卷十四

如圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為所求形外垂線試以甲為心丙為界作一圜截甲乙大腰于庚又将甲乙大腰引長至己作甲己線與甲丙小腰相等複将乙丙底引長至戊作乙戊線則成甲乙戊三角形其乙丙為底邉之較乙戊為底邊之和乙庚為兩腰之較乙己為兩腰之和自圜外至圜内所作兩線之比例既同于圜外兩叚轉相比之比例則圜外兩叚之比例亦必同于兩全線轉相比之比例故乙丙與乙庚之比即同于乙己與乙戊之比為比例四率既得乙戊則減乙丙餘丙戊折半得丙丁為勾甲丙為?求得股即甲丁垂線也 又法以大腰二十一尺自乘得四百四十一尺又以小腰十七尺自乘得二百八十九尺兩自乘數相減餘一百五十二尺以底十尺除之得十五尺二寸為底與形外垂線兩邊連底之總内減底十尺餘五尺二寸折半得二尺六寸為勾以小腰十七尺為?求得股十六尺八寸為形外垂線也如圖甲乙丙三角形将乙丙底引長至戊自甲作垂線至丁則丁戊與丁丙等又自甲至戊作甲戊線與甲丙小腰等則成甲丁乙甲丁戊兩勾股形甲乙甲戊皆為?乙丁丁戊皆為勾共以甲丁為股而乙丙為兩勾之較乙戊為兩勾之和前法以和求較此法以較求和其理一也圖解并同前 設如有鋭角三角形兩腰俱五尺底六尺求面積幾何 法先以底六尺折半得三尺為勾任以兩腰之一邊五尺為?求得股四尺為中垂線與底六尺相乘得二十四尺折半得一十二尺為三角面積也如圖甲乙丙三角形以乙丙底邊與甲丁中垂線相乘成戊乙丙己長方形積比三角形積正大一倍故折半得三角積也 設如有鈍角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求面積幾何 法先用求中垂線法求得中垂線八尺與底二十一尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺為三角面積也如圖甲乙丙三角形先求甲丁垂線既得甲丁垂線乃與乙丙底邊相乘成戊乙丙己長方形比三角形積正大一倍故折半得三角積也 又法以甲乙邊十七尺乙丙邊二十一尺甲丙邊十尺三數相加得四十八尺為三邊之總折半得二十四尺為半總以甲乙邊十七尺與半總二十四尺相減餘七尺為甲乙邊與半總之較以乙丙邊二十一尺與半總二十四尺相減餘三尺為乙丙邊與半總之較以甲丙邊十尺與半總二十四尺相減餘十四尺為甲丙邊與半總之較乃以半總二十四尺為一率甲丙邊與半總之較十四尺為二率乙丙邊與半總之較三尺與甲乙邊與半總之較七尺相乘得二十一尺為三率求得四率十二尺二十五寸開方得三尺五寸為三角形自中心至三邊之垂線與三邊之總四十八尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形之面積或以所得垂線三尺五寸與半總二十四尺相乘亦得八十四尺為三角形之面積也此法葢一率二率以線與線為比三率四率以面與面為比也如甲乙丙三角形自中心丁至三邊各作一垂線又自中心丁至三角各作一分角線即成六直角三角形俱兩兩相等【丁巳丙與丁庚丙等丁巳乙與丁戊乙等丁戊甲與丁庚甲等】又按甲戊度引乙丙線至辛則乙辛為三邊之半總即三較之和【乙巳與乙戊等即甲丙邊與半總之較巳丙與丙庚等即甲乙邊與半總之較丙辛與甲戊甲庚等即乙丙邊與半總之較】試自辛作直角将乙丁線引長作一乙辛壬直角形則壬辛與丁巳平行乙辛壬形與乙巳丁形遂為同式形其乙辛與乙巳之比即同于壬辛與丁巳之