卷九

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷九 線部七 借衰互征 疊借互征 借衰互征 借衰互征者有總數而無分數或有分數而無總數或無總數分數之實率而但有其盈率則不得不别借一衰數以為比例然後可以得其真數故曰借衰然而所借之衰又各不同有借于本數之中者有借于本數之外者借彼征此借虛征實故曰互征葢先借各項衰數合而為總衰數以總衰數與總真數相比即若各項衰數與各項真數之比也或先借總衰數加減出各衰數之較以各衰數之較與真數之較相比即若總衰數與總真數之比也或以各衰數之較與真數之較相比即若各項衰數與各項真數之比也要之皆就比例之法而推廣之耳 設如有銀一千八百兩命甲乙二人按分分之甲分比乙分有五倍問甲乙各得幾何 法借一為乙衰五為甲衰并之得六為一率總銀一千八百兩為二率乙衰一為三率得四率三百兩即乙所分之數與一千八百兩相減餘一千五百兩即甲所分之數以三百兩與一千五百兩相較則甲有乙之五倍也此法既雲甲有乙五倍則是甲有五分乙有一分故借一為乙衰五為甲衰倂之得六為總衰以總衰與總銀之比卽若乙一衰與乙銀一分之比也【此法卽和數比例因借衰之首故設一最易者以發明其理雲】 設如有三官接任共歴一百年第二官比前官加一倍零六年第三官比　二官加一倍少二年問每官各該幾年 法借一衰為第一官年數借二衰多六年為第二官年數借四衰多十年為第三官年數倂三官衰數得七為一率倂後二官共多十六年于總年數内減之餘八十四年為二率第一官一衰為三率得四率十二年為第一官年數倍之加多六年得三十年為第二官年數又倍第二官年數減少二年得五十八年為第三官年數合三數而共為一百年也此法第一官既借一衰則第二官加一倍零六年者當借二衰多六年而第三官既比第二官又加一倍則當借四衰多十二年因少二年故借四衰多十年為第三官衰數也 設如有甲乙丙三人共銀四十四兩乙比甲銀多一倍零四兩丙比甲乙二人共數又多六兩求各人銀數幾何 法借一為甲衰借二多四兩為乙衰借三多十兩為丙衰倂三衰得六為一率并乙丙二人多數為十四兩于總銀内減之餘三十兩為二率甲衰一為三率得四率五兩卽甲銀倍之加多四兩得十四兩為乙銀并甲乙銀又加多六兩得二十五兩即丙銀也此法既以一為甲衰乙比甲加一倍零四兩故借二多四兩為乙衰也丙并甲乙共數多六兩故借三多十兩為丙衰也甲衰一乙衰二并之為三乙比甲多四兩丙比甲乙共數又多六兩并之為十兩也 設如有甲乙二人入山采果共得三百枚但雲甲數加六百枚乙數加二百枚則甲數比乙數多二倍問甲乙各得幾何 法借三為甲衰借一為乙衰并之得四為一率以三百枚與六百枚二百枚相加得一千一百為二率乙衰一為三率得四率二百七十五卽乙一分之數減加數二百餘七十五卽乙數以七十五與三百枚相減餘二百二十五卽甲數以乙七十五與甲二百二十五相較則甲多二倍也此法既雲甲比乙多二倍則甲為三分乙為一分故借三為甲衰一為乙衰并之為總衰作一率又以原果與兩加數相并為總數作二率葢總衰與總數之比即乙一衰與乙果一分之比也 設如有銀一百九十六兩買駝四匹馬六匹驢十頭馬比驢價加一倍零二兩駝比馬價加一倍零四兩問各價銀若幹 法借一衰為驢價以驢十因之得十借二衰多二兩為馬價以馬六因之得十二衰多十二兩【一馬多二兩六馬故多十二兩】借四衰多八兩為駝價以駝四因之得十六衰多三十二兩【一駝多八兩四駝故多三十二兩】并三色衰數【驢十馬十二駝十六】共三十八為一率又并駝馬多價【駝三十二兩馬十二兩】共四十四兩于總銀内減之餘一百五十二兩為二率驢一衰為三率得四率四兩即驢一頭之價倍之加多二兩得十兩即馬一匹之價又倍之加多四兩得二十四兩即駝一匹之價也此法既借一衰為驢價馬比驢加一倍零二兩故借二衰多二兩為馬價也駝比馬又加一倍當借四衰多四兩再加多馬四兩則四衰多八兩為駝價也乃以各數因之【驢十馬六駝四】故得各項總衰數也 設如問一人歳數答曰我比弟長二年父年倍我仍多兩歳伯父兼我三人歳數再加四年整百歳問四人各得年數幾何 法借一衰為其弟歳數借一衰零二年為本人歳數倍之得二衰零四年再加多兩歳得二衰零六年為其父歳數總并之得四衰零八年為其伯之歳數即以四衰為一率八年四年相并得十二年與百歳相減餘八十八年為二率其弟一衰為三率得四率二十二即其弟之歳數加長二年得二十四即本人之歳數倍本人歳數再加多兩歳得五十即其父之歳數并三人歳數得九十六即其伯之歳數再加四年是為整百歳也此法既借一衰為其弟歳數本人較長二年故借一衰零二年為本人歳數也其父年比本人加倍又多兩嵗故借二衰零六年為其父歳數也【加倍為二衰零四年又加多兩歳故為二衰零六年也】将三人歳數相并得四衰零八年為其伯之歳數再加四年方整百嵗則減四年又減所零之八年餘八十八年即四衰相當之數也 設如漏壺一具上有渴烏注水凡十二時而滿下有一孔通天池洩水凡十八時而盡若上注下洩問幾時可得水滿 法以十二時與十八時相乘得二百一十六時卽借二百一十六分為壺水衰數又以十二時與十八時相減餘六時卽借六分為一時水滿分數乃以六分為一率一時為二率二百一十六分為三率得四率三十六卽是水滿一壺之時也此法以十二時乘十八時者卽借一壺水作二百一十六分算也十二時滿二百一十六分則一時滿十八分十八時盡二百一十六分則一時洩十二分一時滿十八分而洩十二分則壺中所存止得六分故以十二減十八餘六分為一時所滿之水也滿水六分既得一時則壺中滿二百一十六分而得三十六時矣 設如漏壺一座注水于内下有三孔大孔流水二時而盡中孔流水三時而盡小孔流水六時而盡若三孔齊開問水幾時可盡 法以大孔之二時乘中孔之三時得六時又以小孔之六時乘之得三十六時卽借三十六分為壺水總衰數以大孔二時除之得十八分以中孔三時除之得十二分以小孔六時除之得六分并三數得三十六為一率一時為二率借衰三十六為三率得四率一時卽一時水可盡也此法葢以三色之數連乘為共分其大孔二時流盡則一時流十八分中孔三時流盡則一時流十二分小孔六時流盡則一時流六分故并三數而為一時所流者有三十六分今壺水止有三十六分故一時可以流盡也 設如有人自鄉上城共一百二十裡今行尚未到若以行過路六分之一與餘路三分之一相加便是到城裡數問該若幹 法借十五衰為一率一百二十裡為二率餘路三分卽借三衰為三率得四率二十四裡卽到城裡數也此法借十五衰為一率者因餘路取三分之一尚餘二分又取行過路六分之一補足餘路二分之數是行過路之一分卽抵餘路之二分也今将餘路一分借一衰則行過路一分當借二衰六分則當借十二衰再加餘路三衰是共得十五衰故十五衰與一百二十裡之比卽餘路三分與二十四裡之比也【每分該八裡】 設如有井深至底二丈六尺不知水深若幹但雲自水面向上取三分之一從水面往下取四分之一相并便是水深數問該幾何 法借十三衰為一率二丈六尺為二率自水面往下四分卽借四衰為三率得四率八尺卽水之深也此法借十三衰為一率者因水面往下取四分之一尚餘三分又取水面向上三分之一補足水面下三分之數是水面上之一分卽準水面下之三分也今将水面下一分借一衰則水面上一分當借三衰一分借三衰則三分必當借九衰再加水面下四衰是共得十三衰故十三衰與二丈六尺之比卽水面下四分與八尺之比也 設如有人問此時系何時刻答曰自子正到此時時刻折半與自此時到午正三分之一相加便是此時時刻 法借二衰為自子正到此時衰數【時折半者定為一衰今用全數故借二衰】又借三衰為自此時到午正衰數【三分故借三衰因三分之一與折半之數相等故亦将一分借一衰】并之得五衰為子正到午正之分為一率又計子正到午正得十二小時因化為七百二十分為二率自子正到此時二衰為三率得四率二百八十八分收為四小時三刻三分即定為寅正三刻三分也此法因題言自子正到此時時刻折半故以折半數借為一衰今用全數為自子正起算故借二衰題又言到午正時刻三分之一與折半之數相加則是折半數即與三分之一之數相等故将三分亦借為三衰是子正到午正共為五衰矣計子正到午正時刻得七百二十分故五衰與七百二十分之比即二衰與二百八十八分之比既得二百八十八分收為四小時三刻三分即自子正到寅正三刻三分也 設如有人問到日落得