺為一率先求甲角則用乙丙邊與半總之較四十二尺為一率俱用三角形自中心至三邊之垂線三十五尺為二率半徑十萬為三率即各得各半角之正切焉此法葢一率二率以線與線為比三率四率以面與面為比也如甲乙丙三角形自中心丁至三邊各作一垂線又自中心丁至三角各作一分角線即成六直角三角形俱兩兩相等【辛為三邊之半總即三較之和丁己丙與丁庚丙等丁己乙與】又按甲戊度引乙丙線至【丁戊乙等丁戊甲與丁庚甲等】辛則乙【乙己與乙戊等即甲丙邊與半總之較己丙與丙庚等即甲乙之面邊與半總之較丙辛與甲戊甲庚等即乙丙邊與半總】試自辛作直角将乙丁線引長作一乙辛壬直角形則壬辛與丁己平行乙辛壬形與乙己丁形遂為同式形其乙辛與乙己之比即同于壬辛與丁己之比然乙辛一率乙己二率之數雖有而壬辛之數卻無又但知己丙與丙辛相乘之數即丁己與壬辛相乘之數故以己丙與丙辛相乘之數為三率【之較何以知己丙與丙辛相乘之數即丁己與壬辛相乘之數試作壬丙線壬癸線使丙癸與丙辛等癸角辛角皆為直角癸丙辛角與辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙己角為癸丙辛角之外角相合亦共成一百八十度是庚丙己角與辛壬癸角等庚丁己角與癸丙辛角等是以壬癸丙辛形與丙庚丁己形為同式形而丙辛壬勾股形與丁巳丙勾股形亦為同式形可互相比例矣以丁己作一率己丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是以己丙二率與丙辛三率相乘之數即與丁己一率壬辛四率相乘之數等故直以己丙丙辛相乘之數作三】其所得四率即丁己自乘之數是故乙辛與【率也】乙己之比同于丁己與壬辛相乘【即己丙與丙辛相乗之面】與丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故開方而得丁己為三角形自中心至三邊之垂線與丁戊與丁庚俱相等又即三角形容圜之半徑也 制數理蘊下編卷十七