卷九

用互乘以齊其分以前借數一百二十斤互乘後多一百五十斤為加一百二十倍得多一萬八千斤以後借數三百六十斤互乗前少一百五十斤為加三百六十倍得少五萬四千斤乃以互乘所得一多一少兩數相加得七萬二千斤為二率原一多一少兩數相加得三百斤為一率甲鐘一為三率得四率二百四十斤即甲鐘重數也葢所加一百二十倍與三百六十倍相差為二百四十倍則互乘所得一多一少兩數相加之七萬二千斤即二百四十倍總差數也然甲鐘重數為總差數之三百分之二百四十必為二百四十倍總差數之三百分之一故以三百分與七萬二千斤之比即同于一分與二百四十斤之比也 設如甲丙二人入山采礦皆不知所得之數但雲甲與丙二十四兩則所餘得丙之四分之一若丙與甲三十兩則所餘得甲之六分之一問兩人各得之數若幹 法先借四十兩為丙之衰數加甲與二十四兩得六十四兩此數四分之得十六兩【一因甲得丙四分之一故将丙數四分】加二十四兩得四十兩為甲之衰數【也因甲與丙二十四兩所餘得丙四分之一故仍以二十四兩加入為甲衰數】若丙與甲三十兩則甲得七十兩而丙止餘十兩六因 之得　　　　　　　　　　【也】六十兩為甲【因丙與甲三十兩所餘得甲六分之一故将丙之十兩六因之為甲數】數而與甲七十兩相較則少十兩再借六十兩為丙之衰數加甲與二十四兩得八十四兩此數四分之得二十一兩加二十四兩得四十五兩為甲之衰【其所加所分之故同前】數若丙與甲三十兩則甲得七十五兩而丙止餘三十兩六因之得一百八十兩而與甲七十五兩相較又多一百零五兩乃将前借數四十兩少十兩書于右後借數六十兩多一百零五兩書于左用盈朒法算之于是以一多一少兩數相加得百一十五為一率兩借數相減餘二十為二率前借數與甲相較之少十兩為三率得四率一兩七錢三分九厘一毫有餘加前借數四十兩共四十一兩七錢三分九厘一毫有餘為丙所得之數此數加二十四兩得六十五兩七錢三分九厘一毫有餘再四分之得一十六兩四錢三分四厘七毫有餘【餘之六分之一也因甲得丙銀四】加入二十四兩得四十兩四錢三分四厘七毫有餘為甲所得之數【分之一故四分之甲既與丙二十四兩故止剰一十六兩有餘若未與丙二十四兩其全數】若将甲數加三十兩得七十兩四錢三分四厘七毫有餘将丙數減三十兩得十一兩七錢三分九厘一毫有餘此丙十一兩七錢三分九厘一毫有餘即為甲七十兩四錢三分四厘七毫有 【則四十兩】　　　【有餘也因丙與甲三十兩則丙數居甲數之六分之一故将四十兩有餘再加八丙三十兩得七十兩有餘則丙數内減去三十兩止得十一兩有餘故為甲數之六分之一也】 又法既得兩借數之差用互乘以齊其分以前借數四十兩互乘後多一百零五兩為加四十倍得多四千二百兩以後借數六十兩互乗前少十兩為加六十倍得少六百兩乃以互乗所得一多一少兩數相加得四千八百兩為二率原一多一少兩數相加得一百一十五兩為一率一人為三率得四率四十一兩七錢三分九厘一毫有餘即丙所得之數也葢所加四十倍與六十倍相差為二十倍則互乗所得一多一少兩數相加之四千八百兩即二十倍總差數也然丙數為總差數之一百一十五分之二十必為二十倍總差數之一百一十五分之一故以一百一十五分與四千八百兩之比即同于一分與四十一兩七錢三分九厘一毫有餘之比也 設如有銅缸磁缸二面若于銅缸内添水五十斤則比磁缸内水多二倍若于磁缸内添水五十斤則與銅缸内水數相等問二缸各得水數若幹法先借十斤為銅缸水之衰數加五十斤得六十斤此數三分之得二十斤為磁缸水之衰數【因銅缸加五十斤則比磁缸水多二倍故三分之為磁缸水衰數也】以磁缸水衰數加五十斤得七十斤【因磁缸加五十斤與銅缸水相等故亦加五十斤】比所借銅缸水之衰數十斤多六十斤則是所借銅缸水之衰數十斤少六十斤再借二十二斤為銅缸水之衰數加五十斤得七十二斤此數三分之得二十四斤為磁缸水之衰數以磁缸水衰數加五十斤得七十四斤比所借銅缸水之衰數二十二斤多五十二斤則是所借銅缸水之衰數二十二斤少五十二斤乃以前借數十斤少六十斤書于右後借數二十二斤少五十二斤書于左作兩朒法算之于是兩少數相減餘八斤為一率兩借數相減餘十二斤為二率前借數與銅缸相較之少六十斤為三率得四率九十斤加入前借數十斤共一百斤即銅缸之水數加五十斤得一百五十斤三分之得五十斤即磁缸之水數以磁缸水數加五十斤亦得一百斤與銅缸水數相等也 又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數十斤互乗後少五十二斤為加十倍得少五百二十斤以後借數二十二斤互乗前少六十斤為加二十二倍得少一千三百二十斤乃以互乗所得兩少數相減餘八百斤為二率原兩少數相減餘八斤為一率銅缸一為三率得四率一百斤即銅缸之水數也葢所加十倍與二十二倍相差為十二倍則互乗所得兩少數相差之八百斤即十二倍總差數也然銅缸水數為總差數之八分之十二必為十二倍總差數之八分之一故以八分與八百斤之比即同于一分與一百斤之比也 設如有羊三羣甲羣四百隻丙羣為甲丁兩羣二分之一丁羣為甲丙兩羣三分之一問丙丁兩羣羊數各若幹 法先借三百隻為丙羣衰數丙羣既為甲丁兩羣二分之一則甲丁兩羣當有六百隻内減甲羣四百隻餘二百隻為丁羣衰數又并甲丙二羣得七百隻丁羣既為甲丙兩羣三分之一則将丁羣二百隻三因之得六百隻與甲丙兩羣七百隻相較則少一百隻再借二百四十隻為丙羣衰數丙羣既為甲丁兩羣二分之一則甲丁兩羣當有四百八十隻内減甲羣四百隻餘八十隻為丁羣衰數又并甲丙二羣得六百四十隻丁羣既為甲丙兩羣三分之一則将丁羣八十隻三因之得二百四十隻與甲丙兩羣六百四十隻相較則少四百隻乃将前借數三百隻少一百隻書于右後借數二百四十隻少四百隻書于左用兩不足法算之于是以兩少數相減餘三百隻為一率兩借數相減餘六十隻為二率前借數與甲丙兩羣相較之少一百隻為三率得四率二十隻加前借數三百隻共三百二十隻即丙羣之羊數加入甲羣四百隻得七百二十隻三分之得二百四十隻即丁羣之羊數也若并甲丁兩羣得六百四十隻折半得三百二十隻即丙羣為甲丁兩羣二分之一也 又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數三百隻互乗後少四百隻為加三百倍得少一十二萬隻以後借數二百四十隻互乗前少一百隻為加二百四十倍得少二萬四千隻乃以互乗所得兩少數相減餘九萬六千隻為二率原兩少數相減餘三百隻為一率丙一羣為三率得四率三百二十隻即丙羣之羊數也葢所加三百倍與二百四十倍相差為六十倍則互乗所得兩少數相差之九萬六千隻即六十倍總差數也然丙羣為總差數之三百分之六十必為六十倍總差數之三百分之一故以三百分與九萬六千隻之比即同于一分與三百二十隻之比也 設如有田一百畝令甲乙二人分耕若以甲田三分之一與乙以乙田五分之一與甲則各得五十畝問甲乙原田數各若幹 法先借三十畝為甲原田之衰數此數與一百畝相減餘七十畝為乙原田之衰數甲原田三十畝之三分之一為十畝乙原田七十畝之五分之一為十四畝若甲與乙十畝乙與甲十四畝則甲得田三十四畝【甲三十畝與乙十畝餘二十畝又得乙所與十四畝故為三十四畝】與各五十畝相比則甲少十六畝再借六十畝為甲原田之衰數此數與一百畝相減餘四十畝為乙原田之衰數甲原田六十畝之三分之一為二十畝乙原田四十畝之五分之一為八畝若甲與乙二十畝乙與甲八畝則甲得田四十八畝【甲六十畝與乙二十畝餘四十畝又得乙所與八畝故為四十八畝】與各五十畝相比則甲少二畝乃将前借數三十畝少十六畝書于右後借數六十畝少二畝書于左用兩不足法算之于是以兩少數相減得十四畝為一率兩借數相減餘三十畝為二率前借數與五十畝相較之少十六畝為三率得四率三十四畝二分八厘有餘加前借數三十畝共六十四畝二分八厘有餘即甲原田之數與一百畝相減餘三十五畝七分一厘有餘即乙原田之數也若甲以其三分之一二十一畝四分二厘有餘與乙而乙以其五分之一七畝一分四厘有餘與甲則兩人各得五十畝矣 又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數三十畝互乗後少二畝為加三十倍得少六十畝以後借數六十畝互乗前少十六畝為加六十倍得少九百六十畝乃以互乗所得兩少數相減餘九百畝為二率原兩少數相減餘十四畝為一率甲一人為三率得四率六十四畝二分八厘有餘即甲原田之數也葢所加三十倍與六十倍相差為三十倍則互乗所得兩少數相差之九百畝即三十倍總差數也然甲原田為總差數之十四分之三十必為三十倍總差數之十四分之一故以十四分與九百畝之比即同于一分與六十四畝二