卷十一

得一千零五十尺書于原積之下相減餘二百零四尺為次商廉隅之共積乃以初商三十尺倍之得六十尺加縱多五尺得六十五尺為廉法以除二百零四尺足三尺則以三尺書于原積四尺之上而以廉法六十五尺加隅法三尺得六十八尺為廉隅共法以次商三尺乗之得二百零四尺書于餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得三十三尺加縱多五尺得三十八尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積一千二百五十四尺其甲乙邊長三十八尺甲丁邊闊三十三尺其甲乙長比甲丁闊所多之甲辛即縱多之數其甲戊己庚長方形容積一千零五十尺即初商所減之積其辛壬與辛戊俱三十尺即初商數其甲戊三十五尺即初商加縱多之數其戊乙醜己壬己子癸兩長方為兩方廉庚壬癸丁小長方為縱廉方廉有二縱廉止一故倍初商加縱多數為廉法其己醜丙子為隅其長闊皆與次商等故以次商為隅法合兩方廉一縱廉一小隅成一磬折形環附初商長方之兩傍成一大長方與平方之理無異若次商仍減積不盡則又為兩方廉一縱廉一小隅複成一磬折形得三商四商以至多商皆依此法遞析開之 又法以積一千二百五十四尺用四因之得五千零一十六尺而以縱多五尺自乗得二十五尺加入四因之數得五千零四十一尺開方得七十一尺即為長闊相和之數乃以縱多五尺與長闊之和七十一尺相加得七十六尺折半得三十八尺即長方之長減縱多五尺即長方之闊也 又法先将縱多五尺折半得二尺五寸為半較自乗得六尺二十五寸與原積一千二百五十四尺相加得一千二百六十尺二十五寸開方得三十五尺五寸為半和于半和減半較得三十三尺為闊于半和加半較得三十八尺為長也 設如有長方面積一十八萬一千四百六十丈縱多八丈問長闊各幾何 法列積如開平方法商之其一十八萬丈為初商積可商四百丈乃以四百丈書于原積八萬丈之上而以初商四百丈加縱多八丈得四百零八丈以初商四百丈乗之得一十六萬三千二百丈書于原積之下相減餘一萬八千二百六十丈為次商廉隅之共積乃以初商四百丈倍之得八百丈加縱多八丈得八百零八丈為防法以除一萬八千二百六十丈足二十丈則以二十丈書于原積四百丈之上而以廉法八百零八丈加隅法二十丈得八百二十八丈為廉隅共法以次商二十丈乗之得一萬六千五百六十丈書于餘積之下與餘積相減餘一千七百丈為三商廉隅之共積乃以初商次商之二百四十丈俱倍之得八百四十丈加縱多八丈得八百四十八丈為廉法以除一千七百丈足二丈則以二丈書于原積空丈之上而以廉法八百四十八丈加隅法二丈得八百五十丈為廉隅共法以三商二丈乗之得一千七百丈書于餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得四百二十二丈加縱多八丈得四百三十丈即為長方之長也 又法以縱多八丈折半得四丈為半較自乗得十六丈與原積一十八萬一千四百六十丈相加得一十八萬一千四百七十六丈開方得四百二十六丈為半和于半和減半較得四百二十二丈為闊于半和加半較得四百三十丈為長也 設如有長方面積四萬五千二百九十六尺縱多一百四十六尺問長闊各幾何 法列積如開平方法商之其四萬尺為初商積可商二百尺加縱多一百四十六尺得三百四十六尺以所商二百尺乗之得六萬九千二百尺大于原積是初商不可商二百尺也乃改商一百尺書于原積四萬尺之上而以所商一百尺加縱多一百四十六尺得二百四十六尺以初商一百尺乗之得二萬四千六百尺書于原積之下相減餘二萬零六百九十六尺為次商廉隅之共積乃以初商一百尺倍之得二百尺加縱多一百四十六尺得三百四十六尺為廉法以除二萬零六百九十六尺足五十尺則以五十尺書于原積二百尺之上而以廉法三百四十六尺加隅法五十尺得三百九十六尺為廉隅共法以次商五十尺乗之得一萬九千八百尺書于餘積之下與餘積相減餘八百九十六尺為三商廉隅之共積乃以初商次商之一百五十尺倍之得三百尺加縱多一百四十六尺得四百四十六尺為廉法以除八百九十六尺足二尺則以二尺書于原積六尺之上而以廉法四百四十六尺加隅法二尺得四百四十八尺為廉隅共法以三商二尺乗之得八百九十六尺書于餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得一百五十二尺加縱多一百四十六尺得二百九十八尺即為長方之長也此法原積初商應得二百尺因加縱多相乗得數大于原積故改商一百尺始合凡開帶縱方遇此類者皆依此例推之 又法加縱多一百四十六尺折半得七十三尺為半較自乗得五千三百二十九尺與原積四萬五千二百九十六尺相加得五萬零六百二十五尺開方得二百二十五尺為半和于半和減半較得一百五十二尺為闊于半和加半較得二百九十八尺為長也 設如有長方面積一萬六千一百二十八尺縱多七十二尺問長闊各幾何 法列積如開平方法商之其一萬為初商積可商一百尺加縱多七十二尺得一百七十二尺以初商一百尺乗之得一萬七千二百尺大于原積是初商不可商一百尺也乃改商九十尺書于原積一百尺之上而以所商九十尺加縱多七十二尺得一百六十二尺以所商九十尺乗之得一萬四千五百八十尺書于原積之下相減餘一千五百四十八尺為次商廉隅之共積乃以初商九十尺倍之得一百八十尺加縱多七十二尺得二百五十二尺為廉法以除一千五百四十八尺足六尺則以六尺書于原積八尺之上而以廉法二百五十二尺加隅法六尺得二百五十八尺為廉隅共法以次商六尺乗之得一千五百四十八尺書于餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊為九十六尺加縱多七十二尺得一百六十八尺即長方之長也此法原積初商應得一百尺因加縱多相乗得數大于原積故改商九十尺而原積一萬尺之上應開百位者空其位而不計也或縱多太大過于初商所得之數則用四因積數之法或用縱多折半之法設例在後 設如有長方面積三萬四千五百六十九尺縱多三千八百三十二尺問長闊各幾何 法列積如開平方法商之其三萬尺為初商積應商一百尺而縱多數為三千轉大如初商數凡遇此類則用四因積數加較自乗開方法之或用半較自乗加于原積開方之法為明白簡易也故以縱多三千八百三十二尺折半得一千九百一十六尺為半較自乗得三百六十七萬一千零五十六尺與原積三萬四千五百六十九尺相加得三百七十萬五千六百二十五尺開方得一千九百二十五尺為半和于半和減半較得九尺為闊于半和加半較得三千八百四十一尺為長也 設如有月台一座共用方甎一千九百二十塊其長比闊多八塊問長闊兩面各用甎幾何 法以長比闊多八塊折半得四塊為半較自乗得十六塊與積數一千九百二十塊相加得一千九百三十六塊開方得四十四塊為半和于半和四十四塊減半較得四十塊為闊面甎數于半和加半較得四十八塊為長面甎數也 設如有銀三百六十兩賞人其人數比每人所得銀數為五分之二問人數及每人所得銀數各幾何法先用比例分其總銀數以五分為一率二分為二率三百六十兩為三率得四率一百四十四兩開方得十二為人數以人數除共銀數三百六十兩得三十兩為每人所得之銀數也此法以人數為闊其每人所得銀數為長成一長方形人數既居銀數之五分之二是闊為二分長為五分也今将其共銀分作五分而取其二分即人數與所得銀數相等而成正方形矣故開方而得人數也 設如有長方面積八尺長闊相和六尺問長闊各幾何 法列積如開平方法商之積八尺止可商二尺乃以二尺書于原積八尺之上而以所商二尺與和數六尺相減餘四尺以所商二尺乗之得八尺書于原積之下相減恰盡即知長方之闊得二尺與和六尺相減得四尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺其甲乙邊長四尺甲丁邊闊二尺其甲丁與甲乙相并得六尺即長闊之和初商所得二尺即甲戊己丁正方之每一邊葢兩邊俱止一位故以初商所得為一邊于長闊和内減去初商所餘即又一邊是以兩邊相乗而與原積相等也此法比較數為問者在加減之異其以較數為問者以所商之數與較數相加此以和數為問者則以所商之數與和數相減也 又法以積八尺用四因之得三十二尺而以和數六尺自乗得三十六尺減去四因之數餘四尺開方得二尺即為長闊相較之數乃以較數二尺與和數六尺相加得八尺折半得四尺即長方之長減較二尺得二尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁