卷九
關燈
小
中
大
幾時答曰自日出到此時時刻取四分之一從此時到日落時刻折半兩數相加即是此時時分
法借二衰為自此時到日落時衰數【衰時折半者借一衰今用全數故借二】又借四衰為自日出
【衰】到此時衰【四分故借四衰因四分之一與折半之數相等故亦将一分借一衰】數并之得六衰為一率又察晝夜長短如自日出至日落止有十小時卽化作六百分為二率自此時到日落二衰為三率得四率二百分收為三小時一刻五分即到日落之時分也此法因題言自此時到日落時刻折半故以折半數借為一衰今用全數則當借為二衰題又言自日出到此時四分之一與折半之數相加則是折半數即與四分之一之數相等故将四分亦借為四是日出到日落共為六衰矣如日出至日落時刻得六百分則六衰與六百分之比即二衰與二百分之比故以二百分收為三時一刻五分也
設如有羊一羣不知數目但雲賣去三分之一又分四分之一另為一羣下餘一千隻問原共數幾何法以兩分母相乘得十二為總衰内減三分之一餘八又減四分之一餘五為一率一千為二率總衰十二為三率得四率二千四百即共數也此法因題言三分之一四分之一兩分子同分母不同故以兩分母相乘為總衰分内減三分之一又減四分之一所餘五即如總數分十二分而一千為其五分也故五衰與一千之比即如十二衰與二千四百之比也
設如有羊一羣不知數目但雲賞人七分之五又将所餘者賣五分之三尚餘八百隻問原共數若幹
法以兩分母相乘得三十 【借】五為總羊衰數内去七分之五餘一【衰将三十五分為七分每
分得五今去五分為二十五故仍餘一十】十又将 【也】一十為所餘羊衰數内去五分之三【将一十分為五分每分得二今去三分為六故仍餘四也】餘四卽以四為一率所餘羊八百隻為二率總衰三十五為三率得四率七千卽原羊共數也此法葢因共數為七千内去七分之五是去五千餘二千又将二千去五分之三是去一千二百仍餘八百故借總衰三十五内去七分之五所餘又去五分之三而得餘衰四以餘衰四與餘羊八百之比卽若總衰三十五與總羊七千之比也此法與前法防異者前法雖有三分四分之不同是于總數中計分故其為分則一此法賞人七分之五者是去總數内七分之五而賣五分之三者乃賞人後所餘之五分之三也立法少異故中總分餘分相減亦别至減餘歸四率其比例仍同也
設如有田七百四十二畝内有耕者種者耘者種者比耕者得十分之七耘者比種者得五分之三問每項各幾何
法以兩分母兩分子互相連乘共得一千零五十為耕者衰數此數十分之取其七分得七百三十五為種者衰數此數五分之取其三分得四百四十一為耘者衰數并三衰數得二千二百二十六為一率七百四十二畝為二率以耕者衰數一千零五十為三率得四率三百五十畝即所耕之田以種者衰數七百三十五為三率得四率二百四十五畝即所種之田以耘者衰數四百四十一為三率得四率一百四十七畝即所耘之田也此法因分母分子皆不同恐借數有竒零故即以本題分數連乘之得數後仍依各項分之則衰數無竒零而各分各數俱可比例而得矣
設如逺望一塔上露三丈二尺中有林木遮去三分之二下尚露五分之一問共髙若幹
法先借一數可分為三分五分者乃借三十為總衰此數三分之二得二十又五分之一得六兩數相加得二十六與總衰三十相減餘四為一率上露三丈二尺為二率總衰三十為三率得四率二十四丈卽塔之髙也此法以減餘四衰與上露三丈二尺之比卽總衰三十與塔總髙二十四丈之比也二十四丈三分之二得十六丈五分之一得四丈八尺相加得二十丈零八尺又加上露三丈二尺則共二十四丈也
又法于借衰三十内減去三分之二【減去二十】又減五分之一【減去六】餘四衰卽以四衰除塔露三丈二尺得八尺是一衰為八尺也一衰為八尺則三十衰自得二百四十尺矣
設如有木匠與瓦匠小工三項分工價瓦匠得木匠五分之二小工得木匠四分之一瓦匠比小工多一兩二錢問每項工價若幹
法以兩分母兩分子連乘共得四十為木匠衰數此數五分之二得十六為瓦匠衰數四分之一得十為小工衰數又将十六衰與十衰相減餘六為一率多一兩二錢為二率木匠衰數四十為三率得四率八兩卽木匠價取五分之二得三兩二錢卽瓦匠價取四分之一得二兩卽小工價以二兩與三兩二錢相減餘一兩二錢卽瓦匠多于小工之數也此法亦以題中分母分子連乘作衰數但用瓦匠比小工所多衰數銀數與木匠衰數銀數為比例何也葢各項衰數與各項銀數之比皆同今瓦匠衰數與小工衰數之比卽瓦匠銀數與小工銀數之比也又瓦匠衰數多于小工衰數之六與瓦匠銀數多于小工銀數一兩二錢之比卽同于小工衰數與小工銀數之比又即同于木匠衰數與木匠銀數之比故直以六衰與多一兩二錢為一率二率也
設如有金不足色欲煉成上等好金第一次入爐煅去三分之一第二次入爐煅去四分之一第三次入爐煅去五分之一第四次入爐煅去六分之一方淨剩上等好金二十七兩問原金幾何
法借三分四分五分六分俱分得盡之六十為原金總衰此數三分之一得二十四分之一得十五五分之一得十二六分之一得十四數相并得五十七與原借數六十相減餘三為一率淨剩金二十七兩為二率總衰六十為三率得四率五百四十兩卽原金數也此法因原金中镕銷四次所餘二十七兩故借衰中亦減去四次之數所餘為三衰以三衰與二十七兩之比卽六十衰與五百四十兩之比也
設如有銅不知斤數但雲取七分之三作上等儀器又取所餘之五分之二作中等儀器又取所餘之四分之一作三等儀器仍餘五十四斤問原銅共數幾何
法以三分母連乘得一百四十為總銅衰數取其七分之三餘八十為二次餘銅衰數【一百四十分為七分每分二十今去三分為六十仍餘八十也】又将所餘八十取其五分之二餘四十八為三次餘銅衰數【八十分為五分每分十六今去二分為三十二仍餘四十八也】又将所餘四十八取其四分之一餘三十六為所餘衰數【四十八分為四分每分十二今去一分十二仍餘三十六也】即以三十六為一率餘銅五十四斤為二率總衰一百四十為三率得四率二百一十斤卽原銅共數也葢二百一十斤内去七分之三是去九十斤餘一百二十斤又将一百二十斤内去五分之二是去四十八斤餘七十二斤又将七十二斤内去四分之一是去十八斤餘五十四斤而與原剩數合也此法亦是按節次另定分數與均分者不同故立衰數亦按節次減去取其餘衰三十六與餘銅五十四斤之比卽若總衰一百四十與總銅二百一十斤之比也
設如問一老人嵗數但雲加三分之二減四分之一得一百三十六歳求其嵗數幾何
法借十二為總衰數此數三分之二為八四分之一為三于總衰十二内加八減三得十七為一率一百三十六嵗為二率總衰十二為三率得四率九十六嵗即老人嵗數也此法借十二衰即三分與四分相乘之數三分四分俱可以分盡也于總衰十二内加八即加三分之二也又減三即減四分之一也所得十七即加減衰數也以加減衰數與加減年數之比即若所借總衰與所得歳數之比也
設如有一數但雲其數二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并為五百二十二問原數幾何
法先借一數可分為二分三分四分五分六分者乃借六十為總衰數此數依法剖之其二分之一為三十其三分之一為二十其四分之一為十五其五分之一為十二其六分之一為十并之得八十七為一率共并數五百二十二為二率總衰六十為三率得四率三百六十即原數也此法借數六十與原數為比者因原數隐而未露故虛借一數作比例以互征之葢并數八十七者原數為六十并數五百二十二者原數為三百六十其比例同也
設如有馬一羣但雲加一倍又加二分之一又加三分之一又加四分之一又加一并原數共一百一十二匹問原數幾何
法先借一數可分為二分三分四分者乃借十二為衰數此數加一倍得二十四又加二分之一為六又加三分之一為四又加四分之一為三共得三十七為一率共數一百一十二減一餘一百一十一為二率衰數十二為三率得四率三十六即原數也此法與前法同但題中又加一匹是真數也故于總數内減去一匹為比例蓋加分所得衰數三十七與加分所得共數一百一十一之比即若所借原衰十二與原數三十六之比也
設如一人為商三次第一次得利比本為三分之二将利加入本銀第二次得利比本為四分之三又将此利加入本銀第三次得利比本為五分之三三次本利共銀一千四百兩問原本銀若幹法借六十為本銀衰數取其三分之二得四十與六十相加得一百又将一百取其四分之三得七十五與一百相加得一百七十五又将一百七十五取其五分之三得一百
