卷十一

商九尺乗之得九百八十一尺與次商廉隅共積相減餘一百一十尺即一萬一千寸複以方邊第三位積六十寸續書于下共一萬一千零六十寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之五丈九尺作五百九十寸倍之得一千一百八十寸為亷法以除一萬一千零六十寸足九寸即定三商為九寸書于方積空寸之上而以三商九寸為隅法與廉法一千一百八十寸相加共得一千一百八十九寸為廉隅共法書于餘積之左以三商九寸乗之得一萬零七百零一寸與三商廉隅共積相減餘三百五十九寸即三萬五千九百分複以方邊末位積四十九分續書于下共三萬五千九百四十九分為四商廉隅之共積乃以初商次商三商之五丈九尺九寸作五千九百九十分倍之得一萬一千九百八十分為廉法以除三萬五千九百四十九分足三分即定四商為三分書于方積九分之上而以四商三分為隅法與廉法一萬一千九百八十分相加共得一萬一千九百八十三分為廉隅共法書于餘積之左以四商三分乗之得三萬五千九百四十九分與四商廉隅共積相減恰盡是開得五丈九尺九寸三分為方面每一邊之數也 設如正方面積五百八十五萬六千四百尺開方問每一邊數幾何 法列方積五百八十五萬六千四百尺補二空位以足其分自末空位起算毎隔一位作記于空尺上定單位四百尺上定十位五萬尺上定百位五百萬尺上定千位其五百萬尺為初商積以初商本位計之則五百萬尺為初商積之單位止與二自乗之數相準即定初商為二書于方積五百萬尺之上而以二自乗之四書于初商積之下相減餘一百萬尺爰以方邊第二位積八十五萬尺續書于下共一百八十五萬尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則五萬尺為次商積之單位而一百八十五萬尺為一百八十五而初商之二即為二十故以初商之二作二十倍之得四十為廉法以除一百八十五足四倍即定次商為四書于方積五萬尺之上而以次商四為隅法與廉法四十相加共得四十四為防隅共法書于餘積之左以次商四乗之得一百七十六與次商廉隅共積相減餘九萬尺複以方邊第三位積六千四百尺續書于下共九萬六千四百尺為三商防隅之共積以三商本位計之則四百為三商積之單位而九萬六千四百尺為九百六十四而初商之二即為二百次商之四即為四十故以初商次商之二四作二百四十倍之得四百八十為廉法以除九百六十四足二倍即定三商為二書于方積四百尺之上而以三商二為隅法與防法四百八十相加共得四百八十二為廉隅共法書于餘積之左以三商二乗之得九百六十四與三商防隅共積相減恰盡是開得二千四百二十尺為方面每一邊之數也此法方積之末有二空位故所得方邊之末亦補一空位凢設數未至單位者皆依此例補足位分然後開之 設如正方面積八十二丈六十二尺八十一寸開方問每一邊數幾何 法列方積八十二丈六十二尺八十一寸自末位起算每隔一位作記于一寸上定寸位于二尺上定尺位于二丈上定丈位其八十二丈為初商積與九丈自乗之數相準即定初商為九丈書于方積二丈之上而以九丈自乗之八十一丈書于方積八十二丈之下相減餘一丈即一百尺爰以方邊第二位積六十二尺續書于下共一百六十二尺為次商廉隅之共積乃以初商九丈作九十尺倍之得一百八十尺為防法以除一百六十二尺其數不足是次商為空位也乃書一空于方積二尺之上以存次商之位複以方邊末位積八十一寸續書于下共一百六十二尺八十一寸即一萬六千二百八十一寸為三商防隅之共積仍以一百八十尺作一千八百寸為防法以除一萬六千二百八十一寸足九寸即定三商為九寸書于方積一寸之上而以三商九寸為隅法與防法一千八百寸相加共得一千八百零九寸為防隅共法書于餘積之左而以三商九寸乗之得一萬六千二百八十一寸與三商防隅共積相減恰盡是開得九丈零九寸為方面每一邊之數也此法方積無空位而商出之方邊有空位凡防法除餘積而數不足者皆依此例推之 設如正方面積六千四百一十一萬二千零四十九尺開方問每一邊數幾何 法列方積六千四百一十一萬二千零四十九尺自末位起算每隔一位作記于九尺上定單位空百尺上定十位一萬尺上定百位四百萬尺上定千位其六千四百萬尺為初商積以初商本位計之則四百萬為初商積之單位而六千四百萬為六千四與八自乗之數相合即定初商為八書于方積四百萬尺之上而以八自乗之六十四書于初商積之下相減無餘爰以方邊第二位積一十一萬尺續書于下為次商廉隅之共積以次商本位計之則一萬尺為次商積之單位而一十一萬尺為一十一而初商之八即為八十故以初商之八作八十倍之得一百六十為廉法以除一十一其數不足是次商為空位乃書一空于方積一萬尺之上以存次商之位複以方邊第三位積二千尺續書于下共一十一萬二千尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則空百尺為三商積之單位而一十一萬二千尺為一千一百二十尺而初商之八即為八百次商之空即為空十故以初商次商之八空作八百倍之得一千六百為廉法以除一千一百二十其數仍不足是三商之為空位乃再書一空于方積空百尺之上以存三商之位複以方邊末位積四十九尺續書于下共一十一萬二千零四十九尺為四商廉隅之共積以四商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商三商之八千倍之得一萬六千為廉法以除一十一萬二千零四十九足七倍即定四商為七書于方積九尺之上而以四商七為隅法與防法一萬六千相加共得一萬六千零七為防隅共法書于餘積之左而以四商七乗之得一十一萬二千零四十九與餘積相減恰盡是開得八千零七尺為方面每一邊之數也此法方積中雖有一空位而商出之方邊卻有二空位凡開方遇此類者皆依此例推之 設如有積一萬四千九百二十八尺開方問每一邊數幾何 法列積一萬四千九百二十八尺自末位起算每隔一位作記于八尺上定單位九百尺上定十位一萬尺上定百位其一萬尺為初商積以初商本位計之則一萬尺為初商積之單位止與一自乗之數相合即定初商為一書于方積一萬尺之上而以一自乗之一書于初商積之下相減無餘爰以方邊第二位積四千九百尺續書于下為次商防隅之共積以次商本位計之則九百尺為次商積之單位而四千九百尺為四十九而初商之一即為一十故以初商之一作一十倍之得二十為廉法以除四十九足二倍即定次商為二書于方積九百尺之上而以次商二為隅法與防法二十相加共得二十二為防隅共法書于餘積之左以次商二乗之得四十四與次商廉隅共積相減餘五百尺複以方邊末位積二十八尺續書于下共五百二十八尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十為廉法以除五百二十八足二倍即定三商為二書于方積八尺之上而以三商二為隅法與廉法二百四十相加共得二百四十二為防隅共法書于餘積之左以三商二乗之得四百八十四與三商廉隅共積相減餘四十四尺不盡是開得一百二十二尺為方面每一邊之數仍餘四十四尺不盡也如欲以餘數再開則得方邊之寸數乃増書兩空于總積之後複續書兩空于四十四尺之後為幾十幾寸之位是則四十四尺作四千四百寸為四商廉隅之共積爰以初商次商三商之一百二十二尺作一千二百二十寸倍之得二千四百四十寸為廉法以除四千四百寸足一倍即定四商為一寸書于餘積空寸之上而以四商一為隅法與廉法二千四百四十寸相加共得二千四百四十一寸為廉隅共法書于餘積之左以四商一寸乗之仍得二千四百四十一寸與餘積相減餘一千九百五十九寸不盡如再以餘數開之則得方邊之分數乃又續書兩空于後増空十空寸之後複續書兩空于五十九寸之後為幾十幾分之位是則一千九百五十九寸作一十九萬五千九百分為五商廉隅之共積爰以初商次商三商四商之一百二十二尺一寸作一萬二千二百一十分倍之得二萬四千四百二十分為廉法以除一十九萬五千九百分足八倍即定五商為八分書于餘積空分之上而以五商八為隅法與防法二萬四千四百二十分相加共得二萬四千四百二十八分為廉隅共法書于餘積之左以五商八分乗之得一十九萬五千四百二十四分與餘積相減仍餘四百七十六分不盡是開得一百二十二尺一寸八分為方面每一邊之數也此法原積本非自乗所得之數雖遞析之終不能盡凡開方遇此類者皆依此例推之 設如有一方台上面共鋪方甎四千零九十六塊問每一邊得甎幾何 法列方甎四千零