卷十一

醜壬四長方形廻環相湊成一空心正方式較之和數六尺自乗之甲戊辛子正方形所少者止正中之一小正方形故相減即餘醜丙庚癸之一小正方形其醜丙類每一邊即長闊之較故開方得長闊之較既得較加于和數是為倍長故折半而得長長減較而得闊也此法比較數為問者亦在加減之異其以較為問者用較自乗與四因數相加開方而得和此以和為問者用和自乗與四因數相減開方而得較也 又法先将和數六尺折半得三尺為半和自乗得九尺與原積八尺相減得一尺平方開之仍得一尺為半較于半和減半較得二尺為闊于半和加半較得四尺為長如圖甲乙丙丁長方形甲乙為闊甲丁為長甲壬為長闊和【丁壬與丁丙闊等】折半為甲庚半和将甲乙丙丁長方内之庚辛丙丁移于乙醜癸己則成甲醜癸己辛庚一磬折形與甲庚半和自乗之甲醜子庚正方形相減餘己癸子辛一小正方形即半較自乗之方故開方而得半較也故甲醜之半和減乙醜之半較得甲乙之闊于甲庚之半和加庚丁之半較得甲丁之長也又圖甲乙丙丁長方形容積八尺甲壬為長闊之和甲庚己庚庚壬皆半和甲丁長減等甲乙闊之甲戊餘戊丁為長闊之較其庚丁則為半較而甲丁己丁丁壬又為連比例之三線故己丁中率自乗之方與甲丁首率丁壬末率相乗之長方等【見幾何原本九卷第三節】則是己丁自乗之方與原設甲乙丙丁長方之積等也又己庚丁為勾股形其己丁邊自乗之方與丁庚邊自乗之方相并而與己庚自乗之方等【見幾何原本九卷第四節】故于己庚半和自乗方内減去與原設甲乙丙丁長方積相等之己丁自乗之數開方而得庚丁為半較于己庚相等之庚壬半和内減庚丁半較而得丁壬與丁丙等之闊又于己庚相等之甲庚半和加庚丁半較而得甲丁之長也 設如有長方面積八百六十四尺長闊相和六十尺問長闊各幾何 法列積如開平方法商之其八百尺為初商積可商二十尺乃以二十尺書于原積八百尺之上而以初商二十尺與和數六十尺相減得四十尺以初商二十尺乗之得八百尺書于原積之下相減餘六十四尺為次商廉隅之共積乃以初商二十尺倍之得四十尺與和數六十尺相減餘二十尺為廉法以除六十四尺足三尺因廉法内尚要減去商數為法故取大數為四尺則以四尺書于原積四尺之上而以廉法二十尺與次商四尺相減得十六尺以次商四尺乗之得六十四尺書于餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得二十四尺與和六十尺相減餘三十六尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積八百六十四尺其甲乙邊闊二十四尺甲丁邊長三十六尺甲戊為長闊和六十尺其丁戊與甲乙等甲子二十尺為初商數與辛戊等甲辛四十尺則和内減去初商之數兩數相乗成甲子己辛長方形即初商所減之積也丁戊既與甲乙等辛戊又與甲子等則丁辛與子乙等丁庚己辛小長方積與庚醜壬丙長方積等是則次商廉隅之共積即子乙壬醜之積也次于甲戊和内減倍初商數四十尺如寅戊餘甲寅二十尺與子癸等為廉法子乙者為次商數也子乙與醜癸等則于子癸廉法内減醜癸餘子醜與次商子乙相乗得子乙壬醜小長方即次商所減之積故減原積恰盡也以初商甲子二十尺合次商子乙四尺得甲乙二十四尺為闊于甲戊長闊和六十尺内減與甲乙相等之丁戊闊二十四尺得甲丁三十六尺為長也三商以後皆仿此遞析開之 又法以積八百六十四尺用四因之得三千四百五十六尺而以和六十尺自乗得三千六百尺減去四因之數餘一百四十四尺開方得一十二尺即為長闊之較乃以較十二尺與和六十尺相加得七十二尺折半得三十六尺即長方之長減較十二尺得二十四尺即長方之闊也 又法先将和數六十尺折半得三十尺為半和自乗得九百尺與原積八百六十四尺相減得三十六尺開方得六尺為半較于半和減半較得二十四尺為闊于半和加半較得三十六尺為長也 設如有長方面積一萬九千三百一十二尺長闊相和二百七十八尺問長闊各幾何 法列積如開平方法商之其一萬尺為初商積可商一百尺乃以一百尺書于原積一萬尺之上而以初商一百尺與和數二百七十八尺相減得一百七十八尺以初商一百尺乗之得一萬七千八百尺書于原積之下相減餘一千五百一十二尺為次商廉隅之共積乃以初商一百尺倍之得二百尺與和數相減得七十八尺為廉法以除一千五百一十二尺止足一十尺因廉法内尚要減去商數為法故取大數為三十尺則以三十尺書于原積三百尺之上而以廉法七十八尺與次商三十尺相減得四十八尺以次商三十尺乗之得一千四百四十尺書與餘積之下與餘積相減餘七十二尺為三商廉隅之共積乃以初商次商之一百三十尺倍之得二百六十尺與和數二百七十八尺相減餘十八尺為廉法以除七十二尺止足四尺亦因取大于足除之數故定為六尺則以六尺書于原積二尺之上而以廉法十八尺與三商六尺相減得十二尺以三商六尺乗之得七十二尺書于餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得一百三十六尺與和二百七十八尺相減餘一百四十二尺即為長方之長也此法次商三商皆取大于足除之數反覆商除始能相符不若四因積數減和自乗開方之法或半和自乗減原積開方之法為整齊也法以一萬九千三百一十二尺用四因之得七萬七千二百四十八尺而以和二百七十八尺自乗得七萬七千二百八十四尺減去四因之數餘三十六尺開方得六尺即為長闊之較乃以較六尺與和二百七十八尺相加得二百八十四尺折半得一百四十二尺即長方之長減較六尺得一百三十六尺即長方之闊也 設如有長方面積六萬九千三百六十尺長闊相和七百八十二尺問長闊各幾何 法列積如開平方法商之其六萬為初商積可除二百尺而以二百尺與和數七百八十二尺相減得五百八十二尺以初商二百尺乗之得十一萬六千四百尺大于積數乃改商一百尺書于原積六萬尺之上而以所商一百尺與和數七百八十二尺相減得六百八十二尺以初商一百尺乗之得六萬八千二百尺書于原積之下相減餘一千一百六十尺為次商廉隅之共積乃以初商一百尺倍之得二百尺與和數七百八十二尺相減得五百八十二尺為廉法以除一千一百六十尺止足二尺爰書空位于原積三百尺之上而以二尺書于原積空尺之上而以廉法五百八十二尺與三商二尺相減得五百八十尺以三商二尺乗之得一千一百六十尺書于原積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得一百零二尺與和七百八十二尺相減餘六百八十尺即為長方之長也此法初商應商二百尺因減縱相乗得數轉大于原積故改商一百尺凡遇此類不若用四因積數之法與半和自乗之法算之法以和數七百八十二尺折半得三百九十一尺自乗得一十五萬二千八百八十一尺與原積六萬九千三百六十尺相減餘八萬三千五百二十一尺開方得二百八十九尺為半較于半和減半較得一百零二尺為闊于半和加半較得六百八十尺為長也 設如有錢四千七百六十文買果樹不知數但知樹之共數與每株之價相加得一百七十四問樹數及價各幾何 法以共數一百七十四折半得八十七為半和自乗得七千五百六十九與共錢四千七百六十文相減餘二千八百零九開方得五十三為半較于半和減半較餘三十四為樹數于半和加半較得一百四十為樹價也此法以樹數為闊樹價為長成一長方形其樹數與樹價相加即如長闊之和故以半和自乗減積開方得半較既得半較以減半和為樹數加半和為樹價也 設如有法書一卷共一千一百五十九字其行數與每行字數相加共八十問行數及字數各幾何法以和數八十折半得四十為半和自乗得一千六百與共字一千一百五十九相減餘四百四十一開方得二十一為半較于半和加半較得六十一為行數于半和減半較餘十九為每行字數也 設如有五百八十八人用船均載其船數與每船所載人數相加比船數多四分之三問船數與每船所載人數各幾何 法先用比例分其積以三分為一率一分為二率五百八十八人為三率得四率一百九十六人用開平方法開之得十四為船數以三因之得四十二為每船所載之人數也此以船數為闊每船所載人數為長成一長方形船數與人數相加即如長闊之和和數既比船數多四分之三則是和數為四分每船所載人數為三分船數為一分即闊為一分長為三分也故将共人數三分之而取其一則人數與船數同為一分而成正方形矣故平方開之即得船數每船所載人數既為船數之三倍故三因之為所載人數也 禦制數理精蘊下編卷十一