卷九

零五與一百七十五相加得二百八十為一率本利共銀一千四百兩為二率原借衰數六十為三率得四率三百兩即原本銀數也葢三百兩三分之二得二百與本銀相加得五百于五百内取四分之三得三百七十五仍與五百相加得八百七十五于八百七十五内取五分之三得五百二十五仍與八百七十五相加得一千四百以合原數其借六十為本銀衰數加三分之二得一百即第一次本利共衰也又加四分之三得一百七十五即第二次本利共衰也又加五分之三得二百八十即第三次本利共衰也以本利共衰與本利共銀之比即如本銀借衰與原有本銀之比也 疊借互征 疊借互征者因原問内設數隐伏一次借衰尚不能得其真數故不得不借兩數以比較之先借一數與原數相較複借一數與原數相較然後據兩較以立算而真數可得故曰疊借葢以疊借之數比原問之數或多或少乃作盈朒法算之以求兩借數之較也故其較之一多一少者用加或兩較俱多兩較俱少者用減一如盈朒之例以兩差數之較與兩借數之較為比而得借數與真數之較或以兩借數互乘兩差數以兩差數之較與互乘所得兩差數之較為比而得所求之真數其法雖繁實有條理亦借數之巧也 設如有銀一百兩命甲丙丁三人分之甲比丙多一倍丙比丁多二倍問毎人應得幾何 法先借十二兩為甲銀衰數則丙應得六兩【比甲少一倍】丁應得二兩【比丙少二倍】并三數得二十兩與原銀一百兩相較少八十兩再借二十四兩為甲銀衰數則丙應得十二兩【比甲少一倍】丁應得四兩【比丙少二倍】并三數得四十兩與原銀一百兩相較仍少六十兩乃以前借數十二兩少八十兩書于右後借數二十四兩少六十兩書于左作兩不足法算之于是兩少數相減餘二十兩為一率兩借數相減餘十二兩為二率前借數與原數相較之少八十兩為三率得四率四十八兩加入前借數十二兩共得六十兩即甲銀數或以後借數與原數相較之少六十兩為三率得四率三十六兩加入後借數二十四兩亦得六十兩為甲銀數既得甲銀數減一倍得三十兩即丙銀數再取丙銀三分之一得十兩即丁銀數也【因丙銀比丁銀多二倍故于丙銀中取三分之一即丁銀】此法先借一人銀數加減出三人銀數與原總銀相較得其差數又借一人銀數加減出三人銀數又與原總銀相較複得一差數爰将兩借數相減是得甲一人兩借數之較也又将兩差數相減【因兩差俱少故相減如一多一少則相加】是得三人兩差數之較也乃以比例求之以三人兩差數之較比一人兩借數之較即同于三人共數與原總銀之差比一人借數與本銀之差也故以二十兩與十二兩之比同于八十兩與四十八兩之比為借數十二兩少于甲本銀之差數或以二十兩與十二兩之比同于六十兩與三十六兩之比為借數二十四兩少于甲本銀之差數各與借數相加皆得甲本銀數也【因其為少故與借數相加若差數為多則與借數相減】此即盈朒先求适足之法葢兩少數相差二十兩由于兩借數之相差十二兩如欲補足所少之八十兩則應加四十八兩或欲補足所少之六十兩則應加三十六兩也 又如欲借兩數所得差數一多一少用相加立算則先借四十八兩為甲銀衰數丙應得二十四兩丁應得八兩并三數得八十兩與原銀一百兩相較少二十兩再借六十六兩為甲銀衰數丙應得三十三兩丁應得十一兩并三數得一百一十兩與原銀一百兩相較則多十兩乃以前借數四十八兩少二十兩書于右後借數六十六兩多十兩書于左作一盈一朒法算之于是一多數一少數相加得三十兩為一率兩借數相減餘十八兩為二率前借數與原數相較之少二十兩為三率得四率十二兩加入前借數四十八兩共得六十兩即甲銀數如以後借數與原數相較之多十兩為三率得四率六兩與後借數六十六兩相減亦得六十兩為甲銀數既得甲銀數其丙丁銀數按分遞減之即得矣 又法既得兩借數之差用互乘以齊其分以前借數四十八兩互乘後多十兩為加四十八倍得多四百八十兩以後借數六十六兩互乘前少二十兩為加六十六倍得少一千三百二十兩乃以互乘所得一多一少兩數相加得一千八百兩為二率原一多一少兩數相加得三十兩為一率一人為三率得四率六十兩即甲銀數也葢所加四十八倍與六十六倍相差為十八倍則互乘所得一多一少兩數相差之一千八百兩即十八倍總銀數也【八百見盈】然甲銀為總銀之三十分之十八【朒法蓋兩差數之較為三十則兩借數之較為十八少數為二十則借數加一十二多數為一十則借數減六皆三 十與十八之比】必為十八倍總　　　　　　　　　　　　　　　　　【例】銀之三十分【也葢三十分之十八者将總銀分為三十分而得其十八分也若十八倍總銀則其一分即十八也】之一故以三十分與一千兩之比即同于一分與六十兩之比即甲銀數也 設如有香爐二座不言重數但知爐葢一個重一百五十斤如以葢加甲爐則重于乙爐二倍以葢加乙爐乃與甲爐相等求甲乙二爐各重幾何法先借三十斤為甲爐衰數加葢一百五十斤共一百八十斤内取三分之一得六十斤為乙爐衰數【因甲爐加葢比乙爐重二倍故以乙爐衰數定為甲爐衰數加葢之三分之一】以乙爐衰數加葢一百五十斤共二百一十斤比所借甲爐衰數三十斤多一百八十斤則是所借甲爐衰數三十斤少一百八十斤再借九十斤為甲爐衰數加葢一百五十斤共二百四十斤内取三分之一得八十斤為乙爐衰數以乙爐衰數加葢一百五十斤共二百三十斤比所借甲爐衰數九十斤多一百四十斤則是所借甲爐衰數九十斤少一百四十斤乃以前借甲爐衰數三十斤少一百八十斤書于右後借甲爐衰數九十斤少一百四十斤書于左作兩朒法算之于是兩少數相減餘四十斤為一率兩借數相減餘六十斤為二率前借數與原數相較之少一百八十斤為三率得四率二百七十斤加入前借數三十斤共三百斤即甲爐之重加葢一百五十斤共四百五十斤内取三分之一得一百五十斤即乙爐之重加葢一百五十斤共三百斤與甲爐相等也 又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數三十斤互乗後少一百四十斤為加三十倍得少四千二百斤以後借數九十斤互乘前少一百八十斤為加九十倍得少一萬六千二百斤乃以互乗所得兩少數相減餘一萬二千斤為二率原兩少數相減餘四十斤為一率甲爐一為三率得四率三百斤即甲爐之重數也葢所加三十倍與九十倍相差為六十倍則互乗所得兩少數相差之一萬二千斤即六十倍總差數也然甲爐重數為總差數之四十分之六十【之得五十斤蓋兩差數之較為四十則兩借數之較為六十少數為一百八十則借數加二百七十皆四十與六】必為六十倍總差數之四十分之一【十之比例也葢四十分之六十者将總差數分為四十分而得其六十分也若六十倍總差數則其一分】故以四十分與一萬二千斤之比即同于一分與三百斤之比也 設如有銅鑄甲乙二鐘未稱斤數但雲取乙鐘銅八十斤入甲鐘則所餘得甲鐘四分之一若取甲鐘銅八十斤入乙鐘則所餘得乙鐘三分之二問二鐘各得銅數若幹 法先借一百二十斤為甲鐘衰數取乙鐘銅八十斤加入甲鐘則【即六十分也】甲鐘得二百斤此數四分【因取乙鐘銅八十斤入甲鐘所餘得甲鐘之四分之一故四分之為乙鐘之一分】加八十斤得一百三十斤為乙鐘衰數【此乙鐘未取八十斤入甲鐘時得一百三十斤也】若取甲鐘銅八十斤加入乙鐘則乙鐘得二百一十斤而甲鐘止餘四十斤【甲鐘一百二十斤中去八十斤故餘四十斤】加一半二十斤得六十斤為乙鐘數【因取甲鐘銅八十斤入乙鐘所餘得乙鐘三分之二故四十斤為三分之二而加一分為二十斤共六十斤為乙鐘數】而與乙鐘二百一十斤相較則少一百五十斤再借三百六十斤為甲鐘衰數取乙鐘銅八十斤加入甲鐘則甲鐘得四百四十斤此數四分之得一百一十斤【因取乙鐘銅八十斤入甲鐘所餘得甲鐘之四分之一故四分之為乙鐘之一分】加八十斤得一百九十斤為乙鐘衰數【此乙鐘未取八十斤入甲鐘時得一百九十斤也】若取甲鐘銅八十斤加入乙鐘則乙鐘得二百七十斤而甲鐘止餘二百八十斤【甲鐘三百六十斤中去八十斤故餘二百八十斤】加一半一百四十斤得四百二十斤為乙鐘數【因取甲鐘銅八十斤入乙鐘所餘得乙鐘三分之二故二百八十斤為三分之二而加一分為一百四十斤共四百二十斤為乙鐘數】而與乙鐘二百七十斤相較則多一百五十斤乃将前借數一百二十斤少一百五十斤書于右後借數三百六十斤多一百五十斤書于左用盈朒法算之于是以一多一少兩數相加得三百為一率兩借數相減餘二百四十為二率前借數與乙衰相較之少一百五十斤為三率得四率一百二十斤加前借數一百二十斤共二百四十斤為甲鐘斤數加入乙鐘銅八十斤為三百二十斤四分之得八十斤【既取乙鐘銅八十斤入甲鐘故餘此數】再加入甲鐘銅八十斤得一百六十斤為乙鐘斤數也 又法既得兩借數之差