卷八

欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷八 線部六 盈朒【單法　雙套】 盈朒 盈有餘也朒不足也設有餘不足以求适中亦為因較而得正數之法此固比例法也但比例以實數求實數而盈朒則以虛數求實數然虛數皆與實數相較而生盈朒之差則虛數亦實數也比例以所有之三率求所餘之一率而盈朒則所有為兩數且兩數之中各藏一數其實亦三率也其間有一盈一朒者則以兩數相加為相較之率有兩盈或兩朒者則以兩數相減為相較之率有一盈一适足或一朒一适足者則無可加減而或盈或朒之數即其較也法不一緻惟在相較以得其差理本一原惟在互比以得其實錯綜變幻其用不窮所謂以實禦虛和較互見者庶防盡于此矣 一盈一朒 設如有人分銀不知人數亦不知銀數隻雲每人七兩分之則餘四兩每人九兩分之則少十二兩問人數及銀數各若幹 法以七兩與九兩相減餘二兩為一率一人為二率盈四兩與朒十二兩相加共十六兩為三率推得四率八即為人數以八人與每人七兩相乗得五十六兩加盈四兩得六十兩即為銀數或以八人與每人九兩相乗得七十二兩減朒十二兩餘六十兩亦為銀數也此法蓋因前設分七兩後設分九兩是每一人多分二兩也然每人分七兩則縂銀盈四兩每人分九兩則縂銀朒十二兩是盈朒相差共十六兩矣夫一人多分二兩而縂銀差十六兩則二兩為一人之所多而十六兩為八人之所多可知矣故二兩與一人之比同于十六兩與八人之比而為比例四率也既得人數以每人七兩計之則八人應得五十六兩因銀尚餘四兩故加四兩得六十兩為銀數也若以每人九兩計之則八人應得七十二兩因銀少十二兩故減十二兩餘六十兩為銀數也此先得人數之法也 又先得銀數之法用互乗以齊其分以九兩乗盈四兩為加九倍得盈三十六兩以七兩乗朒十二兩為加七倍得朒八十四兩相加得一百二十兩為二率七倍與九倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率六十兩即為銀數既得銀數則于六十兩内減盈四兩餘五十六兩以每人七兩除之得八為人數或于六十兩加朒十二兩共七十二兩以每人九兩除之亦得八為人數也此法以九兩互乗盈四兩者将盈四兩加九倍也盈四兩加九倍則為盈三十六兩既以盈數加九倍則縂銀數與所分七兩亦皆當加九倍七兩加九倍則為六十三兩是則九倍之縂銀每人六十三兩分之盈三十六兩也以七兩互乗朒十二兩者将朒十二兩加七倍也朒十二兩加七倍則為朒八十四兩既以朒數加七倍則縂銀數與所分九兩亦皆當加七倍九兩加七倍則亦為六十三兩是則七倍之縂銀每人六十三兩分之朒八十四兩也夫每人既皆分六十三兩則是所分之加倍共銀數亦必相同然九倍銀數則盈七倍銀數則朒因九倍比七倍多二倍是盈朒相加之一百二十兩即此二倍之銀數也知二倍為一百二十兩即知一倍之為防何矣故以二為一率一百二十兩為二率一為三率推得四率六十兩為銀數也既得銀數則于六十兩内減盈四兩餘五十六兩即為分七兩者之共數而以七兩除之得八人或于六十兩加朒十二兩得七十二兩即為分九兩者之共數而以九兩除之亦得八人也此先得銀數之法也 又法将盈四兩與朒十二兩相加得十六兩為一率七兩與九兩相減餘二兩為二率盈四兩為三率得四率五錢與所分七兩相加得七兩五錢為每人應得之數又以五錢除盈四兩得八為人數或仍以十六兩為一率二兩為二率以朒十二兩為三率得四率一兩五錢與所分九兩相減亦得七兩五錢為每人應得之數又以一兩五錢除朒十二兩亦得八為人數以八人與每人七兩五錢相乗得六十兩為銀數也此法蓋因九兩與七兩相較差二兩盈四兩與朒十二兩相并為十六兩是縂銀盈朒共差十六兩由于每人之多二兩也今銀尚盈四兩則每人分七兩者其每一分應多五錢而為七兩五錢矣故十六兩與二兩之比同于四兩與五錢之比而為比例四率也且一人多五錢而共多四兩則其為八人可知矣故五錢與一人之比同于四兩與八人之比亦為比例四率也若以朒數論之則縂銀共差十六兩者由于每人少二兩今銀朒十二兩則每人分九兩者其每一分應少一兩五錢而為七兩五錢矣且一人少一兩五錢而共少十二兩則其為八人又可知矣既得人數則以八人與每人七兩五錢相乗得六十兩而為縂銀數也此先得每一人所得銀數之法也要之第一法先求人數第二法先求物價第三法先求适足之數立法雖各不同而各先得其一一得而無不得者實由于理之一貫者也 設如衆人共出銀買物不知人數亦不知物價隻雲每人出銀四兩則不足四兩每人出銀六兩則多六兩問人數及物價各若幹 法以出四兩與出六兩相減餘二兩為一率一人為二率朒四兩與盈六兩相加共十兩為三率推得四率五即為人數以五人與每人四兩相乗得二十兩加朒四兩共得二十四兩即為物價或以五人與每人六兩相乗得三十兩減盈六兩亦得二十四兩為物價也此法蓋因前設出四兩後設出六兩是每一人多出二兩也然出四兩則朒四兩出六兩則盈六兩是盈朒相差共多十兩矣夫一人多出二兩而縂價即多十兩則二兩為一人之所多而十兩為防人之所多可知矣故以比例四率求之而得五人也既得人數以每人出四兩計之則五人應出二十兩因于物價朒四兩故加四兩得二十四兩為物價若以每人出六兩計之則五人應出三十兩因于物價盈六兩故減六兩亦得二十四兩為物價也此法與首題第一法盈朒之加減不同者首題以共人所分共銀為問故分少則縂銀必盈分多則縂銀必朒其所謂盈朒者乃銀數之盈朒故得人數與分銀數相乗加盈減朒而得銀數也此以共人所出共銀為問故出少則比物價為朒出多則比物價為盈其所謂盈朒者乃出數之盈朒故得人數與出銀數相乗減盈加朒而得物價也法縂一理但加減盈朒之間少不同耳 又先得銀數之法以六兩乗朒四兩為加六倍得朒二十四兩以四兩乗盈六兩為加四倍得盈二十四兩相加得四十八兩為二率四倍與六倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率二十四兩即為物價既得物價則于二十四兩内減朒四兩餘二十兩以每人四兩除之得五即為人數或于二十四兩加盈六兩共三十兩以每人六兩除之亦得五為人數也此法蓋将朒四兩加六倍為二十四兩則物價亦當加六倍而出四兩者亦必加六倍而為出二十四兩矣将盈六兩加四倍為二十四兩則物價亦當加四倍而出六兩者亦必加四倍而為出二十四兩矣夫每人同出二十四兩則其加倍共出之數亦必相同然比六倍物價則朒比四倍物價則盈者因六倍比四倍多二倍是盈朒相差之四十八兩即二倍物價也故以二為一率四十八兩為二率一為三率推得四率二十四兩為物價也既得物價則于二十四兩減朒四兩餘二十兩即為出四兩者所共出之數而以四兩除之得五人或于二十四兩加盈六兩共三十兩即為出六兩者所共出之數而以六兩除之亦得五