卷十

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷十 線部八 方程【和數類　較數類　和較兼用類和較交變類　附法】 方程 方者比也程者式也因設數齊其分以比方之定為已成之式凡法皆如之故曰方程葢用互乗者所以齊其分使其首數皆同減盡而餘一法一實以得一數也法雖有三色四色以至多色不過累乗累減亦歸于一法一實而已其二色者設二行三色者設三行有幾色者必設幾行若三色設二行四色設三行即不可算若二色設三行三色設四行則其一行又可以不用是故解方程者又謂凡設數必成方而後可算也然其要總在于分和較和數相比者則互乗而相減較數相比者古人定為正負之名以辨加減異同之号正負異号則相加正負同号則相減其理與盈朒同葢正者為主之數負者虛比之數其始也任以首色為正互乗衆色與首色同類者皆正也與首色異類者皆負也其繼也以互乗所得之數視正負之同異而加減之然加減之餘又有正變為負負變為正者總之因彼此而分正負由多少而成虛實互乗之後任以一層為主凡異号相加者悉依本層其号皆不變也若同号相減者本層多其号亦不變本層少反減者則正變為負負變為正葢此多則彼少彼少則此多也至于首色減盡則第二色即為首色故加減之後首色為負者悉變之以便互乗加減始不淆也今定為例和數者不用正負之号較數者則用正負之号和較兼用者和仍不用正負之号而較則用之和較交變者則随其法而辨别之以定其号焉或有非方程之本法而可以方程算者則又别為設問以附其後古人所謂以禦錯糅正負者庶乎盡于此矣 和數類 設如馬四匹牛六頭共價四十八兩馬三匹牛五頭共價三十八兩問馬牛各價幾何 法以馬四匹牛六頭共價四十八兩列于上馬三匹牛五頭共價三十八兩列于下乃以上馬四匹遍乗下馬三匹牛五頭價銀三十八兩得馬十二匹牛二十頭價銀一百五十二兩又以下馬三匹遍乘上馬四匹牛六頭價銀四十八兩得馬十二匹牛十八頭價銀一百四十四兩兩下相較則馬各十二匹彼此減盡牛二十頭内減十八頭餘二頭價銀一百五十二兩内減一百四十四兩餘八兩爰以餘牛二頭除餘銀八兩得四兩卽牛每頭之價以牛五頭乘之得二十兩為牛五頭之共價于馬牛共價三十八兩内減去二十兩餘十八兩為馬三匹之共價以馬三匹除之得六兩卽馬每匹之價也此法葢以首色二數遍乘各數使其分數齊等卽互乘齊分之理故馬四匹遍乘馬三匹牛五頭價銀三十八兩則為各増四倍馬三匹遍乘馬四匹牛六頭價銀四十八兩則為各増三倍兩下各色既俱各増倍分則其比例皆同是故馬兩下相平而減盡無餘牛兩下相減餘二頭價銀兩下相減餘八兩是為相當之數葢一百五十二兩内減去一百四十四兩卽減去馬十二匹牛十八頭之共價而所餘之八兩為牛二頭之價也 又如以牛數列于前馬數列于後則先得馬價法以牛六頭馬四匹共價四十八兩列于上牛五頭馬三匹共價三十八兩列于下乃以下牛五頭遍乘上牛六頭馬四匹價銀四十八兩得牛三十頭馬二十匹價銀二百四十兩又以上牛六頭遍乘下牛五頭馬三匹價銀三十八兩得牛三十頭馬十八匹價銀二百二十八兩兩下相較則牛各三十頭彼此減盡馬二十匹内減十八匹餘二匹價銀二百四十兩内減二百二十八兩餘十二兩爰以餘馬二匹除餘銀十二兩得六兩卽馬每匹之價以馬三匹乘之得十八兩為馬三匹之共價于牛馬共價三十八兩内減去十八兩餘二十兩為牛五頭之共價以牛五頭除之得四兩卽牛每頭之價也此法用互乘後則牛兩下相平而減盡無餘馬兩下相減餘二匹價銀兩下相減餘十二兩卽為相當之數葢二百四十兩内減去二百二十八兩卽減去牛三十頭馬十八匹之共價而所餘之十二兩為馬二匹之價也大凡方程之法各色俱可以更互相求者皆如此類也 設如緞二疋紗六疋防八疋共價八十四兩緞一疋紗四疋防七疋共價六十兩緞三疋紗五疋防九疋共價九十兩問緞紗防各價幾何 法先以緞二疋紗六疋防八疋共價八十四兩列于上緞一疋紗四疋防七疋共價六十兩列于下乃以上緞二疋遍乘下緞一疋紗四疋防七疋價銀六十兩得緞二疋紗八疋防十四疋價銀一百二十兩又以下緞一疋遍乘上緞二疋紗六疋防八疋價銀八十四兩仍得原數兩下相較則緞各二疋彼此減盡紗八疋内減六疋餘二疋防十四疋内減八疋餘六疋價銀一百二十兩内減八十四兩餘三十六兩卽為紗二疋防六疋價銀三十六兩也【緞既兩下相平而減盡無餘則所餘紗二疋防六疋價銀三十六兩即為相當之數葢一百二十兩内減去八十四兩即減去緞二疋紗六疋防八疋之共價而所餘三十六兩為紗二疋防六疋之共價也】次以緞一疋紗四疋防七疋價銀六十兩列于上緞三疋紗五疋防九疋價銀九十兩列于下乃以下緞三疋遍乘上緞一疋紗四疋防七疋價銀六十兩得緞三疋紗十二疋防二十一疋價銀一百八十兩又以上緞一疋遍乘下緞三疋紗五疋防九疋價銀九十兩仍得原數兩下相較則緞各三疋彼此減盡紗十二疋内減五疋餘七疋防二十一疋内減九疋餘十二疋價銀一百八十兩内減九十兩餘九十兩即為紗七疋防十二疋價銀九十兩也【緞既兩下相平而減盡無餘則所餘紗七疋防十二疋價銀九十兩即為相當之數葢一百八十兩内減九十兩即減緞三疋紗五疋防九疋之共價而所餘九十兩為紗七疋防十二疋之共價也】于是将兩次所得之餘作二色方程算之其紗二疋防六疋價銀三十六兩列于上紗七疋防十二疋價銀九十兩列于下以下紗七疋遍乗上紗二疋防六疋價銀三十六兩得紗十四疋防四十二疋價銀二百五十二兩以上紗二疋遍乗下紗七疋防十二疋價銀九十兩得紗十四疋防二十四疋價銀一百八十兩兩下相較則紗各十四疋彼此減盡防四十二疋内減二十四疋餘十八疋價銀二百五十二兩内減一百八十兩餘七十二兩爰以餘防十八疋除餘銀七十二兩得四兩即防每疋之價以防六疋乗之得二十四兩為防六疋之共價于紗防共價三十六兩内減二十四兩餘十二兩為紗二疋之共價以紗二疋除之得六兩即紗每疋之價也以緞二疋紗六疋防八疋共價八十四兩計之則紗六疋共價三十六兩防八疋共價三十二兩紗防共價為六十八兩于共價八十四兩内減六十八兩餘十六兩為緞二疋之共價以緞二疋除之得八兩即緞每疋之價也 設如有上中下三等人戶納糧上等五戶中等十二戶下等三戶共納糧一石二鬥六升又上等四戶二等二戶共納糧五鬥二升又中等二十戶下等二十五戶共納糧一石五鬥問上中下三等每戶各納糧幾何 法先以上等五戶中等十二戶下等三 戶　　　　　　　　　　　　　　　　　【上等四戶下等二戶納】納糧一石二鬥【因無中等故作空位以存其分餘仍對位列之】六升列于上糧五鬥二升列于下乃以下層上等四戶遍乗上層上等五戶中等十二戶下等三戶納糧一石二鬥六升得上等二十戶中等四十八戶下等十二戶納糧五石零四升又以上層上等五戶遍乗下層上等四戶下等二戶納糧五鬥二升得上等二十戶下等十戶納糧二石六鬥兩下相較則上等各二十戶彼此減盡中等四十八戶無可減仍得四十八戶下等十二戶内減十戶餘二戶納糧五石零四升内減二石六鬥餘二石四鬥四升即為中等四十八戶下等二戶共納糧二石四鬥四升也【上等既兩下相平而減盡無餘則所餘中等四十八戶下等二戶納糧二石四鬥四升即為相當之數葢五石零四升内減二石六鬥即減去上等二十戶下等十戶之共糧數而所餘二石四鬥四升為中等四十八戶下等二戶之共糧數也】既得中等四十八戶下等二戶之二色則中等二十戶下等二十五戶亦即為二色故即作二色方程算之其中等四十八戶下等二戶納糧二石四鬥四升列于上中等二十戶下等二十五戶納糧一石五鬥列于下乃以上層中等四十八戶遍乗下層中等二十戶下等二十五戶納糧一石五鬥得中等九百六十戶下等一千二百戶納糧七十二石又以下層中等二十戶遍乘上層中等四十八戶下等二戶納糧二石四鬥四升得中等九百六十戶下等四十戶納糧四十八石八鬥兩下相較則中等各九百六十戶彼此減盡下等一千二百戶内減四十戶餘一千一百六十戶納糧七十二石内減四十八石八鬥餘二十三石二鬥爰以所餘下等一千一百六十戶除餘糧二十三石二鬥得二升即下等每戶納糧之數以下等二戶乘之得四升為下等二戶納糧之共數于中等下等共納糧二石四鬥四升内減四升餘二石四鬥為中等四十八戶納糧之共數以中等四十八戶除之得五升即中等每戶納糧之數以上等四戶下等二戶共納糧五鬥二升計之【因無中戶故省一次】則下等二戶共納糧四升于五鬥二升内減四升餘四鬥八升為上等四戶納糧之共數以上等四戶除之得一鬥二升即上等每戶納糧之數也 設如有銀賞四等人各不知數隻雲一等一人二等二人三等三人四等四人共賞銀三十兩又一等二人二等三人三等四人四等五人共賞銀四十四兩又一等四人二等五人三等七人四等八人共賞銀七十七兩又一等六人二等五人三等四人四等二人共賞銀六十六兩問每等人各賞銀幾何 法先以一等一人二等二人三等三人四等四人共銀三十兩列于上一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩列于下乃以下一等二人遍乗上一等一人二等二人三等三人四等四人共銀三十兩得一等二人二等四人三等六人四等八人共銀六十兩又以上一等一人遍乗下一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩仍得原數兩下相較則一等各二人彼此減盡二等兩下相減餘一人三等兩下相減餘二人四等兩下相減餘三人共銀兩下相減餘一十六兩即二等一人三等二人四等三人共銀十六兩也【葢六十兩内減四十四兩即減去一等二人二等三人三等四人四等五人之共銀數故所餘之十六兩為二等一人三等二人四等三人之共銀數也】次以一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩列于上一等四人二等五人三等七人四等八人共銀七十七兩列于下乃以下一等四人遍乗上一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩得一等八人二等十二人三等十六人四等二十人共銀一百七十六兩又以上一等二人遍乗下一等四人二等五人三等七人四等八人共銀七十七兩得一等八人二等十人三等十四人四等十六人共銀一百五十四兩兩下相較則一等各八人彼此減盡二等兩下相減餘二人三等兩下相減