卷十一

九十六塊為方積于六塊上定單位空百塊上定十位其四千塊為初商積以初商本位計之則空百塊為初商積之單位而四千塊為四十與六自乗之數相準即定初商為六書于方積空百塊之上而以六自乗之三十六書于初商積之下相減餘四百塊爰以餘積九十六塊續書于下共四百九十六塊為次商廉隅之共積而以初商六作六十倍之得一百二十為廉法以除四百九十六足四倍即定次商為四書于方積六塊之上而以次商四為隅法與廉法一百二十相加共得一百二十四為廉隅共法書于餘積之左以次商四乗之得四百九十六與餘積相減恰盡是開得六十四塊為方台上面每一邊之甎數也 設如有三百六十一人用船分載其每船所載人數與共船數相等問共船幾何 法列三百六十一人為方積于一人上定單位三百人上定十位其三百人為初商積以初商本位計之則三百為初商積之單位止與一自乗之數相準即定初商為一書于方積三百之上而以一自乗之一書于初商積之下相減餘二百爰以餘積六十一續書于下共二百六十一為次商廉隅之共積而以初商一作一十倍之得二十為廉法以除二百六十一足九倍即定次商為九書于方積一人之上而以次商九為隅法與廉法二十相加共得二十九為防隅共法書于餘積之左以次商九乗之得二百六十一與餘積相減恰盡是開得十九為共船數而每船載十九人也 設如有銀七百八十四兩散給夫匠其每人所得銀數與其人數相等問共人數幾何 法列七百八十四兩為方積于四兩上定單位七百兩上定十位其七百兩為初商積以初商本位計之則七百為初商積之單位止與二自乗之數相準即定初商為二書于方積七百之上而以二自乗之四書于初商積之下相減餘三百爰以餘積八十四續書于下共三百八十四為次商廉隅之共積而以初商二作二十倍之得四十為廉法以除三百八十四足八倍即定次商為八書于方積四兩之上而以次商八為隅法與防法四十相加共得四十八為防隅共法書于餘積之左以次商八乗之得三百八十四與餘積相減恰盡是開得二十八為共人數而每人得銀二十八兩也 設如用船運糧六千五百六十一石欲取一船别用将此船米分載各船每船領去一石其本船尚餘一石問共船幾何 法列米六千五百六十一石為方積于一石上定單位五百石上定十位其六千五百石為初商積以初商本位計之則五百石為初商積之單位而六千五百為六十五與八自乗之數相準即定初商為八書于方積五百之上而以八自乗之六十四書于初商積之下相減餘一百爰以餘積六十一續書于下共一百六十一為次商廉隅之共積而以初商八作八十倍之得一百六十為廉法以除一百六十一足一倍即定次商為一書于方積一石之上而以次商一為隅法與廉法一百六十相加共得一百六十一為廉隅共法書于餘積之左以次商一乗之仍得一百六十一與餘積相減恰盡是開得八十一為共船數而每船載米八十一石也此法葢因一船所載之米分與各船毎船各領一石即共去八十石故本船尚餘一石也 設如有錢一萬五千六百二十五文買瓜每瓜一個與腳錢一文因無現錢将一瓜準作腳錢問瓜數幾何 法列錢一萬五千六百二十五為方積于五文上定單位六百上定十位一萬上定百位其一萬為初商積以初商本位計之則一萬為初商積之單位止與一自乗之數相合即定初商為一書于方積一萬之上而以一自乗之一書于初商積之下相減無餘爰以第二位積五千六百續書于下為次商防隅之共積以次商本位計之則六百為次商積之單位而五千六百為五十六而初商之一即為一十故以初商之一作一十倍之得二十為廉法以除五十六足二倍即定次商為二書于方積六百之上而以次商二為隅法與防法二十相加共得二十二為防隅共法書于餘積之左以次商二乗之得四十四與次商廉隅共積相減餘一千二百複以末位積二十五續書于下共一千二百二十五為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十為防法以除一千二百二十五足五倍即定三商為五書于方積五文之上而以三商五為隅法與防法二百四十相加共得二百四十五為防隅共法書于餘積之左以三商五乗之得一千二百二十五與餘積相減恰盡是開得一百二十五為共瓜之數亦即每瓜之價也此法因每瓜應給腳錢一文今以一瓜準之即知一瓜之價與瓜之共數相等故以開方法算之而得也 帶縱平方 帶縱平方者兩等邊直角長方面積也有積數因長比闊之較或長與闊之和而得邊故曰帶縱葢正方之縱橫皆同故止有積即可得其邊若長方則縱橫不等知其積又必知其縱橫相差之較或縱橫相并之和始能得其邊故以長闊之較為問者則皆較為帶縱加所開之數商除之而得闊或四因積數加較自乗平方開之即長闊之和和加較半之而得長和減較半之而得闊或半較自乗加原積而開平方即得半和加半較而得長減半較而得闊如以長闊之和為問者則用和為帶縱減去所開之數商除之而得闊或四因積數減和自乗平方開之即長闊之較較減和半之而得闊較加和半之而得長或半和自乗減原積而開平方即得半較加半和而得長減半和而得闊夫用半較半和之法與四因積數之法同出一理葢四因積數加全較自乗故開方而得全和半較自乗加原積故開方而得半和四因積數減全和自乗故開方而得全較半和自乗減原積故開方而得半較此即面與線之比例面加四倍而邊加一倍邊得其半而積為四分之一也法雖不一要之皆使歸于正方以求其和較是則雖曰帶縱仍不外乎平方之理也 設如有長方面積八尺縱多二尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之積八尺止可商二尺乃以二尺書于原積八尺之上而以所商二尺加縱多二尺得四尺以所商二尺乗之得八尺書于原積之下相減恰盡即知長方之闊得二尺加入縱多二尺得四尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺其甲乙邊長四尺甲丁邊闊二尺其甲乙長比甲丁闊所多戊乙即縱多之數初商所得二尺即甲戊己丁正方之每一邊葢因此法長闊兩邊俱止一位而積亦止一位故初商所得即為一邊而加入縱多即又一邊是以兩邊相乗而與原積相等也 又法以積八尺用四因之得三十二尺而以縱多二尺自乗得四尺加八四因之數得三十六尺開方得六尺即為長闊相和之數乃以縱多二尺與長闊之和六尺相加得八尺折半得四尺即長方之長減縱多二尺得二尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁醜壬四長方形廻環相湊成一空心正方式再加入縱多二尺自乗之醜丙庚癸之一小正方形即成甲戊辛子之一大正方形其甲戊類每一邊即長闊之和故開方得長闊之和既得和加縱多是為倍長故折半而得長減縱多則為倍闊故折半而得闊或得長而減縱多亦得闊也 又法先将縱多二尺折半得一尺為半較自乗仍得一尺與原積八尺相加得九尺平方開之得三尺為半和于半和減半較得二尺為闊于半和加半較得四尺為長如圖甲乙丙丁長方形甲乙為長甲丁為闊戊乙為縱多之較将較折半于庚而移庚乙丙辛置于丁己癸壬再加己辛子癸半較自乗之方則成甲庚子壬一正方形故開方而得甲庚甲壬之邊皆為半和也于甲壬之半和減丁壬之半較得甲丁之闊于甲庚之半和加庚乙之半較得甲乙之長也又圖甲乙丙丁長方形容積八尺将甲丁邊引長作丁辛與丁丙等則甲辛為長闊之和又如甲乙邊截甲丁于庚則庚丁為長闊之較甲辛和折半于己而庚丁較亦折半于己故以己為心甲為界作一半圜而引丙丁邊至戊界作一戊丁直線戊巳輻線則甲巳戊己巳辛皆為半和而庚己己丁皆為半較且甲丁戊丁丁辛又為連比例之三線矣其戊丁中率自乗之方與甲丁首率丁辛末率相乗之長方等【見幾何原本九卷第三節】則是戊丁自乗之方與原設甲乙丙丁長方之積等也又戊丁巳為勾股形其戊丁邊自乗之方與己丁邊自乗之方相并而與戊巳自乗之方等【見幾何原本九卷第四節】故與原設甲乙丙丁長方積等之戊丁自乗之方加以己丁半較自乗之數開方而得戊巳為半和于戊巳相等之己辛半和減己丁半較而得丁辛與丁丙等之闊又與戊巳相等之甲巳半和加己丁半較而得甲丁之長也 設如有長方面積一千二百五十四尺縱多五尺問長闊各幾何 法列積如開平方法商之其一千二百為初商積可商三十尺乃以三十尺書于原積二十尺之上而以初商三十尺加縱多五尺得三十五尺以初商三十尺乗之