卷十三

乗之方内容四勾股積一勾股較自乗方積今減去四勾股積餘辛壬癸子為勾股較自乗之一正方而巳醜丙寅亦為勾股較自乗之一正方再戊乙醜巳與庚己寅丁又為勾股較與?相乗之二長方折半則餘戊乙醜己一長方己醜丙寅一正方其戊寅長即?與勾股較之和其戊乙闊即勾股較故以?與勾股較之和除之而得勾股較也 設如有勾股積六十尺?與勾股較之較十尺求勾股?各幾何 法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺又以?與勾股較之較十尺自乗得一百尺兩數相減餘一百四十尺折半得七十尺以?與勾股較之較十尺除之得七尺為勾股較與?與勾股較之較十尺相加得十七尺為?用有?有勾股較求勾股法算之得勾八尺股十五尺如圖甲乙丙丁為?自乗之一大正方内丁戊己庚為勾股較自乗之一正方辛乙壬己為?與勾股較之較自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股較與?與勾股較之較相乗之二長方葢?自乗方内容四勾股積一勾股較自乗方積今丁戊己庚既為勾股較自乗之方若于甲乙丙丁?自乗方内減之則所餘甲乙丙庚巳戊磬折形即與四勾股積相等又于四勾股積相等之甲乙丙庚己戊磬折形内減辛乙壬己?與勾股較之較自乗之方則尚餘甲辛己戊己壬丙庚二長方折半則得巳壬丙庚一長方其己壬長即?與勾股較之較其己庚闊即勾股較故以?與勾股較之較除之而得勾股較也 正勾股比例 設如有正勾股知勾十二尺求股與?各幾何法以正勾股定分之勾三分為一率股四分為二率今所設之勾一十二尺為三率推得四率十六尺為股仍以勾三分為一率?五分為二率今所設之勾十二尺為三率推得四率二十尺為?也葢大小兩同式形其相當各界互相比之比例俱為相當比例四率【見幾何原夲八卷第三節】故正勾股定分之勾三與股四之比即同于今所設之勾十二與股十六之比又正勾股定分之勾三與?五之比亦同于今所設之勾十二與?二十之比也 又防法以勾十二尺用正勾股定分之勾三分除之得四尺即知今所設之勾股形為加四倍之比例乃以正勾股定分之股四分?五分各加四倍即得所求之股?之各數矣 設如有正勾股知勾股和六十三尺求勾股?各幾何 法以正勾股定分之勾三分股四分相并得七分為一率勾三分為二率今所設之勾股和六十三尺為三率推得四率二十七尺為勾若以股四分為二率即得四率三十六尺為股若以?五分為二率即得四率四十五尺為?也葢正勾股定分之勾股和七尺與勾三股四?五各相為比即同于今所設之勾股和六十三尺與勾二十七尺股三十六尺?四十五尺各相比之比例也又防法以勾股和六十三尺用正勾股定分之勾三股四相和之七分除之得九尺即知今所設之勾股形為加九倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四?五各加九倍即得所求之各數也 設如有正勾股知勾股?總和六十尺求勾股?各幾何 法以正勾股定分之勾三分股四分?五分相并共得十二分為一率勾三分為二率今所設之勾股?總和六十尺為三率推得四率十五尺為勾若以股四分為二率即得四率二十尺為股若以?五分為二率即得四率二十五尺為?也 又防法以勾股?總和六十尺用正勾股定分之勾三股四?五相并之十二分除之得五尺即知今所設之勾股形為加五倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四?五各加五倍即得所求之各數也 設如有正勾股勾九尺股十二尺求内容方邉幾何法以股十二尺七歸三因得五尺一寸四分二厘八毫有餘或以勾九尺七歸四因亦得五尺一寸四分二厘八毫有餘為内容方邉也葢勾三分股四分者則以勾股和七分為一率勾三分為二率股四分為三率推得四率為内容方邉是内容方邉得股七分之三得勾七分之四也今九尺與十二尺之比仍同于三分與四分之比故以其分數相求得内容方邊仍為比例四率也 設如有正勾股勾九尺股十二尺求内容圜徑幾何法以股十二尺折半得六尺或以勾九尺取其三分之二亦得六尺即為内容圜徑也葢勾三分股四分?五分者則于勾股和七分内減?五分餘二分為内容圜徑【見勾股容圜第二法】是内容圜徑得股四分之二得勾三分之二也今九尺與十二尺之比同于三分與四分之比故十二尺與六尺之比仍同于四與二之比而九尺與六尺之比亦仍同于三與二之比也 設如有正勾股知勾股和二十一尺求内容方邊幾何 法以正勾股定分比例得勾九尺股十二尺以勾九尺七歸四因或以股十二尺七歸三因得五尺一寸四分二厘八毫有餘即内容方邊也葢内容方邊得勾七分之四得股七分之三【圜徑見】故必先比例得勾數或股數複比例得内容方邊也 設如有正勾股知勾股和二十一尺求内容圜徑幾何 法以正勾股定分之勾三分股四分相加之七分為一率内容圜徑二分為二率今所設之勾股和二十一尺為三率推得四率六尺即内容圜徑也葢勾三 分　　　　　　　　　　【前法】股四分?五分者其内容圜徑為【見前法】二分故勾股和之七分與内容二分之比即同于今所設之勾股和之二十一尺與内容圜徑六尺之比也總之正勾股形知一數即得所求之各數要先以勾三股四?五求得所知之定分及所求之定分【如勾股較則以勾三分與股四分相減餘一分又如?與勾股較之和則以勾股較一分與?五分相加得六分之類】乃以所知之定分與所求之定分之比即同于今所知之數與今所求之數之比也 設如有正勾股面積九十六尺求勾股?各幾何法以正勾股定分之面積六分為一率勾三分自乗得九分為二率今所設之勾股積九十六尺為三率推得四率一百四十四尺為勾自乗之方開方得十二尺為勾如以正勾股定分之股四分自乗為二率則得今所設之股自乗之方如以正勾股定分之?五分自乗為二率則得今所設之?自乗之方各開方而即得各數矣或得勾而以正勾股定分之勾股?各比例之亦可葢同式兩勾股形其面積互相為比即同于勾股形各相當界所作正方形互相為比【見幾何原夲八卷第四節】故以正勾股定分之面積六尺與勾股?各方之比即同于今所設之面積九十六尺與勾股?各方之比也 又防法以面積九十六尺用正勾股定分之面積六尺除之得十六尺開方得四尺即知今所設之勾股?為各加四倍之比例乃以正勾股定分之各數各加四倍即得各數葢兩直角方面形其兩方面之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例【見幾何原夲七卷第五節今勾股為長方之半正方與正方為比長方與長方為比其比例相同并見第六節】故積大十六倍者界必大四倍既知其大四倍則以正勾股之定分各加四倍即得矣 設如有正勾股知勾自乗股自乗?自乗共積四百五十尺求勾股?各幾何 法以共積四百五十尺折半得二百二十五尺為?自乗方積開方得一十五尺為?既得?則以勾股?之定分比例之得九尺為勾得十二尺為股也如用面積為比例則以?五分自乗之二十五分為一率勾三分自乗之九分為二率今所得之?自乗方二百二十五尺為三率求得四率八十一尺為勾自乗方積開方得九尺為勾若以股四分自乗之十六分為二率則得四率一百四十四尺為股自乗方積開方得十二尺為股也葢?自乗之一方既與勾自乗股自乗之二方等則勾自乗股自乗?自乗之三方必與?自乗之二方等故折半即得?自乗之一方而開方得?也 禦制數理精蘊下編卷十三