卷八

人也 又法将朒四兩與盈六兩相加共十兩為一率将出四兩與出六兩相減餘二兩為二率朒四兩為三率得四率八錢與出四兩相加得四兩八錢為每人應出之數又以八錢除朒四兩得五為人數或仍以十兩為一率二兩為二率盈六兩為三率得四率一兩二錢于出六兩内減之餘四兩八錢亦為每人應出之數又以一兩二錢除盈六兩亦得五為人數以五人與四兩八錢相乗得二十四兩為物價也此法蓋因盈朒之相差十兩由于每人之多二兩今欲補足所朒之四兩則每人應多八錢若欲損所盈之六兩則每人應少一兩二錢故十兩與二兩之比同于四兩與八錢之比亦同于六兩與一兩二錢之比也且一人多八錢即益所朒之四兩一人減一兩二錢即損所盈之六兩則其為五人也可知矣既得人數則以五人與每人四兩八錢相乗得二十四兩而為物價之縂銀也 設如衆人乗船渡河每一船載十三人則餘十二人若每一船載十八人則餘一船問共人數及船數各若幹 法以餘十二人為盈十二人餘一船為朒十八人乃以每船所載十三人與每船所載十八人相減餘五人為一率一船為二率盈十二人與朒十八人相加共三十人為三率推得四率六即為船數以六船與每船載十三人相乗得七十八人加盈十二人得九十為人數或以六船與每船十八人相乗得一百零八人減朒十八人亦餘九十為人數也蓋每一船多載五人而盈朒相差為三十人故五人與一船之比同于三十人與六船之比也以每船十三人計之六船共載七十八人加無船之十二人共九十人以每船十八人計之六船應載一百零八人因一船無人則減去十八人餘九十人或減一船餘五船與十八人相乗亦得九十人也 又先得人數之法以每船載十八人乗盈十二人為加十八倍得盈二百一十六人又以每船載十三人乗朒十八人為加十三倍得朒二百三十四人二數相加得四百五十人為二率以十三倍與十八倍相減餘五倍為一率一倍為三率推得四率九十即為人數減盈十二人餘七十八人以每船十三人除之得六為船數或于九十人加朒十八人共一百零八人以每船十八人除之亦得六為船數也蓋十八人與十三人互乗皆得二百三十四人而十二人加十八倍則共人數之加十八倍者為每船二百三十四人餘二百一十六人也若以十八人加十三倍則共人數之加十三倍者為每船二百三十四人又少二百三十四人也【二百三十四人為一船所載之人分】十八倍比十三倍多五倍是盈朒相差之共四百五十人即五倍人數故五倍與四百五十人之比即如一倍與九十人之比也既得人數減去所餘之十二人以每船十三人除之得船數或加一船之十八人以每船十八人除之亦得船數焉 又法将盈十二人與朒十八人相加得三十人為一率十三人與十八人相減餘五人為二率盈十二人為三率得四率二人與每船十三人相加得十五人為每船應載之數又以二人除盈十二人得六為船數或仍以三十人為一率五人為二率以朒十八人為三率得四率三人與每船十八人相減餘十五人為每船應載之數又以三人除十八人亦得六為船數以六船與每船十五人相乗得九十為人數也蓋盈朒之相差三十人由每船多五人今欲合載所盈之十二人則每船十三人者應加二人而為十五人欲分載所朒之十八人則每船十八人者應減三人而為十五人也且一船加二人即合載十二人一船減三人即分載十八人則其為六船也可知矣 兩盈 設如有人分果不知人數亦不知果數隻雲每人十二枚盈十二枚每人十三枚盈六枚問人數與果數各若幹 法以每人十二枚與十三枚相減餘一枚為一率一人為二率以盈六枚與盈十二枚相減餘六枚為三率推得四率六為人數以六人與十二枚相乗得七十二枚加盈十二枚得八十四枚為果數若以六人與十三枚相乗得七十八枚加盈六枚亦得八十四枚為果數也蓋一人多一枚而兩盈相差六枚其為六人可知故凡所分之數相減餘一者其盈朒之差即人數也 又先得果數之法以十三枚乗盈十二枚為加十三倍得盈一百五十六枚以十二枚乗盈六枚為加十二倍得盈七十二枚相減餘八十四枚為二率十二倍與十三倍相減餘一倍為一率仍以一倍為三率推得四率八十四枚為果數内減盈十二枚餘七十二枚以每人十二枚除之得六為人數若于八十四枚減盈六枚餘七十八枚以每人十三枚除之亦得六為人數也蓋十二倍比十三倍差一倍則盈朒相差八十四枚即一倍之果數故凡互乗差一倍者則互乗所得盈朒之差即為縂數既得人數又得縂數則以人數除縂數即得每人所分之數矣 又法以兩盈數相減為一率互乗所得之兩盈數相減為二率一人為三率得四率即為每人所應得之數也此題前二法固以兩盈相減即為人數互乗所得兩盈相減即為縂數蓋因十二與十三相減餘一數故也其或餘防數者亦即為防倍人數或為防倍縂數其以人數除縂數即同于以防倍人數除防倍縂數也 設如有緞一疋欲作新帳幔一架先折作六幅每幅比舊制長一尺二寸後折作七幅每幅比舊制長二寸問緞之長及舊帳之長各若幹 法以長一尺二寸用六幅因之得盈七尺二寸以長二寸用七幅因之得盈一尺四寸乃以六幅與七幅相減餘一幅為一率一尺四寸與七尺二寸相減餘五尺八寸為二率一幅為三率推得四率五尺八寸為舊帳之長加盈一尺二寸共七尺以六幅乗之得四十二尺為緞之長也【若于五尺八寸加二寸得六尺以七幅乗之亦得四十二尺】蓋折作六幅每幅盈一尺二寸是六幅共盈七尺二寸也折作七幅每幅盈二寸是七幅共盈一尺四寸也七幅比六幅多一幅而兩盈相差五尺八寸且兩盈之數皆比舊帳為盈則五尺八寸為舊帳之長可知矣既得舊帳之數則加一尺二寸而以六幅乗之即得緞之長數也或以六幅與五尺八寸相乗加盈七尺二寸亦得緞之長數蓋七尺二寸者原系六因一尺二寸所得之數則加于舊帳而縂乗之與各乗其數而後加之一也若以七幅算之其理亦同又先得緞之長法以七幅乗盈七尺二寸為加七倍得盈五十尺零四寸以六幅乗盈一尺四寸為加六倍得盈八尺四寸相減餘四十二尺為二率六倍與七倍相減餘一倍為一率仍以一倍為三率推得四率四十二尺為緞之長減盈七尺二寸以六幅除之得五尺八寸為舊帳之長也【若減盈一尺四寸以七幅除之亦得五尺八寸】蓋将六幅加七倍七幅加六倍皆得四十二幅是七倍緞之長比舊帳四十二幅長五十尺零四寸六倍緞之長比舊帳四十二幅長八尺四寸是兩盈相差四十二尺即一倍緞之長也既得緞之長則減其共盈數而以幅數除之即得舊帳之長或先以幅數除之而減其每幅之盈亦得舊帳之長也 兩朒 設如有銀買馬不知銀數亦不知馬數但雲每一匹十五兩不足八十兩每一匹十三兩仍不足十六兩問馬數及銀數各若幹 法以十三兩與十五兩相減餘二兩為一率一馬為二率朒十六兩與朒八十兩相減餘六十四兩為三率推得四率