卷十一

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷十一 面部一 平方 帶縱平方 平方 平方者等邊四直角之面積也以形而言則為兩矩所合以積而言則為自乗之數因其有廣無厚故曰平方因其縱橫相等故曰正方葢方積面也而其邊則線也有線求面則相乗而得積有面求線則開方而得邊開之之法略與歸除同但歸除有法有實而開方則有實而無法故古人立為商除廉隅之制以相求每積二位得邊之一位所謂一百一十定無疑一千三十有零餘九千九百不離十一萬方為一百推是也其法先從一角而剖其幂以自一至九自乗之數為方根與所有之積相審量其足減者而定之是為初商初商減盡無餘則方邊止一位若有餘實即初商方積外别成一磬折形其附初商之兩旁者謂之廉兩廉之角所合一小方謂之隅廉有二故倍初商為兩廉之共長是為廉法視餘積足廉法幾倍即是次商隅即次商之自乗故次商為隅法合廉隅而以次商乗之則得兩廉一隅之共積所謂初商方積外别成一磬折形者是也故次商為初商所得方邊之零如次商數與初商餘積相減尚有不盡之實則又成一磬折形而仍為兩廉一隅但較前廉愈長而隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照初商之例逐層遞析之實盡而止實不盡者必非自乗之正數遞析之至于纎塵終有奇零若餘實不足廉隅法之數者則方邊為空位此開方之定法也面形不一而容積皆以方積為準故平方為算諸面之本諸面必通之方積而後可施其法也 設如正方面積三十六尺開方問每一邊數幾何法列方積三十六尺自末位起算每方積二位定方邊一位今積止有二位則于六尺上作記定單位以自一至九自乗之方根數與之相審知與六尺自乗之數恰合乃以六尺書于方積六尺之上而以六尺自乗之三十六尺書于方積原數之下相減恰盡即得開方之數為六尺也如圖甲乙丙丁正方形每邊皆六尺其中函一尺小正方三十六自邊計之為六尺自乗之積以積開之則與六尺自乗方根之數相準故商除之恰盡也葢方積為二位是以方邊止一位方積即六尺自乗之數故無廉隅之可用次商如有餘積則自成廉隅而用次商矣 設如正方面積一丈四十四尺開方問每一邊數幾何 法列方積一丈四十四尺自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記即于四尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗之數相合即定初商為一丈書于方積一丈之上而以一丈自乗之正方一丈書于初商積之下相減恰盡爰以方邊末位積四十四尺續書于下【大凢以餘積續書于下者每取方積之二位以當方邊之一位也】為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺倍之得二十尺為廉法以除四十四尺足二尺即定次商為二尺書于方積四尺之上而以次商二尺為隅法與廉法二十尺相加共得二十二尺為廉隅共法書于餘積之左以次商二尺乗之得四十四尺與次商廉隅共積相減恰盡是開得一丈二尺為方面每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方形每邊皆一丈二尺其中函積一丈四十四尺是為共積其從一角所分甲庚己戊正方形每邊一丈即初商數其中函正方積一丈即初商自乗數所餘庚己壬乙戊己辛丁兩長方為兩廉其各長十尺即初商數其各闊二尺即次商數廉有二故倍初商為廉法其己壬丙辛一小正方為隅其邊二尺亦即次商數故以次商為隅法合兩廉一隅成一磬折形附于初商自乗方之兩邊而成一總正方形此廉隅之法所由生也 設如正方面積五百二十九尺開方問毎一邊數幾何【此題正方面積之三位皆以尺命位似與前題分丈尺者不同然其取方積二位續書于下其末位即命為單位立算則與丈尺同也】 法列方積五百二十九尺自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記乃于九尺上定單位五百尺上定十位其五百尺為初商積以初商本位計之則五百尺為初商積之單位止與二自乗之數相準即定初商為二書于方積五百尺之上而以二自乗之四書于初商積之下相減餘一百尺爰以方邊第二位積二十九尺續書于下共一百二十九尺為次商廉隅之共積乃以初商之二作二十尺倍之得四十尺為廉法以除一百二十九尺足三尺即定次商為三尺書于方積九尺之上而以次商三尺為隅法與廉法四十尺相加共得四十三尺為廉隅共法書于餘積之左以次商三尺乗之得一百二十九尺與次商廉隅共積相減恰盡是開得二十三尺為方面每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方形每邊皆二十三尺其中函積五百二十九尺是為共積其從一角所分甲庚己戊正方形每邊二十尺即初商數其中函積四百尺即初商自乗數所餘庚己壬乙戊己辛丁兩長方為兩廉其各長二十尺即初商數其各闊三尺即次商數其己壬丙辛一小正方為隅其邊三尺亦即次商數合兩廉一隅成一磬折形附于初商自乗方之兩邊而成一總正方形也 設如正方面積五丈四十七尺五十六寸開方問每一邊數幾何 法列方積五丈四十七尺五十六寸自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記即于六寸上定寸位七尺上定尺位五丈上定丈位其五丈為初商積與二丈自乗之數相準即定初商為二丈書于方積五丈之上而以二丈自乗之四丈書于初商積之下相減餘一丈即一百尺爰以方邊第二位積四十七尺續書于下共一百四十七尺為次商廉隅之共積乃以初商之二丈作二十尺倍之得四十尺為廉法以除一百四十七尺足三尺即定次商為三尺書于方積七尺之上而以次商三尺為隅法與廉法四十尺相加共得四十三尺為廉隅共法書于餘積之左以次商三尺乗之得一百二十九尺與次商廉隅共積相減餘一十八尺即一千八百寸複以方邊末位積五十六寸續書于下共一千八百五十六寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之二丈三尺作二百三十寸倍之得四百六十寸為廉法以除一千八百五十六寸足四寸即定三商為四寸書于方積六寸之上而以三商四寸為隅法與廉法四百六十寸相加共得四百六十四寸為廉隅共法書于餘積之左以三商四寸乗之得一千八百五十六寸與三商廉隅共積相減恰盡是開得二丈三尺四寸為方面每一邊之數也 設如正方面積四十五萬九千六百八十四尺開方問每一邊數幾何【此題正方面積之六位皆以尺命位似與前題分丈尺寸三色者不同然其每取方積二位續書于下其末位即命為單位立算仍與丈尺寸同也】 法列方積四十五萬九千六百八十四尺自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記乃于四尺上定單位六百尺上定十位五萬尺上定百位其四十五萬尺為初商積以初商本位計之則五萬尺為初商積之單位而四十五萬尺為四十五與六自乗之數相準即定初商為六書于方積五萬尺之上而以六自乗之三十六書于初商積之下相減餘九萬尺爰以方邊第二位積九千六百尺續書于下共九萬九千六百尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則六百尺為次商積之單位而九萬九千六百尺為九百九十六而初商之六即為六十故以初商之六作六十倍之得一百二十為廉法以除九百九十六足七倍即定次商為七書于方積六百尺之上而以次商七為隅法與廉法一百二十相加共得一百二十七為廉隅共法書于餘積之左以次商七乗之得八百八十九與次商廉隅共積相減餘一萬零七百尺複以方邊末位積八十四尺續書于下共一萬零七百八十四尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之六百七十倍之得一千三百四十為廉法以除一萬零七百八十四足八倍即定三商為八書于方積四尺之上而以三商八為隅法與廉法一千三百四十相加共得一千三百四十八為廉隅共法書于餘積之左以三商八乗之得一萬零七百八十四與三商廉隅共積相減恰盡是開得六百七十八尺為方面每一邊之數也 設如正方面積三十五丈九十一尺六十寸四十九分開方問每一邊數幾何 法列方積三十五丈九十一尺六十寸四十九分自末位起算每隔一位作記即于九分上定分位空寸上定寸位一尺上定尺位五丈上定丈位其三十五丈為初商積與五丈自乗之數相準即定初商為五丈書于方積五丈之上而以五丈自乗之二十五丈書于初商積之下相減餘一十丈即一千尺爰以方邊第二位積九十一尺續書于下共一千零九十一尺為次商廉隅之共積乃以初商五丈作五十尺倍之得一百尺為廉法以除一千零九十一尺足九尺即定次商為九尺書于方積一丈之上而以次商九尺為隅法與廉法一百尺相加共得一百零九尺為廉隅共法書于餘積之左以次