卷十四

比然乙辛一率乙巳二率之數雖有而壬辛之數卻無又但知巳丙與丙辛相乘之數即丁巳與壬辛相乘之數故以巳丙與丙辛相乘之數為三率【何以知巳丙與丙辛相乘之數即丁巳與壬辛相乘之數試作壬丙線壬癸線使丙癸與丙辛等癸角辛角皆為直角癸丙辛角與辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙巳角為癸丙辛角之外角相合亦共成一百八十度是庚丙巳角與辛壬癸角等庚丁巳角與癸丙辛角等是以壬癸丙辛形與丙庚丁巳形為同式形而丙辛壬勾股形與丁己丙勾股形亦為同式形可互相比例矣以丁己作一率巳丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是以巳丙二率與丙辛三率相乘之數即與丁巳一率與壬辛四率相乘之數等故直以己丙丙辛相乘之數作三率也】其所得四率即丁己自乘之數是故乙辛與乙巳之比同于丁己與壬辛相乘之面【即己丙與丙辛相乘之面】與丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故開方而得丁巳為三角形自中心至三邊之垂線與丁戊丁庚俱相等又即三角形容圜之半徑也既得自中心至三邊之垂線則用垂線與三邊之總相乘所得一長方積【即如用垂線與三邊各相乘所得三長方積合為一長方】比三角形積大一倍故折半而得三角形之面積如以垂線與半總相乘即與三角形積等而不用折半矣 設如有鋭角三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺求内容正方邊幾何 法先用求中垂線法求得中垂線十二尺與底邊四十四尺相加得五十六尺為一率中垂線十二尺為二率底邊四十四尺為三率推得四率九尺四寸二分八厘五毫有餘即三角形内所容正方之一邊也如圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為所得中垂線戊己庚辛為今所求内容正方形試依甲丁中垂線度将乙丙線引長作乙癸線為五十六尺又與甲丙線平行作壬癸線又将甲乙線引長作壬乙線則成與甲乙丙同式之壬乙癸三角形複與底線平行作甲子線與丙癸等即與甲丁垂線等又與甲丁平行作子醜線與甲丁等則甲丁垂線所作甲丁醜子正方形即為壬乙癸三角形内所容之正方形矣故壬乙癸三角形之乙癸底與甲丁方邊之比即同于甲乙丙三角形之乙丙底與戊巳方邊之比故中垂線與底邊相加為一率中垂線為二率底邉為三率推得四率為内容正方之一邊也 設如等邊三角形每邊一尺二寸求内容圜徑幾何法先用求中垂線法求得中垂線一尺零三分九厘二毫有餘以三歸之得三寸四分六厘四毫有餘即内容圜形半徑倍之得六寸九分二厘八毫有餘即内容圜形全徑也如圖甲乙丙三角形内容丁圜形先求得甲戊中垂線又自丙角至甲乙線界作丙巳垂線與甲戊中垂線相交于丁即三角形之中心亦即内容圜形之中心故丁戊與丁己即内容圜形之半徑又甲戊乙甲巳丁兩勾股形為同式形甲乙為乙戊之二倍則甲丁亦必為丁巳或丁戊之二倍丁戊既為内容圜形之半徑則甲丁即為内容圜形之全徑而甲戊中垂線必為丁戊半徑之三倍矣故求得甲戊中垂線以三歸之得丁戊即内容圜形之半徑倍之得庚戊即内容圜形之全徑也 設如等邊三角形每邊一尺二寸求外切圜徑幾何法先用求中垂線法求得中垂線一尺零三分九厘二毫有餘三歸四因得一尺三寸八分五厘六毫有餘即外切圜形全徑也如圖甲乙丙三角形外切丁圜形先求得甲戊中垂線又自丙角至甲乙線界作丙己垂線與甲戊中垂線相交于丁即